মূলবিন্দু হতে (6, k) (-6,6) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী হলে, k এর মান নির্ণয় কর।

(জ্ঞানমূলক)

দেওয়া আছে,

(1) নং সরলরেখার সমীকরণ: \(5x + y = 35\)

বা, \(\frac{5x}{35} + \frac{y}{35} = 1\)

বা, \(\frac{x}{7} + \frac{y}{35} = 1 \quad \dots \dots (iii)\)

আমরা জানি, \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) রেখাটি \(x\)-অক্ষকে \((a, 0)\) এবং \(y\)-অক্ষকে \((0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

যেহেতু (1) নং রেখাটি \(x\)-অক্ষকে \(A\) বিন্দুতে এবং \(y\)-অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (7, 0)\)
এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (0, 35)\)

ধরি, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(M\)।
অতএব, \(M\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= \left(\frac{7 + 0}{2}, \frac{0 + 35}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{35}{2}\right)\)

এখন, মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) এবং \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(M\left(\frac{7}{2}, \frac{35}{2}\right)\) গামী সরলরেখার সমীকরণ:

\(\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{\frac{35}{2} - 0}{\frac{7}{2} - 0}\)

বা, \(\frac{y}{x} = \frac{\left(\frac{35}{2}\right)}{\left(\frac{7}{2}\right)}\)

বা, \(\frac{y}{x} = \frac{35}{2} \times \frac{2}{7}\)

বা, \(\frac{y}{x} = 5\)

বা, \(y = 5x\)

বা, \(5x - y = 0\)

নির্ণেয় সমীকরণ: \(5x - y = 0\)

দেওয়া আছে,

প্রথম সরলরেখার সমীকরণ: \(5x + y = 35\) ..... (i)

দ্বিতীয় সরলরেখার সমীকরণ: \(x - y + 5 = 0\) ..... (ii)

ধাপ ১: রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

\((5x + y) + (x - y + 5) = 35 + 0\)

\(\Rightarrow 6x + 5 = 35\)

\(\Rightarrow 6x = 30\)

\(\Rightarrow x = 5\)

এখন, \(x = 5\) মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\(5(5) + y = 35\)

\(\Rightarrow 25 + y = 35\)

\(\Rightarrow y = 35 - 25\)

\(\Rightarrow y = 10\)

অতএব, সরলরেখা দুইটির ছেদবিন্দু \(A(5, 10)\)।

ধাপ ২: রেখাদ্বয় কর্তৃক \(x\)-অক্ষের ছেদবিন্দু নির্ণয়

আমরা জানি, \(x\)-অক্ষের ওপর যেকোনো বিন্দুর কোটি \(y = 0\)।

(i) নং সমীকরণে \(y = 0\) বসিয়ে পাই,

\(5x + 0 = 35 \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7\)

অর্থাৎ, (i) নং রেখাটি \(x\)-অক্ষকে \(B(7, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

(ii) নং সমীকরণে \(y = 0\) বসিয়ে পাই,

\(x - 0 + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)

অর্থাৎ, (ii) নং রেখাটি \(x\)-অক্ষকে \(C(-5, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

ধাপ ৩: গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

প্রদত্ত রেখাদ্বয় ও \(x\)-অক্ষ দ্বারা গঠিত \(\Delta ABC\)-এর শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো \(A(5, 10)\), \(B(7, 0)\) এবং \(C(-5, 0)\)।

শীর্ষবিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি:

\(\Delta ABC\)-এর ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 5 & 7 & -5 & 5 \\ 10 & 0 & 0 & 10 \end{matrix} \right|\) বর্গ একক

\(= \frac{1}{2} | (5 \times 0 + 7 \times 0 + (-5) \times 10) - (10 \times 7 + 0 \times (-5) + 0 \times 5) |\) বর্গ একক

\(= \frac{1}{2} | (0 + 0 - 50) - (70 + 0 + 0) |\) বর্গ একক

\(= \frac{1}{2} | -50 - 70 |\) বর্গ একক

\(= \frac{1}{2} | -120 |\) বর্গ একক

\(= \frac{1}{2} \times 120 = 60\) বর্গ একক।

উত্তর: গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(60\) বর্গ একক।