যদি a, b, c অসমান এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, প্রমান করুন যে, $(a+b)(b+c)(c+a)> 8abc$ এবং দেখান যে, $xyz>(y+z-x) (z+x-y)(x+y-z)$

প্রথম অংশ: প্রমাণ করুন যে, যদি a, b, c অসমান এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে \((a+b)(b+c)(c+a) > 8abc\)

সমাধান:

আমরা জানি, পাটিগণিতীয় গড় (Arithmetic Mean - AM) জ্যামিতিক গড়ের (Geometric Mean - GM) থেকে সর্বদা বড় অথবা সমান হয়। যখন সংখ্যাগুলো অসমান হয়, তখন পাটিগণিতীয় গড় জ্যামিতিক গড়ের থেকে কঠোরভাবে বড় হয়।

যেহেতু a, b, c অসমান এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, তাই AM-GM অসমতা অনুযায়ী পাই:

\(\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}\)

সুতরাং, \((a+b) > 2\sqrt{ab}\) ...... (i)

একইভাবে, b এবং c-এর জন্য পাই:

\(\frac{b+c}{2} > \sqrt{bc}\)

সুতরাং, \((b+c) > 2\sqrt{bc}\) ...... (ii)

এবং c এবং a-এর জন্য পাই:

\(\frac{c+a}{2} > \sqrt{ca}\)

সুতরাং, \((c+a) > 2\sqrt{ca}\) ...... (iii)

এখন, (i), (ii) এবং (iii) নং অসমতাগুলো গুণ করে পাই:

\((a+b)(b+c)(c+a) > (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca})\)

\((a+b)(b+c)(c+a) > 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ca}\)

\((a+b)(b+c)(c+a) > 8\sqrt{a^2b^2c^2}\)

\((a+b)(b+c)(c+a) > 8abc\)

অতএব, প্রমাণ করা হলো যে \((a+b)(b+c)(c+a) > 8abc\)।

দ্বিতীয় অংশ: দেখান যে, \(xyz > (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\)

সমাধান:

আমরা ধরে নিই যে \(x, y, z\) এমন তিনটি ধনাত্মক সংখ্যা যা ত্রিভুজীয় অসমতা মেনে চলে, অর্থাৎ \(y+z > x\), \(z+x > y\), এবং \(x+y > z\)। এই শর্তে ডানপাশের পদগুলি ধনাত্মক হবে।

ধরি,

\(P = y+z-x\)

\(Q = z+x-y\)

\(R = x+y-z\)

উপরিউক্ত সংজ্ঞাগুলো থেকে আমরা \(x, y, z\) কে \(P, Q, R\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি:

\(P+Q = (y+z-x) + (z+x-y) = 2z \Rightarrow z = \frac{P+Q}{2}\)

\(Q+R = (z+x-y) + (x+y-z) = 2x \Rightarrow x = \frac{Q+R}{2}\)

\(R+P = (x+y-z) + (y+z-x) = 2y \Rightarrow y = \frac{R+P}{2}\)

এখন, বামপক্ষ \(xyz\) তে \(x, y, z\) এর মানগুলো বসিয়ে পাই:

\(xyz = \left(\frac{Q+R}{2}\right) \left(\frac{R+P}{2}\right) \left(\frac{P+Q}{2}\right)\)

\(xyz = \frac{1}{8} (Q+R)(R+P)(P+Q)\)

প্রথম অংশে আমরা প্রমাণ করেছি যে, যদি a, b, c অসমান এবং ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে \((a+b)(b+c)(c+a) > 8abc\)। এখানে \(P, Q, R\) ধনাত্মক সংখ্যা। যদি \(P, Q, R\) অসমান হয়, তবে এই অসমতা কঠোরভাবে প্রযোজ্য।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:

\((P+Q)(Q+R)(R+P) > 8PQR\)

এখন, \(xyz\) এর রাশিতে এই অসমতাটি প্রয়োগ করে পাই:

\(xyz > \frac{1}{8} (8PQR)\)

\(xyz > PQR\)

\(P, Q, R\) এর মূল মানগুলো প্রতিস্থাপন করে পাই:

\(xyz > (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\)

অতএব, দেখানো হলো যে \(xyz > (y+z-x)(z+x-y)(x+y-z)\)।