লিজা ও শিখার বয়সের অনুপাত 2 : 3। তাদের দুইজনের বয়সের সমষ্টি 50 বছর হলে, কার বয়স কত?

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

প্রদত্ত সেট \(R = \{x \in N : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x^2 \le 50\}\)। এখানে, স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে যে মৌলিক সংখ্যাগুলোর বর্গ 50 এর সমান বা কম, সেগুলো হলো: \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\), \(5^2 = 25\), \(7^2 = 49\)। পরবর্তী মৌলিক সংখ্যা 11 এর বর্গ \(11^2 = 121\), যা 50 এর বেশি। সুতরাং, \(R = \{2, 3, 5, 7\}\)। সেট R এর উপাদান সংখ্যা \(n = 4\)। এখন, \(P(R)\) নির্ণয় করি, যা R এর সকল উপসেটের সেট:

\(P(R) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{5\}, \{7\}, \{2,3\}, \{2,5\}, \{2,7\}, \{3,5\}, \{3,7\}, \{5,7\}, \{2,3,5\}, \{2,3,7\}, \{2,5,7\}, \{3,5,7\}, \{2,3,5,7\}\}\)। অতএব, \(P(R)\) এর উপাদান সংখ্যা হলো 16।

আমরা পেয়েছি যে সেট R এর উপাদান সংখ্যা \(n=4\)। যেকোনো সসীম সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা \(2^n\) সূত্র দ্বারা নির্ণয় করা যায়। এই ক্ষেত্রে, \(2^n = 2^4 = 16\)। যেহেতু \(P(R)\) এর উপাদান সংখ্যা 16 এবং এটি \(2^n\) এর সমান, তাই প্রমাণিত হয় যে \(P(R)\) এর উপাদান সংখ্যা \(2^n\) কে সমর্থন করে, যেখানে \(n\) হলো R এর উপাদান সংখ্যা।