“মুক্তভাবে পড়ন্ত কোনো বস্তুর নির্দিষ্ট সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব, ঐ সময়ে প্রাপ্ত বেগের বর্গের সমানুপাতিক”-ব্যাখ্যা কর। (অনুধাবন)

ধ্রুব ত্বরণে গতিশীল বস্তুর নির্দিষ্ট সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রটি হলো \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\), যেখানে \(s\) হলো অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(u\) আদিবেগ, \(a\) ত্বরণ এবং \(t\) সময়। এই সূত্র প্রয়োগ করে যাত্রা শুরুর 4s পর নৌকা দুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব আলাদাভাবে হিসাব করা যায়।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্য অনুযায়ী, P নৌকার আদিবেগ \(u_P = 8 \text{ ms}^{-1}\) এবং ত্বরণ \(a_P = 4 \text{ ms}^{-2}\)। 4s সময়ে P নৌকার অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(s_P = (8 \text{ ms}^{-1} \times 4 \text{ s}) + \frac{1}{2}(4 \text{ ms}^{-2} \times (4 \text{ s})^2) = 32 \text{ m} + \frac{1}{2}(4 \text{ ms}^{-2} \times 16 \text{ s}^2) = 32 \text{ m} + 32 \text{ m} = 64 \text{ m}\)। অপরদিকে, Q নৌকার আদিবেগ \(u_Q = 5 \text{ ms}^{-1}\) এবং ত্বরণ \(a_Q = 6 \text{ ms}^{-2}\)। 4s সময়ে Q নৌকার অতিক্রান্ত দূরত্ব, \(s_Q = (5 \text{ ms}^{-1} \times 4 \text{ s}) + \frac{1}{2}(6 \text{ ms}^{-2} \times (4 \text{ s})^2) = 20 \text{ m} + \frac{1}{2}(6 \text{ ms}^{-2} \times 16 \text{ s}^2) = 20 \text{ m} + 48 \text{ m} = 68 \text{ m}\)।

সুতরাং, যাত্রা শুরুর 4s পর P নৌকা 64 m দূরত্ব এবং Q নৌকা 68 m দূরত্ব অতিক্রম করে। এই সময়ে নৌকা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে তাদের অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য। অতএব, নৌকা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \( = |s_Q - s_P| = |68 \text{ m} - 64 \text{ m}| = 4 \text{ m}\)।

নদীর প্রস্থ নির্ণয়ের জন্য, নৌকা দুটির অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং সময় সংক্রান্ত গতির সূত্র ব্যবহার করতে হবে। যেহেতু নৌকা দুটি একই সময়ে একই দূরত্ব (নদীর প্রস্থ) অতিক্রম করে, তাই তাদের গতির সমীকরণ থেকে সময় নির্ণয় করে অতঃপর নদীর প্রস্থ বের করা যাবে। এটি সুষম ত্বরণে চলমান বস্তুর গতির সূত্র \((s = ut + \frac{1}{2}at^2)\) এর একটি প্রায়োগিক সমস্যা।

উদ্দীপক অনুযায়ী, নৌকা P এর আদিবেগ \((u_P)\) = 8 ms\(^{-1}\) এবং ত্বরণ \((a_P)\) = 4 ms\(^{-2}\)। নৌকা Q এর আদিবেগ \((u_Q)\) = 5 ms\(^{-1}\) এবং ত্বরণ \((a_Q)\) = 6 ms\(^{-2}\)।
ধরি, নদীর প্রস্থ \(d\) এবং উভয় নৌকা অপর তীরে পৌঁছাতে \(t\) সময় নেয়।

নৌকা P এর ক্ষেত্রে, অতিক্রান্ত দূরত্ব:

\(d = u_P t + \frac{1}{2}a_P t^2\)
\(d = 8t + \frac{1}{2}(4)t^2\)
\(d = 8t + 2t^2\) .......(i)

নৌকা Q এর ক্ষেত্রে, অতিক্রান্ত দূরত্ব:

\(d = u_Q t + \frac{1}{2}a_Q t^2\)
\(d = 5t + \frac{1}{2}(6)t^2\)
\(d = 5t + 3t^2\) .......(ii)

যেহেতু উভয় ক্ষেত্রে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(d\) সমান, তাই সমীকরণ (i) ও (ii) থেকে পাই:
\(8t + 2t^2 = 5t + 3t^2\)
\(3t^2 - 2t^2 = 8t - 5t\)
\(t^2 = 3t\)
\(t^2 - 3t = 0\)
\(t(t - 3) = 0\)
এখানে, \(t = 0\) অথবা \(t = 3\)। যেহেতু নৌকা দুটি যাত্রা শুরু করে এবং একটি নির্দিষ্ট সময় পর অপর তীরে পৌঁছায়, তাই \(t = 0\) গ্রহণযোগ্য নয়। অতএব, নৌকা দুটির অপর তীরে পৌঁছাতে সময় লাগে \(t = 3\) সেকেন্ড।

এখন, \(t = 3\) সেকেন্ড এর মান সমীকরণ (i) এ বসিয়ে নদীর প্রস্থ নির্ণয় করি:

\(d = 8t + 2t^2\)
\(d = 8(3) + 2(3)^2\)
\(d = 24 + 2(9)\)
\(d = 24 + 18\)
\(d = 42\) মিটার।

অথবা, সমীকরণ (ii) এ বসিয়েও একই ফলাফল পাওয়া যাবে:

\(d = 5t + 3t^2\)
\(d = 5(3) + 3(3)^2\)
\(d = 15 + 3(9)\)
\(d = 15 + 27\)
\(d = 42\) মিটার।

সুতরাং, P ও Q নৌকা দুটি অপর তীরে পৌঁছালে নদীর প্রস্থ হবে 42 মিটার। এই সমস্যার সমাধানে গতির সূত্রাবলির কার্যকর ব্যবহার দেখা যায়, যেখানে দুটি ভিন্ন গতিশীল বস্তুর তুলনামূলক বিশ্লেষণ করে অজানা দূরত্ব ও সময় নির্ণয় করা হয়েছে।