2x² - x - 1 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে,

\[p^2+2=3^{\frac{2}{3}}+3^{-\frac{2}{3}}\]

\[\Rightarrow p^2=3^{\frac{2}{3}}+3^{-\frac{2}{3}}-2\]

আমরা জানি, \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

সুতরাং, ডানপাশের পদটিকে \((3^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} + (3^{-\frac{1}{3}})^2\) আকারে লেখা যায়, যেহেতু \(3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} = 3^0 = 1\)।

\[\Rightarrow p^2=(3^{\frac{1}{3}})^2-2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}+(3^{-\frac{1}{3}})^2\]

\[\Rightarrow p^2=(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})^2\]

উভয়পাশে বর্গমূল করে পাই,

\[\Rightarrow p=\pm(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})\]

যেহেতু, \(3^{\frac{1}{3}} > 3^{-\frac{1}{3}}\) এবং \(p \geq 0\), সুতরাং ধনাত্মক মান নিতে হবে।

\[\Rightarrow p=3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}}\]

এখন, উভয়পাশে ঘন করে পাই,

\[\Rightarrow p^3=(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})^3\]

আমরা জানি, \((a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)\)

\[\Rightarrow p^3=(3^{\frac{1}{3}})^3-(3^{-\frac{1}{3}})^3-3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}(3^{\frac{1}{3}}-3^{-\frac{1}{3}})\]

\[\Rightarrow p^3=3-3^{-1}-3 \cdot 1 \cdot p\]

\[\Rightarrow p^3=3-\frac{1}{3}-3p\]

\[\Rightarrow p^3=\frac{9-1}{3}-3p\]

\[\Rightarrow p^3=\frac{8}{3}-3p\]

\[\Rightarrow p^3+3p=\frac{8}{3}\]

উভয়পাশে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

\[\Rightarrow 3(p^3+3p)=3 \cdot \frac{8}{3}\]

\[\Rightarrow 3p^3+9p=8\]

প্রমাণিত।

উদ্দীপকের (i) নং সমীকরণ হতে পাই,

    \(N=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}\)

প্রশ্নমতে, \(N = 2\)

সুতরাং,

    \(2=\frac{\log_k(7+x)}{\log_k x}\)

    \(2 \log_k x = \log_k(7+x)\)

লগারিদমের সূত্র \(\left(a \log_b c = \log_b c^a\right)\) অনুসারে,

    \(\log_k x^2 = \log_k(7+x)\)

লগারিদমের ধর্ম অনুসারে (\(\log_k A = \log_k B \implies A = B\)),

    \(x^2 = 7+x\)

    \(x^2 - x - 7 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের সূত্র \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) ব্যবহার করে পাই,

এখানে, \(a=1, b=-1, c=-7\)।

    \(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}\)

    \(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2}\)

    \(x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}\)

যেহেতু, \(\log_k x\) সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য \(x > 0\) হতে হবে (কারণ লগারিদমের ভিত্তি \(k > 0\) এবং \(k \neq 1\))।

এখানে, \(x = \frac{1 - \sqrt{29}}{2}\) ঋণাত্মক মান নির্দেশ করে (\(\sqrt{29} \approx 5.385\)), যা গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব,

    \(x = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}\) (প্রমাণিত)