সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

যে রাশির মান পরিবর্তনশীল তাই চলক। সমীকরণে যে অজ্ঞাত রাশি ব্যবহার করা হয় তাকে চলক বলে। বীজগাণিতিক সমীকরণের এক বা একাধিক চলক ব্যবহৃত হয়। সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার ছোট হাতের শেষের দিকের অক্ষর x, y, z চলক হিসাবে ব্যবহার করা হয়। যেমন, x + 3 = 7 সমীকরণে অজ্ঞাত অক্ষর প্রতীক x একটি চলক।

যে সমীকরণে একটি মাত্র অজ্ঞাত রাশি থাকে তাকে এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ বলে। যেমন, x + 2 = 5, y²+ 5 = 21, 3x²+ 4=52, x² - 5x + 6 = 0 ইত্যাদি এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ। কারণ প্রত্যেকটি সমীকরণে একটি অজ্ঞাত রাশি বিদ্যমান।

যে সমীকরণে চলকের ঘাত শুধু এক তাকে সরল সমীকরণ বলে। যেমন, x + 2 = 0 x+y+2=3, 2x + 4 = 8,...... ইত্যাদি সরল সমীকরণ।

কোনো সমীকরণের চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে সমীকরণটির ঘাত বলে। যেমন: y + 3 = 2y - 7 সমীকরণটির চলক y এর সর্বোচ্চ ঘাত 1. তাই সমীকরণটির ঘাত 1।  x² + 5x + 6 = 0 সমীকরণে চলক x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2, তাই এই সমীকরণের ঘাত 2.

তিনটি ভিন্ন ঘাতের এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ নিম্নরূপ:
(i) 2 - x = 3x + 11 সমীকরণটির ঘাত 1. এটি এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ

(ii) y² - y + 1 = 0 সমীকরণটির ঘাত 2. এটি এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ

(iii) x³ - 3x² + 1 = 0 সমীকরণটির ঘাত 3. এটি এক চলকবিশিষ্ট ত্রিঘাত সমীকরণ।

i) $x^2+1=2,$ সমীকরণের চলক x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2. তাই সমীকরণটির ঘাত 2.

$ii)\frac{y}{2}=\frac{35}{5}=1$সমীকরণের চলক y এর সর্বোচ্চ ঘাত 1. তাই সমীকরণটির ঘাত 1.

যে রাশির মান পরিবর্তনশীল তাকে চলক বলে। অপরদিকে ধ্রুবক অপরিবর্তনশীল। সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার ছোট হাতের শেষের দিকের অক্ষর x, y, z চলক হিসেবে ব্যবহার হয় কিন্তু ইংরেজি বর্ণমালার ছোট হাতের প্রথম দিকের অক্ষর a, b, c ধ্রুবক হিসেবে ব্যবহৃত হয়। চলক স্বাধীন, অধীন বিভিন্ন ধরনের হতে পারে। কিন্তু ধ্রুবকের কোনো প্রকারভেদ হয় না।

সমীকরণ হলো সংখ্যা ও প্রতীক ব্যবহার করে লেখা এক ধরণের গাণিতিক বিবৃতি যাতে বামপক্ষ ও ডানপক্ষকে গাণিতিকভাবে সমান বা সমতুল্য দেখানো হয়। সমীকরণে সমান চিহ্নের দুই পক্ষে দুইটি বহুপদী থাকে, অথবা একপক্ষে (প্রধানত ডানপক্ষে) শূন্য থাকতে পারে। দুই পক্ষের বহুপদীর চলকের সর্বোচ্চ ঘাত সমান নাও হতে পারে। যেমন, x² +5x=0 একটি সমীকরণ যা সমাধান করলে এর সর্বোচ্চ ঘাতের সমান সংখ্যক মূল পাওয়া যায়।

সমীকরণ সমাধান করে চলকের সর্বোচ্চ ঘাতের সমান সংখ্যক মান পাওয়া যায়। এই মান বা মানগুলোকে বলা হয় সমীকরণটির মূল। এই মূল বা মূলগুলো দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। একাধিক মূলের ক্ষেত্রে এগুলো সমান বা অসমান হতে পারে। যেমন, x² - 5x + 6 = 0 সমীকরণটির মূল 2, 3. আবার, (x - 3)² = 0 সমীকরণে x এর মান ও হলেও এর মূল 3, 3.

সমান চিহ্নের দুইপক্ষে সমান ঘাতবিশিষ্ট দুইটি বহুপদী থাকে। চলকের সর্বোচ্চ ঘাতের সংখ্যার চেয়েও অধিক সংখ্যক মানের জন্য অভেদটি সিদ্ধ হবে। সমান চিহ্নের উভয় পক্ষের মধ্যে কোনো ভেদ নেই বলেই এটিকে বলে অভেদ। যেমন: (x+1)² - (x-1)² = 4x একটি অভেদ, এটি x এর সকল মানের জন্য সিদ্ধ হবে। তাই এই সমীকরণটি একটি অভেদ।

সমীকরণ ও অভেদের ৩টি পার্থক্য নিম্নরূপ:

সমীকরণ সমাধান করে চলকের প্রাপ্ত মান সমীকরণের বামপক্ষ ও ডানপক্ষে বসিয়ে চলকের মান যাচাই করা হয়। এ যাচাই প্রক্রিয়া হচ্ছে সমীকরণের শুদ্ধি পরীক্ষা। প্রাপ্ত চলকের মান উভয়পক্ষে বসানোর পর যদি উভয়পক্ষের মান সমান হয়, তবে প্রাপ্ত চলকের মান সঠিক এবং সমীকরণ সমাধান সঠিক হয়। এক্ষেত্রে প্রাপ্ত চলকের মানই হরে সমীকরণটির মূল।

দুইটি সমীকরণ  হলো: $\left(i\right)\frac{x-y}{a^2+b^2}=\frac{y-x}{2ab}$

$\left(ii\right)(x+1)(x-2)=(x-4)(x+2)$

দুইটি অভেদ হলোঃ $\left(i\right)(a+b)(a- b)=a^2-b^2$

$\left(ii\right)a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$

$(y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2)$

বা, $y^2-y+2y-2=y^2+4y-2y-8$

বা, $y - 2 = 2y - 8$

বা, $y - 2y = - 8 + 2$

বা, $- y = - 6$

$y = 6$

নির্ণেয় সমাধন: y =6.

$\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-4}=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-5}$

বা,$\frac{x-4+x-3}{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}=\frac{x-5+x-2}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}$

বা,$\frac{2x-7}{x^2-7x+12}=\frac{2x-7}{x^2-7x+10}$

দুই পক্ষের ভগ্নাংশ দুইটির মান সমান। আবার, দুই পক্ষের লব সমান, কিন্তু হর অসমান। এক্ষেত্রে লবের মান একমাত্র শূন্য হলেই দুই. পক্ষ সমান হবে।

$\therefore 2x - 7 = 0$

বা, $2x = 7$

বা, $x=\frac{ 7}{2}$

নির্ণেয় সমাধান: $x=\frac{ 7}{2}$

$\left(\sqrt{7+1}\right)x=6\sqrt{7}-6$

বা, $\left(\sqrt{7+1}\right)x=6\left(\sqrt{7}-1\right)$

$x=\frac{6\left(\sqrt{7}-1\right)}{\left(\sqrt{7+1}\right)}=\frac{6\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{7-1}\right)}{\left(\sqrt{7+1}\right)\left(\sqrt{7-1}\right)}=\frac{6{\left(\sqrt{7}-1\right)}^2}{\sqrt{{\left(7\right)}^2-1^2}}$

$$\begin{gathered} =\frac{6 \left\{{\left(\sqrt{7}\right)}^2-2\sqrt{7+}{\left(1\right)}^2\right\}}{7-1} \\ =\frac{6 (7-2\sqrt{7}+1)}{7-1}=8-2\sqrt{7} \end{gathered}$$

নির্ণেয় সমাধান: x= $8-2\sqrt{7}$

$\frac{mx}{n}+\frac{nx}{m}=m^2+n^2$

$\frac{m^{2}x+n^{2}x}{mn}=m^2+n^2$

$m^{2}x+n^{2}x=mn\left(m^2+n^2\right)$

$x\left(m^2+n^2\right)=mn\left(m^2+n^2\right)$

$x=\frac{mn\left(m^2+n^2\right)}{\left(m^2+n^2\right)}$

$\therefore x=mn$

নির্ণেয় সমাধান: x = mn

$\sqrt{3x}-2=2\sqrt{3}+4$

$\sqrt{3x}=2\sqrt{3}+4+2=2\sqrt{3}+6=2\sqrt{3+}2\sqrt{3}.\sqrt{3}$

$x=\frac{2\sqrt{3}( 1+\sqrt{3)}}{\sqrt{3}}=2(1+\sqrt{3})$

নির্ণেয় সমাধান সেট, S = $\left\{2(1+\sqrt{3})\right\}$

দেওয়া আছে, $\sqrt{2x-3}+7=2$

বা, $\sqrt{2x-3}=2-7$

বা, $\sqrt{2x-3}=-5$

কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গমূল কখনো ঋণাত্মক সংখ্যা হতে পারে না। তাই প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান সেট নেই। (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\left(2+\sqrt{3}\right)x+1=3+2\sqrt{2}$

$\left(2+\sqrt{2}\right)x=3+2\sqrt{2}-1$

$\left(2+\sqrt{2}\right)x=2+2\sqrt{2}$

$\left(2+\sqrt{2}\right)x=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+2\right)$

$\left(2+\sqrt{2}\right)x=\sqrt{2}\times \left(2+\sqrt{2}\right)$

$x=\frac{\sqrt{2}\times \left(2+\sqrt{2}\right)}{\left(2+\sqrt{2}\right)}$

$x=\sqrt{2}$ (দেখানো হলো)

$(a + 2)(a - 3) = (a + 4)(a - 1)$

$a^2-3a+2a-6=a^2-a+4a-4$

$a^2-a-6=a^2+3a-4$

$0=a^2+3a-4-a^2+a+6$

$0=4a+ 2$

$a=-\frac{ 2}{4}=-\frac{1}{2}$

নির্ণেয় সমাধান:  $a=-\frac{1}{2}$

$\frac{b+2}{b+3}=2-\frac{1}{b+3}$

$\frac{b+3-1}{b+3}=2-\frac{1}{b+3}$

$\frac{b+3}{b+3}-\frac{1}{b+3}=2-\frac{1}{b+3}$

$1-\frac{1}{b+3}=2-\frac{1}{b+3}$

l = 2 যা অসম্ভব। সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।

নির্ণেয় সমাধান সেট, S =$\varnothing$

$\frac{x-2}{p^2+q^2}=\frac{x-3}{-q^2-p^2}$

বা,$\frac{x-2}{p^2+q^2}=\frac{x-3}{-\left(p^2+q^2\right)}$

বা, $\frac{x-2}{p^2+q^2}=\frac{x-3}{p^2+q^2}=0$

বা, $\frac{x-2+x-3}{p^2+q^2}=0$

বা, 2x - 5 = 0
বা, 2x = 5

$x=\frac{5}{2}$

নির্ণেয় সমাধান : $x=\frac{5}{2}$

$\frac{5x}{7}+\frac{4}{5}=\frac{x}{5}+\frac{2}{7}$

বা, $\frac{5x}{7}-\frac{x}{5}=\frac{2}{7}-\frac{4}{5}$ [পক্ষান্তর করে]

বা,$\frac{25x-7x}{35}-\frac{10-28}{35}$

বা,$\frac{18x}{35}=\frac{-18}{35}$

বা, $35\times \frac{18x}{35}=35\times \frac{-18}{35}$ [উভয়পক্ষকে 35 দ্বারা, গুণ করে]

বা, $18x=-18$

বা,$\frac{18x}{18}=-\frac{18}{18}$ [উভয়পক্ষকে 18 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $x=-1$

নির্ণেয় সমাধান: x = - 1

$\frac{3y+1}{5}=\frac{3y-7}{3}$

বা,$15y-35=9y+3$ [আড়গুণন করে]

বা,$15y - 9y = 35 + 3$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $6y = 38$

বা, $\frac{6y}{6} = \frac{38}{6}$[উভয়পক্ষকে 6 দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore$ $y= \frac{19}{3}$

নির্ণেয় সমাধান: $y= \frac{19}{3}$

$5(x - 2) = 3(x - 4)$

বা, $5x-10= 3x-12$

বা, $2x=- 2$

বা, $\frac{2x}{2}=- \frac{2}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore x = - 1$

নির্ণেয় সমাধান: x = - 1

$7(3 - 2y) + 5(y - 1) = 34$

বা, $21 - 14y + 5y - 5 = 34$

বা, $- 9y = 34 - 21 + 5$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $- 9y = 39 - 21$

বা, $- 9y =18$

বা,$\frac{- 9y }{9}=\frac{18}{9}$ [উভয়পক্ষকে 9 দ্বারা ভাগ করে]

$y=-2$

নির্ণেয় সমাধান: y = - 2

$\frac{x}{3}+5=\frac{x}{2}+7$

বা, $\frac{x}{3}-\frac{x}{2}=7-5$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $\frac{x}{3}-\frac{x}{2}=2$

বা,$\frac{2x-3x}{6}=2$

বা, $-x=12$ [আড়গুণন করে]

$x = - 12$

নির্ণেয় সমাধান: x = - 12

$\frac{y}{2}-\frac{y}{3}=\frac{y}{5}-\frac{1}{6}$

$\frac{y}{2}-\frac{y}{3}-\frac{y}{5}=-\frac{1}{6}$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $\frac{15y-10y-6y}{30}=-\frac{1}{6}$

বা, $\frac{15y-16y}{30}=-\frac{1}{6}$

বা, $-\frac{y}{30}=-\frac{1}{6}$

বা, $6y=30$ [আড়গুণন করে]

বা, $\frac{6y}{6}=\frac{30}{6}$ [উিভয়পক্ষকে 6 দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore y = 5$

নির্ণেয় সমাধান: y = 5 .

দেওয়া আছে,  $3(5x - 3) = 2(x + 2)$

বা, $15x - 9 = 2x + 4$

বা, $15x -2x=4-9$

বা, $13x=13$

$x=1$

নির্ণেয় মান: x = 1

$\sqrt{4x - 3}+ 5 = 2$

বা, $\sqrt{4x - 3}= 2-5$

বা, $\sqrt{4x - 3}=-3$

কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গমূল ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।

নির্ণেয় সমাধান সেট, S = { }.

$\sqrt{2x-5}+3=2$

বা, $\sqrt{2x-5}=2-3$

বা, $\sqrt{2x-5}=-1$

যেহেতু কোনো বাস্তব রাশির বর্গমূল ঋণাত্মক হতে পারে না। সেহেতু সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই।

নির্ণেয় সমাধান সেট: S = $\varnothing$

দেওয়া আছে, $\frac{x}{4}+3=\frac{x}{3}-2$

বা, $\frac{x}{4}-\frac{x}{3}=-2-3$

বা, $\frac{3x-4x}{12}=-5$

বা, $\frac{-x}{12}=-5$

বা, $- x = - 60$

$\therefore x = 60$

নির্ণেয় মান: x = 60

দেওয়া আছে,  $3(5x - 7) = 2(x + 9)$

বা, $15x - 21 = 2x + 18$

বা,$15x - 2x = 18 + 21$

বা, $13x = 39$

বা, $x = \frac{39}{13}$

$\therefore$$x = 3$

$\therefore$ x এর মান 3

মনে করি, সংখ্যাটি = x

সংখ্যাটির তিনগুণ = 3x

প্রশ্নমতে, 3x + 5 = 26

বা, 3x = 26 - 5 [পক্ষান্তর করে]

বা, 3x = 21

বা, $x=\frac{21}{3}$ [উভয়পক্ষকে 3দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore$ x = 7

নির্ণেয় সংখ্যাটি 7.

মনে করি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে, x - 27 = - 24

বা, x = 27 - 24 [পক্ষান্তর করে]

x = 3

নির্ণেয় সংখ্যাটি 3.

মনে করি, সংখ্যাটি = x

x এর এক-তৃতীয়াংশ =$\frac{x}{3}$

প্রশ্নমতে, $\frac{x}{3}=40$

বা, x = 120

নির্ণেয় সংখ্যাটি 120.

মনে করি, সংখ্যাটি= x

5 বিয়োগ করলে সংখ্যাটি দাঁড়ায়, x - 5

শর্তমতে, 5(x - 5) = 100

বা, x - 5 = 20 [5 দ্বারা ভাগ করে]

বা, x = 20 + 5 [পক্ষান্তর করে]

x = 25

নির্ণেয় সংখ্যাটি 25.

ধরি, জমির প্রস্থ x মিটার

$\therefore$ দৈর্ঘ্য 3x মিটার

আমরা জানি, আয়তাকার জমির পরিসীমা 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

$\therefore$ আয়তাকার জমির পরিসীমা = 2(3x + x)

= 2 $\times$4x = 8x

প্রশ্নমতে,  8x = 80

বা, $x=\frac{80}{8}$[উভয়পক্ষকে 8 দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore$ x = 10

$\therefore$জমিটির প্রস্থ, x = 10 মিটার

এবং দৈর্ঘ্য, 3x = (3 $\times$ 10) = 30 মিটার

নির্ণেয় জমিটির দৈর্ঘ্য 30 মিটার এবং প্রস্থ 10 মিটার।

এখানে, লিজা ও শিখার বয়সের অনুপাত 2 : 3

ধরি, অনুপাতের সাধারণ রাশি x

$\therefore$লিজার বয়স 2x বছর এবং শিখার বয়স 3x বছর

প্রশ্নমতে, 2x + 3x = 50

বা, 5x = 50

$\therefore$ x = 10

$\therefore$ লিজার বয়স (2 $\times$ 10) বছর

= 20 বছর

$\therefore$শিখার বয়স = (3 $\times$10) বছর

= 30 বছর

$\therefore$ লিজার বয়স 10 বছর এবং শিখার বয়স 30 বছর।

মনে করি, রকির রান সংখ্যা x

তাহলে রবির রান সংখ্যা (2x-5)

প্রশ্নমতে, x + 2x - 5 = 85

বা, 3x = 85 + 5 [পক্ষান্তর করে]

বা, 3x = 90

বা, $x=\frac{90}{3}=30$

রকির রান সংখ্যা 30.

মনে করি, সংখ্যাটি = x

$\therefore$ x এর অর্ধেক =$\frac{x}{2}$

প্রশ্নমতে,  $\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=25$

বা, $\frac{3x-2x}{6}=25$

বা, $\frac{x}{6}=25$

$x=150$

নির্ণেয় সংখ্যা 150.

মনে করি, ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে x, x + 19x + 2

প্রশ্নমতে, x + x + 1 + x + 2 = 93

বা, 3x + 3 = 93

বা, 3x = 93 - 3 = 90

বা, $x=\frac{90}{3}=30$

প্রথম সংখ্যাটি = x = 30

দ্বিতীয় সংখ্যাটি = x + 1 = 30 + 1 = 31

তৃতীয় সংখ্যাটি = x + 2 = 30 + 2 = 32

নির্ণেয়, ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে 30, 31 এবং 32.

মনে করি, ছোট সংখ্যাটি x

$\therefore$বড় সংখ্যাটি (55-x)

শর্তমতে, 5(55 - x) = 6x

বা, 275 - 5x = 6x

বা, 6x + 5x = 275 [পক্ষান্তর করে]

বা, 11x = 275

বা, $x=\frac{275}{11}$

$\therefore$x = 25

অর্থাৎ, ছোট সংখ্যা 25 এবং বড় সংখ্যাটি (55-25) = 30

$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যা দুইটি 25 এবং 30.

মনে করি, একটি খাতার দাম x টাকা

$\therefore$ একটি কলমের দাম (75-x) টাকা

প্রশ্নমতে, x - 5 = 2{(75 - x) + 2}

বা, x - 5 = 2(77- x)

বা, x - 5 = 154 - 2x

বা, x + 2x = 154 + 5 [পক্ষান্তর করে]

বা, 3x = 159

বা, $x=\frac{159}{3}$

$\therefore$ x = 53

$\therefore$খাতার দাম 53 টাকা।