সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

ধরি, 1টি কলার মূল্য x টাকা

1 টি রুটির মূল্য y টাকা

তাহলে, 3x + 4y = 60 ______ (i)

2x + 6y = 80 ______ (ii)

(i) ও (ii) নং নির্ণেয় সমীকরণ।

ধরি, শ্রেণিকক্ষের মেঝের দৈর্ঘ্য x মিটার

এবং শ্রেণিকক্ষের মেঝের প্রস্থ y মিটার

$\therefore$ শ্রেণিকক্ষের মেঝের ক্ষেত্রফল xy বর্গমিটার

১ম শতৃমতে, (x+4) (y+2) = x + 96

বা, xy + 2x + 4y +8 = xy +96

বা, xy + 2x + 4y - xy = 96 - 8

বা 2x + 4y = 88 ________ (i)

২য় শর্তমতে, (x - 4)(y + 2) = xy - 16

বা, xy + 2x - 4y - 8 = xy - 16

বা, xy + 2x - 4y - xy = - 16 + 8

বা, 2x - 4y = - 8 _______ (ii)

(i) ও (ii) নং হতে পাই,

2x + 4y - 88 = 0

2x - 4y + 8 = 0 যা তথ্যের আলোকে গঠিত সমীকরণদ্বয়।

ধরি, প্রতিটি পেয়ারা গাছের চারার দাম = x টাকা

         “         লেবু          ”         “       ”    = y টাকা

শর্তমতে,

5x + 4y = 410 _____ (i)

4x + 5y = 400 _______ (ii)

এটিই হলো তথ্যের আলোকে গঠিত্ব সমীকরণজোট

ধরি, 1 টি হাঁসের বাচ্চার দাম x টাকা

ও 1 টি মুরগীর বাচ্চার দাম y টাকা

১ম প্রশ্নমতে, 25x + 30y = 5000

বা, 5x + 6y = 1000 [উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা ভাগ করে]

বা, 5x + 6y = 1000 ________ (i)

২য় প্রশ্নমতে, 20x + 40y = 5000 - 500

বা, x + 2y = 225 [উভয়পক্ষকে 20 দ্বারা ভাগ করে]

বা, x + 2y = 225 ________ (ii)

(i) ও (ii) নং নির্ণেয় সহসমীকরণ।

ধরি, প্রতিটি পোস্টার পেপারের মূল্য x টাকা

এবং প্রতিটি সাইন পেনের মূল্য y টাকা

প্রশ্নমতে,

2x + 3y = 30 ______ (i)

এবং 4x + 6y = 50 ______ (ii)

ধরি, প্রতিটি খাতার মূল্য = x টাকা

          “        কলমের  ”  = y টাকা

শর্তমতে,

2x + 4y = 100 ____(i)

3x + 2y = 110 ______ (ii)

এখন, সমীকরণজোটটির x এর সহগদ্বয়ের অনুপাত $= \frac{2}{3}$

                                       y   “         ”                "       $= \frac{4}{2}= 2$

এখানে,

$\frac{2}{3}\ne 2$

সুতরাং, সমীকরণদ্বয় পরস্পর সমঞ্জস, এদের একটি মাত্র সাধারণ সমাধান রয়েছে এবং এদের লেখচিত্রদ্বয় পরস্পরছেদী সরলরেখা।

এখানে, ভগ্নাংশটি = $\frac{x}{y}$

শর্তমতে,  $\frac{x - 1}{y + 2}= \frac{1}{3}$

বা, 3x - 3 = y + 2

বা, 3x - y = 5

এবং $\frac{x - 2}{y - 3}= 1$

বা, x - 2 = y - 3

বা, x - y = - 1

নির্ণেয় সমীকরণজোট : 3x - y = 5 এবং x - y = - 1

দেওয়া আছে, ভগ্নাংশটি $\frac{x}{y}$

তাহলে, ১ম শর্তমতে, $\frac{x + 7}{y}= 2$

আবার, ২য় শর্তমতে, $\frac{x}{y-2}=1$

নির্ণেয় সমীকরণজোট $\frac{x + 7}{y}= 2$ এবং $\frac{x}{y - 2}= 1$

দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 8 মিটার

                                       এবং প্রস্থ = 6 মিটার

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √ (দৈর্ঘ্য)² + (প্রস্থ)²

                                          $=\sqrt{8^2+6^2}$ মিটার

                                           = $\sqrt{100}$ মিটার

                                          = 10 মিটার

নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 মিটার।

মনে করি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি $\frac{x}{y}$ যেখানে x < y

তাহলে

$$\begin{gathered} \frac{y + x = 5 \\ y - x = 1}{2y = 6} \end{gathered}$$

$\therefore$ y = 3

$\therefore$ x = 5 - y = 5 - 3 = 2

$\therefore$ ভগ্নাংশটি $=\frac{2}{3}$

মনে করি, দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যথাক্রমে- a ও b

শর্তমতে,

$a^2-b^2=3$ _______ (i)

এবং ab = 2 ________ (i)

আমরা জানি,

$a^2+b^2=\sqrt{{\left(a^2-b^2\right)}^2+4a^2{b}^2}$

$=\sqrt{{\left(a^2-b^2\right)}^2+4{\left(ab\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(3\right)}^2+4{\left(2\right)}^2}$

$=\sqrt{9+16}$

= $\sqrt{25}$

= 5

দুইটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গের সমষ্টি 5.