বিভব শক্তি কাকে বলে?

হ্যাঁ, তাল গাছ থেকে তাল পড়ার সময় শক্তির রূপান্তর ঘটে। তাল গাছের শীর্ষে থাকা অবস্থায় তালটির মধ্যেকার শক্তি মূলত বিভব শক্তি (potential energy) হিসেবে থাকে। যখন তালটি পড়া শুরু করে, তখন এই বিভব শক্তি ধীরে ধীরে গতিশক্তিতে (kinetic energy) রূপান্তরিত হয়। ভূমিতে পড়ার সময়, তালটির সমস্ত বিভব শক্তি গতিশক্তিতে রূপান্তরিত হয়ে যায়। এই প্রক্রিয়ায় কিছু শক্তি তাপ ও শব্দ শক্তিতে পরিবর্তিত হতে পারে।

উদ্দীপকে বর্ণিত 10kg ভরের বস্তুটি 30m উচ্চতা থেকে 20 ms^-1 বেগে একটি স্প্রিং এর উপর পতিত হলে স্প্রিংটি কতটুকু সংকুচিত হবে তা নির্ণয় করতে শক্তির নিত্যতা সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে। এক্ষেত্রে বস্তুর প্রাথমিক গতিশক্তি ও স্প্রিং এর সর্বোচ্চ সংকোচন বিন্দু পর্যন্ত হারানো মহাকর্ষীয় বিভবশক্তির সমষ্টি স্প্রিং এর স্থিতিস্থাপক বিভবশক্তিতে রূপান্তরিত হবে।

ধরি, স্প্রিংটি \(x\) পরিমাণ সংকুচিত হবে।
বস্তুর ভর, \(m = 10 \text{ kg}\)
উচ্চতা, \(h = 30 \text{ m}\)
বেগ, \(v = 20 \text{ ms}^{-1}\)
স্প্রিং ধ্রুবক, \(k = 10^5 \text{ Nm}^{-1}\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)

শক্তির নিত্যতা সূত্রানুযায়ী,
বস্তুর মোট প্রাথমিক শক্তি (গতিশক্তি + বিভবশক্তি) = স্প্রিং এর মোট স্থিতিশক্তি
\(\frac{1}{2}mv^2 + mg(h+x) = \frac{1}{2}kx^2\)
মান বসিয়ে পাই,
\(\frac{1}{2} \times 10 \times (20)^2 + 10 \times 9.8 \times (30 + x) = \frac{1}{2} \times 10^5 \times x^2\)
\(5 \times 400 + 98(30 + x) = 50000x^2\)
\(2000 + 2940 + 98x = 50000x^2\)
\(50000x^2 - 98x - 4940 = 0\)
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \(Ax^2 + Bx + C = 0\) আকারের। এখানে \(A = 50000\), \(B = -98\), \(C = -4940\)।
দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সূত্র, \(x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\) ব্যবহার করে পাই:
\(x = \frac{-(-98) \pm \sqrt{(-98)^2 - 4 \times 50000 \times (-4940)}}{2 \times 50000}\)
\(x = \frac{98 \pm \sqrt{9604 + 988000000}}{100000}\)
\(x = \frac{98 \pm \sqrt{988009604}}{100000}\)
\(x = \frac{98 \pm 31432.6105}{100000}\)
যেহেতু \(x\) ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ধনাত্মক মান নিতে হবে:
\(x = \frac{98 + 31432.6105}{100000}\)
\(x = \frac{31530.6105}{100000}\)
\(x = 0.315306105 \text{ m}\)
\(x \approx 0.315 \text{ m}\)

সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, 10kg ভরের বস্তুটি স্প্রিং এর উপর পরলে স্প্রিংটি প্রায় 0.315 মিটার বা 31.5 সেমি সংকুচিত হবে।

উদ্দীপকে উল্লিখিত বস্তুটির পতনের পূর্বে যান্ত্রিক শক্তি ও সংকুচিত স্প্রিংয়ের উপর বস্তুটির যান্ত্রিক শক্তি সমান হবে না। গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এটি ব্যাখ্যা করা হলো:

প্রথমাবস্থায় বস্তুটির যান্ত্রিক শক্তি (পতনের পূর্বে):
বস্তুটির ভর, \(m = 10\, kg\)
উচ্চতা (অসংকুচিত স্প্রিংয়ের উপরের তল থেকে), \(h = 30\, m\)
বেগ, \(v = 20\, ms^{-1}\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8\, ms^{-2}\)
মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি, \(PE_1 = mgh = 10 \times 9.8 \times 30 = 2940\, J\)
গতিশক্তি, \(KE_1 = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (20)^2 = 5 \times 400 = 2000\, J\)
প্রথমাবস্থায় মোট যান্ত্রিক শক্তি, \(ME_1 = PE_1 + KE_1 = 2940 + 2000 = 4940\, J\)

সংকুচিত অবস্থায় স্প্রিংয়ের উপর বস্তুটির যান্ত্রিক শক্তি:
স্প্রিং এর সংকোচন, \(x = 10\, cm = 0.1\, m\)
স্প্রিং ধ্রুবক, \(k = 10^5\, N/m\) (উদ্দীপকে প্রদত্ত \(Jm^2\) এককটি ভুলবশত দেওয়া হয়েছে, কারণ স্প্রিং ধ্রুবকের একক \(N/m\) বা \(J/m^2\) হওয়া উচিত। এখানে \(N/m\) ধরে গণনা করা হলো।)
সর্বোচ্চ সংকোচনের সময় বস্তুর বেগ, \(v' = 0\, ms^{-1}\)
সংকুচিত অবস্থায় বস্তুর উচ্চতা (অসংকুচিত স্প্রিংয়ের উপরের তল থেকে), \(h' = -0.1\, m\)
স্প্রিং এর সঞ্চিত বিভব শক্তি, \(PE_{spring} = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 10^5 \times (0.1)^2 = \frac{1}{2} \times 10^5 \times 0.01 = 500\, J\)
মহাকর্ষীয় বিভব শক্তি, \(PE_2 = mgh' = 10 \times 9.8 \times (-0.1) = -9.8\, J\)
গতিশক্তি, \(KE_2 = \frac{1}{2}mv'^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0)^2 = 0\, J\)
সংকুচিত অবস্থায় মোট যান্ত্রিক শক্তি, \(ME_2 = PE_2 + PE_{spring} + KE_2 = -9.8 + 500 + 0 = 490.2\, J\)

সিদ্ধান্ত:
উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, পতনের পূর্বে বস্তুটির মোট যান্ত্রিক শক্তি \(ME_1 = 4940\, J\) এবং সংকুচিত স্প্রিংয়ের উপর বস্তুটির মোট যান্ত্রিক শক্তি \(ME_2 = 490.2\, J\)। যেহেতু \(ME_1 \neq ME_2\), তাই যান্ত্রিক শক্তিদ্বয় সমান হবে না। এর কারণ হলো, বস্তুটি যখন স্প্রিংয়ের উপর পড়ে তখন সংঘর্ষের সময় কিছু যান্ত্রিক শক্তি তাপ, শব্দ বা স্প্রিংয়ের অভ্যন্তরীণ ঘর্ষণজনিত কারণে অন্যান্য শক্তিতে রূপান্তরিত হয়ে অপচয় হয়। যদিও উদ্দীপকে 'বিনা বাধায়' উল্লেখ করে বায়ুপ্রতিরোধের অনুপস্থিতি বোঝানো হয়েছে, কিন্তু সংঘর্ষের ফলে শক্তির এই রূপান্তর ঘটে, যার ফলে যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণশীলতা এখানে লঙ্ঘিত হয়।