(i) ও (ii) নং রেখা x-অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ।

(প্রয়োগ)

ধরি, মূলবিন্দু \( O(0, 0) \)

প্রদত্ত বিন্দু দুটি \( A(6, k) \) এবং \( B(-6, 6) \)

মূলবিন্দু হতে \( A(6, k) \) বিন্দুর দূরত্ব,

\( OA = \sqrt{(6 - 0)^2 + (k - 0)^2} \)

\( \implies OA = \sqrt{36 + k^2} \)

মূলবিন্দু হতে \( B(-6, 6) \) বিন্দুর দূরত্ব,

\( OB = \sqrt{(-6 - 0)^2 + (6 - 0)^2} \)

\( \implies OB = \sqrt{36 + 36} \)

\( \implies OB = \sqrt{72} \)

প্রশ্নানুসারে,

\( OA = OB \)

\( \implies \sqrt{36 + k^2} = \sqrt{72} \)

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

\( 36 + k^2 = 72 \)

\( \implies k^2 = 72 - 36 \)

\( \implies k^2 = 36 \)

\( \implies k = \pm \sqrt{36} \)

\( \implies k = \pm 6 \)

উত্তর: \( k = \pm 6 \)

দেওয়া আছে,

(1) নং সরলরেখার সমীকরণ: \(5x + y = 35\)

বা, \(\frac{5x}{35} + \frac{y}{35} = 1\)

বা, \(\frac{x}{7} + \frac{y}{35} = 1 \quad \dots \dots (iii)\)

আমরা জানি, \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) রেখাটি \(x\)-অক্ষকে \((a, 0)\) এবং \(y\)-অক্ষকে \((0, b)\) বিন্দুতে ছেদ করে।

যেহেতু (1) নং রেখাটি \(x\)-অক্ষকে \(A\) বিন্দুতে এবং \(y\)-অক্ষকে \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে,
সুতরাং, \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (7, 0)\)
এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (0, 35)\)

ধরি, \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(M\)।
অতএব, \(M\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= \left(\frac{7 + 0}{2}, \frac{0 + 35}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{35}{2}\right)\)

এখন, মূলবিন্দু \(O(0, 0)\) এবং \(AB\) এর মধ্যবিন্দু \(M\left(\frac{7}{2}, \frac{35}{2}\right)\) গামী সরলরেখার সমীকরণ:

\(\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{\frac{35}{2} - 0}{\frac{7}{2} - 0}\)

বা, \(\frac{y}{x} = \frac{\left(\frac{35}{2}\right)}{\left(\frac{7}{2}\right)}\)

বা, \(\frac{y}{x} = \frac{35}{2} \times \frac{2}{7}\)

বা, \(\frac{y}{x} = 5\)

বা, \(y = 5x\)

বা, \(5x - y = 0\)

নির্ণেয় সমীকরণ: \(5x - y = 0\)