উত্তরঃ
উদ্দীপকে উল্লিখিত নিরেট সিলিন্ডারের ঘূর্ণন গতিশক্তি এবং তাকে গলিয়ে তৈরি করা বৃত্তাকার চাকতির ঘূর্ণন গতিশক্তি নির্ণয় করে প্রশ্নোক্ত উক্তিটির সত্যতা যাচাই করা হলো।
সিলিন্ডারের ঘূর্ণন গতিশক্তি নির্ণয়:
প্রদত্ত তথ্য অনুসারে,
- সিলিন্ডারের ভর, \(m = 2 \text{ kg}\) (চিত্র হতে)
- সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য, \(L = 160 \text{ cm} = 1.6 \text{ m}\)
- সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, \(R_c = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}\)
- ঘূর্ণন অক্ষ CD, ভরকেন্দ্রগামী অক্ষ AB থেকে \(d = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m}\) দূরে অবস্থিত।
- ঘূর্ণন বেগ, \(N = 120 \text{ rpm}\)
সুতরাং, কণিক বেগ, \(\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi \times 120}{60} = 4\pi \text{ rad/s}\)
সিলিন্ডারের ভরকেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষ AB এর সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক, \(I_{CM,cyl} = \frac{1}{4} mR_c^2 + \frac{1}{12} mL^2\)
\(I_{CM,cyl} = \frac{1}{4} (2 \text{ kg})(0.2 \text{ m})^2 + \frac{1}{12} (2 \text{ kg})(1.6 \text{ m})^2\)
\(I_{CM,cyl} = \frac{1}{4} (2)(0.04) + \frac{1}{12} (2)(2.56)\)
\(I_{CM,cyl} = 0.02 + \frac{5.12}{12}\)
\(I_{CM,cyl} = 0.02 + 0.42667 = 0.44667 \text{ kg}\cdot\text{m}^2\)
সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য অনুসারে, CD অক্ষের সাপেক্ষে সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক, \(I_{CD,cyl} = I_{CM,cyl} + md^2\)
\(I_{CD,cyl} = 0.44667 \text{ kg}\cdot\text{m}^2 + (2 \text{ kg})(0.6 \text{ m})^2\)
\(I_{CD,cyl} = 0.44667 + 2(0.36)\)
\(I_{CD,cyl} = 0.44667 + 0.72 = 1.16667 \text{ kg}\cdot\text{m}^2\)
সিলিন্ডারের ঘূর্ণন গতিশক্তি, \(E_{k,cyl} = \frac{1}{2} I_{CD,cyl} \omega^2\)
\(E_{k,cyl} = \frac{1}{2} (1.16667 \text{ kg}\cdot\text{m}^2) (4\pi \text{ rad/s})^2\)
\(E_{k,cyl} = \frac{1}{2} (1.16667) (16\pi^2)\)
\(E_{k,cyl} = 8\pi^2 (1.16667) \approx 92.00 \text{ J}\)
চাকতির ঘূর্ণন গতিশক্তি নির্ণয়:
সিলিন্ডারকে গলিয়ে 30 cm ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার চাকতি বানানো হলো। ভর একই থাকবে।
- চাকতির ভর, \(m = 2 \text{ kg}\)
- চাকতির ব্যাসার্ধ, \(R_d = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}\)
- কণিক বেগ, \(\omega = 4\pi \text{ rad/s}\) (একইভাবে ঘুরানো হলো)
চাকতির ভরকেন্দ্রগামী অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক, \(I_{CM,disc} = \frac{1}{2} mR_d^2\)
\(I_{CM,disc} = \frac{1}{2} (2 \text{ kg})(0.3 \text{ m})^2\)
\(I_{CM,disc} = 1 \times 0.09 = 0.09 \text{ kg}\cdot\text{m}^2\)
চাকতির ঘূর্ণন গতিশক্তি, \(E_{k,disc} = \frac{1}{2} I_{CM,disc} \omega^2\)
\(E_{k,disc} = \frac{1}{2} (0.09 \text{ kg}\cdot\text{m}^2) (4\pi \text{ rad/s})^2\)
\(E_{k,disc} = \frac{1}{2} (0.09) (16\pi^2)\)
\(E_{k,disc} = 8\pi^2 (0.09) \approx 7.106 \text{ J}\)
সত্যতা যাচাই:
চাকতির ঘূর্ণন গতিশক্তির পাঁচগুণ = \(5 \times E_{k,disc} = 5 \times 7.106 \text{ J} = 35.53 \text{ J}\)
পর্যবেক্ষণে দেখা যায়,
\(E_{k,cyl} \approx 92.00 \text{ J}\)
\(5 \times E_{k,disc} \approx 35.53 \text{ J}\)
যেহেতু, \(92.00 \text{ J} > 35.53 \text{ J}\), অর্থাৎ সিলিন্ডারের ঘূর্ণন গতিশক্তি চাকতির ঘূর্ণন গতিশক্তির পাঁচগুণের অধিক।
সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা যায় যে উদ্দীপকের সিলিন্ডারের ঘূর্ণন গতিশক্তি চাকতির ঘূর্ণন গতিশক্তির পাঁচগুণের অধিক- উক্তিটি সত্য।
