ভূমি থেকে 70 m উচ্চতায় বস্তুটিকে ভিন্ন ভিন্ন সময়ে ভিন্ন বেগে দুইবার দেখা যাবে। গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর। (উচ্চতর দক্ষতা)

উদ্দীপকের তথ্যানুসারে, ভূমি থেকে 70 m উচ্চতায় বস্তুটিকে ভিন্ন ভিন্ন সময়ে ভিন্ন বেগে দুইবার দেখা যাওয়ার উক্তিটি গাণিতিকভাবে সত্য। নিচে তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে দেখানো হলো।

দেওয়া আছে,
বস্তুটির আদিবেগ, \( u = 54 \text{ ms}^{-1} \)
উচ্চতা, \( h = 70 \text{ m} \)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \( g = 9.8 \text{ ms}^{-2} \)
ধরি, \( t \) সময়ে বস্তুটি 70 m উচ্চতায় পৌঁছায়।

উর্ধ্বে নিক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে গতির সমীকরণ থেকে পাই,
\( h = ut - \frac{1}{2}gt^2 \)
বা, \( 70 = 54 \times t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \)
বা, \( 70 = 54t - 4.9t^2 \)
বা, \( 4.9t^2 - 54t + 70 = 0 \)

এটি \( t \)-এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান থেকে পাই,
\( t = \frac{-(-54) \pm \sqrt{(-54)^2 - 4 \times 4.9 \times 70}}{2 \times 4.9} \)
বা, \( t = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 1372}}{9.8} \)
বা, \( t = \frac{54 \pm \sqrt{1544}}{9.8} \)
বা, \( t = \frac{54 \pm 39.29}{9.8} \)

অতএব,
\( t_1 = \frac{54 - 39.29}{9.8} = 1.50 \text{ s} \) (প্রায়)
এবং,
\( t_2 = \frac{54 + 39.29}{9.8} = 9.52 \text{ s} \) (প্রায়)

অর্থাৎ, বস্তুটি উপরে ওঠার সময় \( 1.50 \text{ s} \) পর এবং সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছে নিচে নামার সময় \( 9.52 \text{ s} \) পর—এই দুই ভিন্ন সময়ে 70 m উচ্চতায় অবস্থান করবে।

আবার, \( h = 70 \text{ m} \) উচ্চতায় বস্তুর শেষবেগ \( v \) হলে,
\( v^2 = u^2 - 2gh \)
বা, \( v^2 = (54)^2 - 2 \times 9.8 \times 70 \)
বা, \( v^2 = 2916 - 1372 = 1544 \)
বা, \( v = \pm \sqrt{1544} \approx \pm 39.29 \text{ ms}^{-1} \)

এখানে,
প্রথম ক্ষেত্রে (\( t_1 = 1.50 \text{ s} \)), বস্তুটি উপরে ওঠার সময় বেগ \( v_1 = +39.29 \text{ ms}^{-1} \) (খাড়া উপরের দিকে)।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে (\( t_2 = 9.52 \text{ s} \)), বস্তুটি নিচে নামার সময় বেগ \( v_2 = -39.29 \text{ ms}^{-1} \) (খাড়া নিচের দিকে)।

যেহেতু বেগ একটি ভেক্টর রাশি এবং উল্লিখিত দুটি ক্ষেত্রে বেগের মান সমান হলেও দিক পরস্পর বিপরীত, তাই বেগ দুটি ভিন্ন। সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে প্রমাণিত হলো যে, ভূমি থেকে 70 m উচ্চতায় বস্তুটিকে ভিন্ন ভিন্ন সময়ে ভিন্ন বেগে দুইবার দেখা যাবে।