O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত।

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS একটি বৃত্ত। যার বর্ধিত QO রেখাংশটি বৃত্তের পরিধিকে । বিন্দুতে স্পর্শ করে, অর্থাৎ QT বৃত্তের ব্যাস এবং ∠QPT অধিবৃত্তস্থ কোণ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠QPT = 1 সমকোণ।

প্রমাণ:

ধাপ ১. QRST চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠QPT = $\frac{1}{2}$ (কেন্দ্রস্থ সরলকোণ ∠QOT) [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]

কিন্তু সরলকোণ ∠QOT = 2 সমকোণ

∠QPT = $\frac{1}{2} \times 2$ সমকোণ

∠ QPT = 1 সমকোণ । (প্রমাণিত)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠QPS+ ∠QRS = 180° .

অঙ্কন : O, Q ও O, S যোগ করি

প্রমাণ:

ধাপ ১. একই চাপ QRS এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ ∠QOS = 2 (বৃত্তস্থ ∠QPS) [একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

অর্থাৎ ∠QOS = 2 ∠QPS

ধাপ ২. আবার একই চাপ QPS এর উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠QOS = 2(বৃত্তস্থ ∠QRS) [একই কারণে]

অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ ∠QOS=2 ∠QRS

∠QOS + প্রবৃদ্ধ কোণ ∠QOS = 2(∠QPS + ∠QRS)

কিন্তু ∠QOS + প্রবৃদ্ধ কোণ ∠QOS = 360°

2(∠QPS+ ∠QRS) = 360°

বা, ∠QPS+ ∠QRS = $\frac{360°}{2}$

$\therefore$∠QPS + ∠QRS = 180°  (প্রমাণিত)

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। PQRS চতুর্ভুজের PR ও. QS-কর্ণদ্বয় পরস্পর E বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠POQ + ∠ROS = 2∠PEQ

অঙ্কন : O, P ; O, Q ; O, R এবং O, S যোগ করি।

প্রমাণ:

ধাপ ১. PQ চাপের উপর অবস্থিত ∠POQ = 2 ∠PSQ [কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

ধাপ ২. RS চাপের উপর অবস্থিত ∠ROS = 2∠SPR [একই কারণে]

ধাপ ৩. ∠POQ + ∠ROS

= 2(∠PSQ + ∠SPR) [ধাপ (১) ও (২) থেকে]

=2(∠PSE + ∠SPE)

ধাপ ৪. A SPEএর বহিঃস্থ ∠PEQ = অন্তঃস্থ (∠PSE + ∠SPE)

$\therefore$ ∠POQ + ∠ROS = 2∠PEQ. [ধাপ (৩) থেকে]  (প্রমাণিত)