সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

সংখ্যা নির্দেশক প্রতীক এবং প্রক্রিয়া চিহ্নের অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলে। যেমন: 2x + 3y + 5c একটি বীজগাণিতিক রাশি। বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলো ধ্রুবক, এদের মান নির্দিষ্ট এবং অক্ষর প্রতীকগুলোকে বলা হয় চলক। চলকের মান নির্দিষ্ট নয়, এরা বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।

বীজগণিতকে পাটিগণিতের সর্বায়নকৃত রূপ বলা হয়। কারণ পাটিগঠিতে শুধু ধনাত্মক সংখ্যা ব্যবহৃত হয়, অন্যদিকে বীজগণিতে শূন্যসহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সকল সংখ্যা ব্যবহার করা হয়।

বামপক্ষ$=(a+b{)}^2=(a+b\left)\right(a+b)$

                                     $=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$ = ডানপক্ষ

           $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ (দেখানো হলো)

আমরা জানি, $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2.......(i)$

         এবং $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2............\left(ii\right)$

(i) নং ও (ii) নং যোগ করে পাই,

     $(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2$

বা, $(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=2a^2+2b^2$

বা, $(a+b{)}^2+(a-b{)}^2=2(a^2+b^2)$

  $\therefore 2(a^2+b^2)=(a+b{)}^2+(a-b{)}^2$ (দেখানো হলো)

আমরা জানি, $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2.........\left(i\right)$

                   এবং $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2..........(ii)$

(i) নং হতে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,

              $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)$

    বা, $(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2$

     বা, $4ab=(a+b{)}^2-(a-b{)}^2$

বা, $ab={\left(\frac{a+b}{4}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{4}\right)}^2$

$\therefore ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$ (দেখানো হলো)

বামপক্ষ $=(a+b+c{)}^2$

                $=\left\{\right(a+b)+c{\}}^2$

                  $=(a+b{)}^2+2(a+b)c+c^2$

                  $=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2$

                  $=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ = R.H.S

       $(a+b+c)²= a²+b²+c²+2ab+2bc + 2ca$ (দেখানো হলো)

4x + 3y এর বর্গ= $(4x+3y{)}^2$

                            $=(4x{)}^2+2.4x.3y+(3y{)}^2$

                             $=16x^2+24xy+9y^2$

$\therefore r(2x + 3y)$ এর বর্গ  $=16x^2+24xy+49y^2.$

$-6x+2y$ এর বর্গ $=(-6x+2y{)}^2$

   $=(-6x{)}^2+2,$$(-6x)$ $2y+(2y{)}^2=36x^2-24xy+4y^2$

$\therefore - 6x +2y$ এর বর্গ  $=36x^2-24xy+4y^2.$

3c - 2d এর বর্গ $=(3c-2d{)}^2$

          $=(3c{)}^2-2$ .$3c$ $2d+(2d{)}^2=9c^2-12cd+4d^2$

   $\therefore 3c - 2d$ এর বর্গ $=9c^2-12cd+4d^2$

198 এর বর্গ $= \left(198\right)²$

  $=(200-2{)}^2=(200{)}^2-2.200.2+2^2$

    $= 40000-800+440004-800-39204$

∴    198 এর বর্গ = 39204.

$1110$ এর বর্গ = $(1110{)}^2$

$={ (1000+ 100+10)}^2$

$=(1000{)}^2+(100{)}^2+(10{)}^2+2\times 1000\times 100+2\times 100\times 10+2\times 10\times 1000$

  $=1000000+10000+100+200000+2000+20000$

    $= 1232100$

   $\therefore 1110$ এর বর্গ  $1232100$

$a+b+c+ d$ এর বর্গ $=(a+b+c+d{)}^2$

  $=\left\{\right(a+b)+(c+d){\}}^2$

    $=(a+b{)}^2+2(a+b\left)\right(c+d)+(c+d{)}^2$

     $=a^2+2ab+b^2+2(ac+ad+bc+bd)+c^2+2cd+d^2$

    $=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$

ধরি, $5x + 5y + 3z = a$ এবং $-5x-7y-3z=b$

প্রদত্ত রাশি $=a^2+2.b.a+b^2$

                   $=a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

                    $=\left\{\right(5x+5y+3z)+(-5x-7y-3z){\}}^2$ [a ও ৮ এর মান বসিয়ে]

                      $=(5x+5y+3z-5x-7y-3z{)}^2=(-2y{)}^2=4y^2.$

দেওয়া আছে, $a + b = 10$ $ab = 15$

আমরা জানি, $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$

                                        $=(10{)}^2-4\times 15=100-60=40$

বা, $a - b = \sqrt{40}=2\sqrt{10}$

$\therefore a - b =2\sqrt{10}$

নির্ণেয় মান: $2\sqrt{10}$

দেওয়া আছে, $a +\frac{ 1}{a }= \sqrt{9}$

$\therefore {\left( a-\frac{1}{a}\right)}^2={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2- 4.a.\frac{1}{a}={\left(\sqrt{9}\right)}^2-4=9-4=5$

∴ $a - \frac{1}{a}=\sqrt{5}$

নির্ণেয় মান: $\sqrt{5}$

দেওয়া আছে, $x^2=5+2\sqrt{6}$

    বা, $x^2=3+2\sqrt{6}+2$

     বা, $x^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+2.\sqrt{3}.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2$

                 $\therefore x = \sqrt{3}+\sqrt{2}$

নির্ণেয় মান: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$

আমরা জানি, $(p+q+r{)}^2=(p^2+q^2+r^2)+2(pq+qr+rp)$

বা, $(13{)}^2=69+2(pq+qr+tp)$

বা, $169 - 69 = 2(pq + qr + rp)$

বা, $100 = 2(pq + qr + rp)$

বা, $\frac{100}{2}=pq+qr+rp$

∴ pq + qr + rp = 50

প্রদত্ত রাশি$=x^2+14x+48$

                   $=x^2+2.x. 7+7^2-7^2+48$

            $=(x+7{)}^2-1=(x+7{)}^2-1^2$

             $= (x + 7 + 1)(x + 7 - 1) = (x + 8)(x + 6)$

ধরি, $x + 8 = a$ এবং $x + 6 = b$

$\therefore (x+8)(x+6)=ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$

                                       $={\left(\frac{(x+8+x+6)}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x+8-x-6}{2}\right)}^2$

                                        $={\left(\frac{2x+14}{2}\right)}^2-{\left(\frac{2}{2}\right)}^2={\left\{\frac{2(x+7)}{2}\right\}}^2-1^2$

                                         $=(x+7{)}^2-1^2$ $\therefore x^2+14x+48=(x+7{)}^2-l^2$

দেওয়া আছে, $a = 3 - 2\sqrt{2}$

   বা, $\frac{1}{a }=\frac{ 1}{(3 - 2\sqrt{2}}$

                  $= \frac{3+2\sqrt{2}}{\left(3-2\sqrt{2}\right) \left(3+2\sqrt{2}\right)}$

                 $=\frac{3+2\sqrt{2}}{9-8}=\frac{3+2\sqrt{2}}{1}$

        $\therefore \frac{1}{a}=3+2\sqrt{2.}$

     নির্ণেয় মান: $3 + 2\sqrt{2}$

দেওয়া আছে, $p + 2 =\sqrt{5}$

          বা,  $p=\sqrt{5}-2$

          বা, $\frac{1}{p}=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{1\times \left(\sqrt{5}+2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right) }= \frac{\sqrt{5}+2}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(2\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}$

          $\therefore \frac{1}{p}=\sqrt{5}+2$

$\therefore p-\frac{1}{p}=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}-2=-4$

        নির্ণেয় মান:- 4

এখানে, $x =\sqrt{5}+\sqrt{3}$

                     $\therefore \frac{2}{x}=\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}$

                          $=\frac{2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{2\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$

নির্ণেয় মান: $\sqrt{5}-\sqrt{3}$

এখানে, $y - \frac{2}{y} = 2a$

বা, $\frac{y^2-2}{y}=2a$

বা, $y^2-2=2ay$

∴ $y^2-2ay=2$

∴ $\frac{\left(6a\right)}{y^2-2ay-1 }=\frac{6a}{2-1}=\frac{6a}{1}=6a$

নির্ণেয় মান 6a.

${\left(x - \frac{1}{x}\right)}^2= {\left(x + \frac{1}{x}\right)}^2-4.x.\frac{1}{x}={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-4=8-4=4$

                                          $x -\frac{ 1}{x}=2$

                                         নির্ণেয় মান 2.

এখানে, $y + \frac{1}{y}= 5$

     বা, $\frac{y^2+1}{y}=5$

    বা, $y^2+1=5y$

বামপক্ষ, $=\frac{y}{y^2-3y+1}$

                $=\frac{y}{y^2+1-3y}=\frac{y}{5y-3y }=\frac{y}{2y}=\frac{1}{2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{y}{y^2-3y+1}=\frac{1}{2}$ (প্রমাণিত)

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

$=x^2+2xy+y^2+(-4xy)$

$=x^2+2xy+y^2-4xy$

$=x^2-2xy+y^2=(x-y{)}^2$

$\therefore (x+y{)}^2$ এর সাথে $(- 4xy)$ যোগ করলে $(x-y{)}^2$ হবে।

দেওয়া আছে, $\frac{x}{y}= \frac{2}{3}$

অর্থাৎ, $x = 2$, $y = 3$

বামপক্ষ$=\frac{6x+y}{3x+2y}=\frac{6\times 2+3}{3\times 2+2\times 3}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4}=$ডানপক্ষ

$\therefore \frac{6x + y}{3x + 2y}=\frac{5}{4}$ (দেখানো হলো)

এখানে, $(x^2+1{)}^2=5x^2$

বা, $x^2+1=\sqrt{5}x$

বা, $x\left(x + \frac{1}{x}\right)= \sqrt{5}x$

$\therefore x + \frac{1}{x}=\sqrt{5}$

এখানে, $x -\frac{ 1}{x}= 7$

বা, $\frac{x^2-1}{x}=7$

  $\therefore x^2-7x-1=0$

$\therefore \frac{x}{x^2-6x-1}=\frac{x}{x^2-7x-1+x}=\frac{x}{0+x}=1$

নির্ণেয় মান 1

দেওয়া আছে, ${\left(2a+\frac{2}{a}\right)}^2=12$

   বা, $2a + \frac{2}{a} = \sqrt{12}$ [বর্গমূল করে]

বা, $2\left(a + \frac{1}{a}\right)=2\sqrt{3}$

$\therefore a+\frac{1}{a}\sqrt{3}$(প্রমাণিত)

এখানে, $x = \sqrt{7}-\sqrt{6}$

বা, $\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}$

বা, $\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{{\left(\sqrt{7}\right)}^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{7-6}=\sqrt{7}+\sqrt{6}$

নির্ণেয় মান $\sqrt{7}+\sqrt{6}$

এখানে, $x^2+\sqrt{3x}+1=0$

   বা, $x^2+1=-\sqrt{3}x$

    বা, $\frac{x^2+1}{x}=-\sqrt{3}$

   বা, $\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}=-\sqrt{3}$

$\therefore x+\frac{1}{x}=-\sqrt{3}$ (দেখানো হলো)

এখানে, $x - 8 = - \frac{8}{x}$

বা, $x^2-8x=-8$

প্রদত্ত রাশি, $=\frac{1}{x^2-8x+9}=\frac{1}{-8+9}=\frac{1}{1}=1$

    নির্ণেয় মান : 1

এখানে, $x + y = 30..........\left(i\right)$

    এবং $x - y = 20............\left(ii\right)$

সমীকরণ (i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

    $x + y + x - y = 30 + 20$

বা, $2x = 50$

  বা, $x = \frac{50}{2}= 25$

বা, $\sqrt{x}=\sqrt{25}$ [বর্গমূল করে]

$\therefore \sqrt{x}=5$

দেওয়া আছে, $x = 9 +4\sqrt{5}$

বা, $x={\left(\sqrt{5}\right)}^2+2.\sqrt{5}.2+{\left(2\right)}^2={\left(\sqrt{5}+2\right)}^2$

বা, $\sqrt{x}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^2$ [ বর্গমূল করে]

বা, $\sqrt{x}=\sqrt{5}+2=2+\sqrt{5}$

নির্ণেয় মান: $2 +\sqrt{5}$

এখানে, $x^2+y^2=4xy$

বামপক্ষ= $=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}={\left(\frac{x}{y}\right)}^2+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}$

                  $={\left(\frac{x^2+y^2}{xy}\right)}^2-2={\left(\frac{4xy}{xy}\right)}^2-2 [ \because x^2+y^2=4xy]$

               $\therefore \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=14.$ (প্রমাণিত)

এখানে, $x^2-2\sqrt{6}-5=0$

বা, $x^2=2\sqrt{6}+5=3+2\sqrt{6}+2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\sqrt{3}.\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$

বা, $x^2={\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2$

বা, $x =\sqrt{3}+\sqrt{2}$ [বর্গমূল করে]

$\therefore x =\sqrt{3}+\sqrt{2}$

নির্ণেয় মান: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$

দেওয়া আছে, $x =\sqrt{6}$ এবং $y =\sqrt{3}$

প্রদত্ত রাশি $=(x-y{)}^2+2xy$

                    $=x^2+y^2[ \because a^2+b^2=(a-b{)}^2+2ab]$

                     $={\left(\sqrt{6}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=6+3=9.$

নির্ণেয় মান 9.

দেওয়া আছে, $a+\frac{1}{a}$

এখন, $\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)={ \left(\sqrt{a}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)}^2+2.\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}$

                                         $= a +\frac{ 1}{a }+ 2 = 0 + 2 = 2$

              $\therefore \sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{2}$

প্রদত্ত রাশি = $\sqrt{2}\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)= \sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$

নির্ণেয় মান 2.

দেওয়া আছে, $x^2-\sqrt{6}x+1=0$

           বা, $x^2+1=\sqrt{6}x$

           বা, $\frac{x^2+1}{x}=\frac{\sqrt{6}x}{x}$

            $\therefore x+\frac{1}{x}=\sqrt{6}$

          $\therefore {\left( x-\frac{1}{x}\right)}^2={\left(a+\frac{1}{x}\right)}^2-4.x.\frac{1}{x}={\left(\sqrt{6}\right)}^2-4=6-4=2$

          $\therefore x-\frac{1}{x}=\sqrt{2}$ (প্রমাণিত)

এখানে, $p + q+r=6$ এবং $p^2+q^2+r^2=14$

আমরা জানি, $(p+q+r{)}^2=p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+rp)$

বা, $6^2=14+2(pq+qr+rp)$ [মান বসিয়ে]

বা, $36 - 14 = 2(pq + qr + rp)$

বা, $pq + qr + q =\frac{ 22}{2}= 11$

নির্ণেয় মান 11.

দেওয়া আছে, $\sqrt{36m}-6m=1$

বা, $6m + 1 = \sqrt{36m}= 6\sqrt{m}$

বা, $\frac{6m+1}{2\sqrt{m}}=3$

$\therefore 3\sqrt{m}+\frac{1}{2\sqrt{m}}=3$

এখন, ${\left(3\sqrt{m}-\frac{1}{2\sqrt{m}}\right)}^2={\left(3\sqrt{m}+\frac{1}{2\sqrt{m}}\right)}^2-4.3\sqrt{m}.\frac{1}{2\sqrt{m}}$

$=3^2-6=9-6=3$

$\therefore 3\sqrt{m}-\frac{1}{2\sqrt{m}}=\sqrt{3}$

নির্ণেয় মান: $\sqrt{3}$

দেওয়া আছে, $a =\sqrt{5}$ এবং $b =\sqrt{3}$

বামপক্ষ$=(a+b{)}^2-2ab$

              $=a^2+2ab+b^2-2ab$

               $=a^2+b^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=5+3=8=$ ডানপক্ষ

$\therefore (a+b{)}^2-2ab=8$ (দেখানো হলো)

এখানে, $(x+y{)}^2=(x-y{)}^2+4xy={\left(8\sqrt{2}\right)}^2+4\times 13=180$

       $\therefore x + y =\sqrt{36\times 5}=6\sqrt{5}$

       $\therefore x^2-y^2=(x+y)(x-y)=6\sqrt{5}\times 8\sqrt{5}=48\sqrt{10}$

দেওয়া আছে, $2x-\frac{1}{3x}=2$

বা, $\frac{6x^2-1}{3x}=2$

বা, $6x^2-1=6x$

বা, $2x\left(3x - \frac{1}{2x}\right)= 6x$

$\therefore 3x - \frac{1}{2x}=3$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $a + b =\sqrt{7}$ এবং $a - b = \sqrt{3}$

   আমরা জানি, $ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$

                               $={\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$ [মান বসিয়ো]

                              $= \frac{7}{4}- \frac{3}{4 }= \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4}= 1$

নির্ণেয় মান 1.

এখানে, $a + \frac{1}{a}= 2$

বা, $\frac{a^2+1}{a}=2$

বা, $a^2-2a+1=0$

বা, $(a-1{)}^2=0$

বা, $a - 1 = 0$

$\therefore a = 1$

বামপক্ষ$=a^5+\frac{1}{a^5}$

                $=1^5+\frac{1}{1^5}=1+\frac{1}{1}=1+1=2=$ডানপক্ষ

   $\therefore a^5+\frac{1}{a^5}=2.$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $p^2-2\sqrt{5}=6$

বা, $p^2=6+2\sqrt{5}={\left(\sqrt{5}\right)}^2+2\sqrt{5}.1+1^2$

বা, $p^2={\left(\sqrt{5}+1\right)}^2$

$\therefore p ={ \left(\sqrt{5}+1\right)}^2$

$\therefore p=\sqrt{5}+1$ (প্রমাণিত)

এখানে $a^2=13+\sqrt{168}$

                     $= 13 + \sqrt{4\times 42}$

                    $= 7 + 6 +2\sqrt{42}$

                     $={\left(\sqrt{7}\right)}^2+2\sqrt{7}.\sqrt{6}+{\left(\sqrt{6}\right)}^2$

                    $={\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}^2$

$a =\sqrt{7}+\sqrt{6}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} =4$

   আমরা জানি, ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-4,x,\frac{1}{x}$

                                               $=4^2-4=16-4=12$

        $\therefore \left(x -\frac{ 1}{x}\right) =\sqrt{12}= 2\sqrt{3}$

  বামপক্ষ  $=x^2-\frac{1}{x^2}$  

                   $=\left( x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)$

                    $=4\times 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ = ডানপক্ষ

$\therefore x^2-\frac{1}{x^2}=8\sqrt{3}.$ (প্রমাণিত)

এখানে, $2x + \frac{1}{x}= 3$

বা, $4x^2+2.2+\frac{1}{x^2}=9$ [ বর্গ করে]

বা, $4x^2+\frac{1}{x^2}=9-4=5$

নির্ণেয় মান 5.