সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

গণিত শাস্ত্রের প্রাচীন, শাখার নাম জ্যামিতি বা Geometry । Geometry শব্দটির গ্রিক শব্দ geo ভূমি (earth) ও metron -পরিমাপ (measure) শব্দের সমন্বয়ে তৈরি। তাই জ্যামিতি শব্দের অর্থ ভূমি পরিমাপ।

Elements' নামক গ্রন্থটি আধুনিক জ্যাতিরি ভিত্তি স্বরূপ। 'Elements' গ্রন্থটি গ্রিক পণ্ডিত ইউক্লিড জ্যামিতির ইতস্তত বিক্ষিপ্ত সূত্রগুলোকে বিধিবদ্ধভাবে সুবিন্যস্ত করে রচনা করেন।

স্থান ও তলের মধ্যে দুইটি পর্থক্য নিম্নরূপ :

রেখা ও বিন্দুর মধ্যে দুইটি পার্থক্য নিম্নরূপ:

যেকোনো গাণিতিক আলোচনায় এক বা একাধিক প্রাথমিক ধারণা স্বীকার করে নিতে হয়। ইউক্লিড এগুলোকে স্বতঃসিদ্ধ (axioms) বলে আখ্যায়িত করেন। ইউক্লিড প্রদত্ত দুইটি স্বতঃসিদ্ধ হলো:
(i) যে সকল বস্তু একই বস্তুর সমান, সেগুলো পরস্পর সমান।
(ii) সমান সমান বস্তুর সাথে সমান বস্তু যোগ করা হলে যোগফল সমান।

আধুনিক জ্যামিতিতে বিন্দু, সরলরেখা ও সমতলকে প্রাথমিক ধারণা হিসাবে গ্রহণ করে এদের কিছু বৈশিষ্ট্যকে স্বীকার করে নেওয়া হয়। এই স্বীকৃত বৈশিষ্ট্যগুলোকে জ্যামিতিক স্বীকার্য (Postulate) বলা হয়। ইউক্লিড প্রদত্ত দুইটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: একটি বিন্দু থেকে অন্য একটি বিন্দু পর্যন্ত একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: খণ্ডিত রেখাকে যথেচ্ছভাবে বাড়ানো যায়।

সমতল জ্যামিতিতে যেসব স্বীকার্য আছে তার স্বীকার্য ১ থেক্সে স্বীকার্য ও কে আপতন স্বীকার্য বলে।
দুইটি আপতন স্বীকার্য হলো:

স্বীকার্য-১: জগত (space) সকল বিন্দুর সেট এবং সমতল ও সরলরেখা এই সেটের উপসেট।
স্বীকার্য-২: দুইটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সরলরেখা আছে, যাতে উভয় বিন্দু অবস্থিত।

জ্যামিতিতে দূরত্বের ধারণার স্বীকার্য হলো:
(i) P ও Q বিন্দুযুগল একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা নির্দিষ্ট করে থাকে। সংখ্যাটিকে P বিন্দু থেকে বিন্দুর দূরত্ব বলা হয় এবং PQ দ্বারা সূচিত করা হয়।
(ii) PওQ ভিন্ন বিন্দু হলে PQ সংখ্যাটি ধনাত্মক। অন্যথায়, PQ = 0
(iii) P থেকে Q-এর দূরত্ব এবং Q থেকে P-এর দূরত্ব একই। অর্থাৎ, PQ = QP

বুলার স্বীকার্য কোনো সরলরেখায় অবস্থিত বিন্দুসমূহের
সেট এবং বাস্তব সংখ্যা সেটের মধ্যে এমনভাবে এক-এক মিল স্থাপন করা যায়, যেন রেখাটির যেকোনো দুইটি বিন্দু P. Q এর জন্য PQ = la- b| হয়, যেখানে মিলকরণের ফলে P ও Q এর সঙ্গে যথাক্রমে a ও b বাস্তব সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হয়।

বুলার স্থাপন স্বীকার্য যেকোনো সরলরেখা AB কে এমনভাবে সংখ্যারেখায় পরিণত করা যায় যে, এ এর স্থানাঙ্ক ০ এবং B এর স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক হয়।

জ্যামিতির যে শাখায় একই সমতলে অবস্থিত বিন্দু, রেখা এবং এদের সঙ্গে সম্পর্কিত বিভিন্ন জ্যামিতিক সত্তা সম্পর্কে আলোচনা করা হয়, তাকে সমতল জ্যামিতি বলা হয়।

যেকোনো গাণিতিক তত্ত্বে কতিপয় প্রাথমিক ধারণা, সংজ্ঞা এবং স্বীকার্যের উপর ভিত্তি করে ধাপে ধাপে ঐ তত্ত্ব সম্পর্কিত বিভিন্ন উক্তি যৌক্তিকভাবে প্রমাণ করা হয়। এরূপ উক্তিকে সাধারণত প্রতিজ্ঞা বলা হয়। প্রতিজ্ঞার যৌক্তিকতা প্রমাণের তিনটি পদ্ধতি হলো:
(i) আরোহ পদ্ধতি;
(ii) অবরোহ পদ্ধতি এবং
(iii) বিরোধ পদ্ধতি।

প্রতিজ্ঞার যৌক্তিকতা প্রমাণে দার্শনিক এরিস্টটল 'বিরোধ পদ্ধতি' সূচনা করেন। এ পদ্ধতির ভিত্তি হলো:
(i) একই গুণকে একই সময় স্বীকার ও অস্বীকার করা যায় না।
(ii) একই জিনিসের দুইটি পরস্পরবিরোধী গুণ থাকতে পারে না।
(iii) যা পরস্পরবিরোধী তা অচিন্তনীয়।
(iv) কোনো বস্তু এক সময়ে যে গুণের অধিকারী হয়, সেই বস্তু সেই একই সময়ে সেই গুণের অনধিকারী হতে পারে না।

জ্যামিতিক উপপাদ্য প্রমাণে সাধারণত চারটি ধাপ থাকে।
ধাপগুলো হলো:
(i) সাধারণ নির্বাচন যা চিত্রনিরপেক্ষ বর্ণনা।
(ii) বিশেষ নির্বচন যা চিত্র, নির্ভর বর্ণনা।
(iii) প্রয়োজনীয় অঙ্কনের বর্ণনা যা প্রমাণের সুবিধার্থে অতিরিন্তু কিছু অঙ্কন।
(iv) প্রমাণের যৌক্তিক ধাপগুলোর বর্ণনা যা যুক্তিভিত্তিক আলোচনা।