যদি N = 2 হয়, তাহলে দেখাও যে, $x=\frac{1+\sqrt{29}}{2}$

প্রদত্ত সমীকরণ,

\(2x^2 - x - 1 = 0\)

আমরা জানি, \(ax^2 + bx + c = 0\) দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক হলো \(D = b^2 - 4ac\)।

প্রদত্ত সমীকরণকে \(ax^2 + bx + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\(a = 2\)

\(b = -1\)

\(c = -1\)

নির্ণেয় নিশ্চায়ক,

\(D = b^2 - 4ac\)

\(D = (-1)^2 - 4(2)(-1)\)

\(D = 1 - (-8)\)

\(D = 1 + 8\)

\(D = 9\)

সুতরাং, সমীকরণটির নিশ্চায়ক হলো 9।

দেওয়া আছে,

\[p^2+2=3^{\frac{2}{3}}+3^{-\frac{2}{3}}\]

\[\Rightarrow p^2=3^{\frac{2}{3}}+3^{-\frac{2}{3}}-2\]

আমরা জানি, \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

সুতরাং, ডানপাশের পদটিকে \((3^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} + (3^{-\frac{1}{3}})^2\) আকারে লেখা যায়, যেহেতু \(3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} = 3^0 = 1\)।

\[\Rightarrow p^2=(3^{\frac{1}{3}})^2-2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}+(3^{-\frac{1}{3}})^2\]

\[\Rightarrow p^2=(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})^2\]

উভয়পাশে বর্গমূল করে পাই,

\[\Rightarrow p=\pm(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})\]

যেহেতু, \(3^{\frac{1}{3}} > 3^{-\frac{1}{3}}\) এবং \(p \geq 0\), সুতরাং ধনাত্মক মান নিতে হবে।

\[\Rightarrow p=3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}}\]

এখন, উভয়পাশে ঘন করে পাই,

\[\Rightarrow p^3=(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})^3\]

আমরা জানি, \((a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)\)

\[\Rightarrow p^3=(3^{\frac{1}{3}})^3-(3^{-\frac{1}{3}})^3-3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})\]

\[\Rightarrow p^3=3-3^{-1}-3 \cdot 1 \cdot p\]

\[\Rightarrow p^3=3-\frac{1}{3}-3p\]

\[\Rightarrow p^3=\frac{9-1}{3}-3p\]

\[\Rightarrow p^3=\frac{8}{3}-3p\]

\[\Rightarrow p^3+3p=\frac{8}{3}\]

উভয়পাশে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

\[\Rightarrow 3(p^3+3p)=3 \cdot \frac{8}{3}\]

\[\Rightarrow 3p^3+9p=8\]

প্রমাণিত।