যাত্রা শুরুর কত সময় পর গাড়ি দুটির বেগ সমান হবে? নির্ণয় কর।

দ্রুতি (Speed) হলো একটি স্কেলার রাশি, অর্থাৎ এর শুধু মান আছে, কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই। কোনো বস্তু নির্দিষ্ট সময়ে যে মোট দূরত্ব অতিক্রম করে, সেই দূরত্বকে সময় দিয়ে ভাগ করলে দ্রুতি পাওয়া যায়।

গাণিতিকভাবে, দ্রুতিকে \(v\) দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এর সূত্র হলো:

\( \text{দ্রুতি} = \frac{\text{অতিক্রান্ত দূরত্ব}}{\text{সময়}} \)

বা, \( v = \frac{d}{t} \)

এখানে, \(d\) হলো অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং \(t\) হলো সময়। দ্রুতির আন্তর্জাতিক একক (SI unit) হলো মিটার প্রতি সেকেন্ড (m/s বা ms^-1)। এটি বস্তুর গতির হার নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি গাড়ি 5 সেকেন্ডে 100 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে, তবে তার দ্রুতি হবে 20 m/s।

কোনো বস্তুর ত্বরণ (acceleration) শূন্য হলে তার বেগ সুষম বা ধ্রুবক (constant) হবে। এর অর্থ হলো বস্তুটি হয় স্থির অবস্থায় আছে অথবা একটি নির্দিষ্ট দিকে নির্দিষ্ট দ্রুতিতে (speed) চলছে, অর্থাৎ বেগের মান বা দিক কোনোটিরই পরিবর্তন হচ্ছে না।

ত্বরণ হলো সময়ের সাথে বেগের পরিবর্তনের হার। গাণিতিকভাবে, ত্বরণ \(a\) কে বেগের পরিবর্তন (\(\Delta v\)) এবং সময় (\(\Delta t\)) এর অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা হয়: \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)। যদি বস্তুর ত্বরণ শূন্য হয় (\(a = 0\)), তাহলে বেগের পরিবর্তন (\(\Delta v\)) অবশ্যই শূন্য হবে।

বেগের পরিবর্তন শূন্য হওয়ার মানে হলো, বস্তুর আদি বেগ (initial velocity) এবং শেষ বেগ (final velocity) সমান। সুতরাং, বস্তুটি যদি প্রথমে স্থির থাকে, তাহলে তা স্থিরই থাকবে; আর যদি একটি নির্দিষ্ট বেগে চলমান থাকে, তাহলে সেই একই বেগে চলতে থাকবে।

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:

‘ক’ বস্তুর জন্য:

আদি বেগ, \(u_A = 0 \text{ ms}^{-1}\)

ত্বরণ (acceleration), \(a_A = 5 \text{ ms}^{-2}\)

‘খ’ বস্তুর জন্য:

সুষম বেগ (uniform velocity), \(v_B = 108 \text{ km/h}\)

আমরা জানি, \(1 \text{ km/h} = \frac{1000}{3600} \text{ ms}^{-1} = \frac{5}{18} \text{ ms}^{-1}\)

সুতরাং, \(v_B = 108 \times \frac{5}{18} \text{ ms}^{-1} = 6 \times 5 \text{ ms}^{-1} = 30 \text{ ms}^{-1}\)

ধরি, ‘ক’ বস্তুর আদি অবস্থান মূলবিন্দু (origin) \((x=0)\) থেকে শুরু হয়েছে।

তাহলে, ‘খ’ বস্তুর আদি অবস্থান হবে \((x_0 = -30 \text{ m})\) কারণ এটি ‘ক’ বস্তুর 30 m পেছনে ছিল।

\(t\) সময়ে ‘ক’ বস্তুর অবস্থান \(x_A(t)\):

আমরা জানি, অতিক্রান্ত দূরত্বের সূত্র: \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)

সুতরাং, \(x_A(t) = u_A t + \frac{1}{2} a_A t^2\)

\(x_A(t) = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 5 \times t^2\)

\(x_A(t) = 2.5 t^2 \text{ m}\)

\(t\) সময়ে ‘খ’ বস্তুর অবস্থান \(x_B(t)\):

যেহেতু ‘খ’ বস্তুটি সুষম বেগে চলছে, তাই এর ত্বরণ শূন্য।

\(x_B(t) = \text{আদি অবস্থান} + \text{অতিক্রান্ত দূরত্ব}\)

\(x_B(t) = -30 + v_B t\)

\(x_B(t) = -30 + 30 t \text{ m}\)

বস্তু দুটি যখন মিলিত হবে, তখন তাদের অবস্থান একই হবে। অর্থাৎ, \(x_A(t) = x_B(t)\) হবে।

\(2.5 t^2 = -30 + 30 t\)

সমীকরণটিকে সাধারণ রূপে সাজাই:

\(2.5 t^2 - 30 t + 30 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (quadratic equation)। এর সমাধানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র ব্যবহার করা যায়: \(t = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\)

এখানে, \(A = 2.5\), \(B = -30\), \(C = 30\)

প্রথমে নির্ণায়ক (discriminant), \(\Delta = B^2 - 4AC\) নির্ণয় করি:

\(\Delta = (-30)^2 - 4 \times 2.5 \times 30\)

\(\Delta = 900 - 10 \times 30\)

\(\Delta = 900 - 300\)

\(\Delta = 600\)

যেহেতু নির্ণায়কের মান (\(\Delta = 600\)) শূন্যের চেয়ে বড়, অর্থাৎ \(\Delta > 0\), সেহেতু সমীকরণটির দুটি বাস্তব ও ভিন্ন মূল (real and distinct roots) থাকবে। এর মানে হলো, বস্তু দুটি যাত্রাপথে একাধিকবার (দুইবার) মিলিত হতে পারে।

মূল দুটি নির্ণয় করি:

\(t = \frac{-(-30) \pm \sqrt{600}}{2 \times 2.5}\)

\(t = \frac{30 \pm \sqrt{600}}{5}\)

আমরা জানি, \(\sqrt{600} \approx 24.49\)

প্রথম সময় (\(t_1\)):

\(t_1 = \frac{30 - 24.49}{5} \approx \frac{5.51}{5} \approx 1.10 \text{ s}\)

দ্বিতীয় সময় (\(t_2\)):

\(t_2 = \frac{30 + 24.49}{5} \approx \frac{54.49}{5} \approx 10.90 \text{ s}\)

যেহেতু \(t_1\) এবং \(t_2\) উভয়ই ধনাত্মক (positive) মান নির্দেশ করে, তাই বস্তুদুটি যাত্রাপথে দুটি ভিন্ন সময়ে মিলিত হবে।

অতএব, গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে দেখা যায় যে, যাত্রাপথে বস্তুদুটি একাধিকবার (দুইবার) মিলিত হতে পারে।