সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

প্রদত্ত রাশি $=\frac{6^4\times 6^2}{6^3\times 6}=\frac{6^{4+2}}{6^{3+1}}=\frac{6^6}{6^4}=6^{6-4 }=6^2=36$

নির্ণেয় মান 36.

প্রদত্ত রাশি $\frac{\sqrt[5]{6}\times \sqrt[3]{6}}{\sqrt{6}\times \sqrt[4]{6}}$

= $\frac{6^{{\displaystyle \frac{1}{5}}} \times 6^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}{6^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}\times 6^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

= $\frac{6^{{\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{1}{3}}}}{6^{{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}}$

= $\frac{6^{{\displaystyle \frac{3+5}{15}}}}{6^{{\displaystyle \frac{2+1}{4}}}}$

= $6^{\frac{8}{15}-\frac{3}{4}}$

= $6^{\frac{32-45}{60}}$

= $6^{\frac{-13}{60}}$

=$\frac{1}{6^{\frac{13}{60}}}$

নির্ণেয় সরলফল : $\frac{1}{6^{\frac{13}{60}}}$

বামপক্ষ = $\frac{3^8.9.2^4}{3^7.8}$

= $\frac{3^8.3^2.2^4}{3^7.8}$

= $\frac{3^{8+2}.2^4}{3^7.2^3}$

= $\frac{3^{10}.2^4}{3^7.2^3}$

= $3^{10-7}. 2^{4-3} =3^3-2^1$

$= 27 \times 2 = 54$

= ডানপক্ষ

$\therefore$ $\frac{3^8.9.2^4}{3^7.8}$= 54 (প্রমাণিত)

প্রদত্ত রাশি $=\frac{5^{m+2}-3.5^{m+1}}{5^{m+2}+ 5}=\frac{5^{m+1+1}-3.5^{m+1}}{5^{m+2-1}}$

$=\frac{5.5^{m+1}-3.5^{m+1}}{5^{m+1}}=\frac{5^{m+1}\left(5-3\right)}{5^{m+1}} =2$

নির্ণেয় মান 2.

প্রদত্ত রাশি $=\frac{5^3\times 5^{-3}}{2^4\times 2^{-2}}=\frac{5^{3-3}}{2^{4-2}}=\frac{5^0}{2^2}=\frac{1}{4}$

নির্ণেয় মান $\frac{1}{4}$।

প্রদত্ত রাশি $=3^{-2}+6^{-1}+2^{-3}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^1}+\frac{1}{2^3}.$

$= \frac{1}{9}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{8}= \frac{(8 + 12 + 9)}{72}= \frac{29}{72}$

নির্ণেয় মান $\frac{29}{72}$

প্রদত্ত রাশি $=\frac{2^4\times 2^2}{(2^3{)}^2}=\frac{2^{4+2}}{2^6}=\frac{2^6}{2^6}=2^{6-6}=2^0=1$

নির্ণেয় মান 1.

প্রদত্ত রাশি $=\frac{5^3\times 3^2\times 2^4}{16\times 25}=\frac{5^3\times 3^2\times 2^4}{2^4\times 5^2}$

$=5^{3-2}\times 3^2\times 2^{4-4}=5^1\times 9\times 2^0=5\times 9\times 1=45$

নির্ণেয় সরলফল : 45.

বামপক্ষ $={\left(p^a\right)}^{b-c}{\left(p^b\right)}^{c-u}{\left(p^c\right)}^{a-b}$

$=p^{a(b-c)}{p}^{b(c-a)} p^{c(a-b)}$

$=p^{ab-ac} p^{bc-ab}{p}^{ac-bc}$

$=p^{ab-ac+be-ab+uc-bx}$

$= p° = 1 =$ডানপক্ষ

$\therefore$ ${\left(p^a\right)}^{b-c}{\left(p^b\right)}^{c-u}{\left(p^c\right)}^{a-b}$ = 1 (দেখানো হলো)

প্রদত্ত রাশি $=(2a^{-1}+3b^{-1}{)}^{-1}$

$={\left(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}\right)}^{-1}={\left(\frac{2b+3a}{ab}\right)}^{-1}=\frac{ab}{3a+2b}$

নির্ণেয় মান : $\frac{ab}{3a+2b}$

${\left(\sqrt{7}\right)}^{5x-1}={\left(\sqrt[5]{7}\right)}^{2x-3}$

বা, $\frac{5x-1}{7^2}=\frac{2x-3}{5}$

বা, $\frac{5x - 1}{2}=\frac{2x - 3}{5}$

বা, 25x - 5 = 4x - 6

বা, 25x - 4x = - 6 + 5

বা, 21x = - 1

$\therefore$ $x = - \frac{1}{21}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = - \frac{1}{21}$

এখানে,

$5^{2x+1}={\left(125\right)}^{x-3}$

বা, $5^{2x+1}={\left(5^3\right)}^{x-3}$

বা, $5^{2x+1}=5^{3x-9}$

বা, 2x + 1 = 3x-9

বা, 2x - 3x = - 9 - 1

বা, - x = - 10

$\therefore$ x = 10

নির্ণেয় মান : x = 10

দেওয়া আছে

$4^{2p-1}=512$

বা, ${\left(2^2\right)}^{2p-1}=512$

বা, $2^{4p-2}=2^9$

বা, 4p - 2 = 9

বা, 4p = 9 + 2 = 11

বা, $p = \frac{11}{4}$

নির্ণেয় মান : $p = \frac{11}{4}$

প্রদত্ত রাশি $=3^3\times \sqrt[ 3]{-27}\times \left(-\frac{1}{3^2\times 2^3}\right)$

= $27\times {\left(-27\right)}^{\frac{1}{3}}\times \left(-\frac{1}{9\times 8}\right)$

= $27\times {\left(-3^3\right)}^{\frac{1}{3}}\times \left(-\frac{1}{72}\right)$

= $27\times {\left(-3\right)}^{3\times \frac{1}{3}}\times \left(-\frac{1}{72}\right)$

= $- \left(27\times 3\right)\times \left(-\frac{1}{72}\right)$

= $- 81\times \left(-\frac{1}{72}\right)$

= $\frac{81}{72}$

= $\frac{9}{8}$

নির্ণেয় সরলফল :  $\frac{9}{8}$

দেওয়া আছে, ${\left(\sqrt{2}\right)}^{x+3}= {\left(\sqrt[3]{2}\right)}^{x-1}$

বা, $2^{\frac{x+3}{2}}=2^{\frac{x-1}{3}}$

বা, $\frac{x + 3}{2}=\frac{x - 1}{3}$

বা, 3x + 9 = 2x - 2

বা, 3x - 2x = - 9 - 2

$\therefore$ x = - 11

নির্ণেয় সমাধান : x = - 11

দেওয়া আছে, $4^{2x+4}=1024$

বা $4^{2x+4}=4^5$

বা 2x + 4 = 5

বা 2x = 5 - 4

বা 2x = 1

$\therefore$ $x = \frac{1}{2}$

নির্ণেয় সমাধান : $x = \frac{1}{2}$

প্রদত্ত রাশি = $\frac{2^{n+4} \times 4.2^{n+1}}{2^{n+2}÷\sqrt[2]{8}}= \frac{2^{n+1+3}- 4.2^{n+1}}{2^{n+2}÷\sqrt[2]{8}}$

=$\frac{2^{n+1} \times 2^3\times 4.2^{n+1}}{2^{n+2}÷\sqrt[2]{3^2}}$

= $\frac{2^{n+1} \times 2^3- 4.2^{n+1}}{2^{n+2}÷{\left(2^3\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

=$\frac{2^{n+1} \times \left(2^3- 4\right)}{2^{n+2}÷2}$

= $\frac{4.2^{n+1}}{2^{n+1}}$

=4

নির্ণেয় মান :  4

দেওয়া আছে, $4^{2p+1 }=128$

বা, $(2^2{)}^{2p+1} =2^7$

বা, $2^{4p+2}=2^7$

বা, 4p + 2 = 7

বা, 4p = 7 - 2 = 5

বা, $p = \frac{5}{4}$

নির্ণেয় মান : $p = \frac{5}{4}$

প্রদত্ত রাশি$= \sqrt{6} \times \sqrt[3]{24} = \sqrt{2\times 3} \times \sqrt[3]{3 \times 8}$

$=(2\times 3{)}^{\frac{1}{2}}(3\times 2^3{)}^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{2}}\times 3^{\frac{1}{3}}\times 3^{\frac{1}{3}}\times 2^{3\times \frac{1}{3}}$

= $2^{\frac{1}{2}}\times 2^1\times 3^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$

= $2^{\frac{1}{2}+1}\times 3^{\frac{3+2}{6}}$

= $2^{\frac{3}{2}}\times 3^{\frac{5}{6}}$

= ${\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^3\times {\left(3^{\frac{1}{6}}\right)}^5$

$\therefore$ ${\left(\sqrt{2}\right)}^3\times {\left(\sqrt[6]{3}\right)}^5$

নির্ণেয় সরলফল :  ${\left(\sqrt{2}\right)}^3\times {\left(\sqrt[6]{3}\right)}^5$

প্রদত্ত রাশি = $\frac{6^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}\times 6^{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}{6^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

$= \frac{{6^{{\displaystyle \frac{4}{3}}}}^{{\displaystyle +\frac{3}{4}}}}{6^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

$= \frac{6^{{\displaystyle \frac{16+9}{12}}}}{6^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

$= \frac{6^{{\displaystyle \frac{25}{12}}}}{6^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$

$= 6^{\frac{25}{12}-\frac{1}{3}}$

$= 6^{\frac{21}{12}}$

$= 6^{\frac{7}{4}}$

নির্ণেয় সরলফল: $= 6^{\frac{7}{4}}$

বামপক্ষ = $\frac{3^n-1}{{\left(\sqrt{3}\right)}^3+1}$

= $\frac{{\left\{{\left(\sqrt{3}\right)}^2\right\}}^n-1}{{\left(\sqrt{3}\right)}^3+1}$

= $\frac{{\left\{{\left(\sqrt{3}\right)}^n\right\}}^2-1^2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^3+1}$

= $\frac{\left\{{\left(\sqrt{3}\right)}^n+1\right\} \left\{{\left(\sqrt{3}\right)}^n-1\right\}}{\left\{{\left(\sqrt{3}\right)}^3+1\right\}}$

= ${\left(\sqrt{3}\right)}^n-1$

ডানপক্ষ

$\therefore$ $\frac{3^n-1}{{\left(\sqrt{3}\right)}^3+1}= {\left(\sqrt{3}\right)}^3-1$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে ${\left(\sqrt{5}\right)}^{x+1} = {\left(\sqrt[3]{5}\right)}^{2x-1}$

বা  ${\left(5^{\frac{1}{2}}\right)}^{x+1}={\left(5^{\frac{1}{3 }}\right)}^{2x+1}$

বা  $5^{\frac{x+1}{2}}=5^{\frac{2x-1}{3}}$

বা  $\frac{x + 1}{42}=\frac{2x - 1}{3}$

বা 3x + 3 = 4x - 2

বা 4x - 3x = 3 + 2

বা x = 5

নির্ণেয় মান: x = 5 .

দেওয়া আছে, $4^{x-1}=32$

বা, ${\left(2^2\right)}^{x+1}=2^5$

বা,  $2^{2x+2}=2^5$

বা, 2x + 2 =5

বা, 2x =5-2

বা, 2x = 3

$\therefore$ $x = \frac{3}{2}$

নির্ণেয় সমাধান : $x = \frac{3}{2}$

দেওয়া আছে, $4^{x+3}=2^{x-7}$

বা, $(2^2{)}^{x+3} =2^{x-7}$

বা,  $2^{2 \left(x+3\right)} =2^{x-7}$

বা,  $2^{2x+6}=2^{x-7}$

বা,  2x + 6 = x - 7

বা, 2x - x = - 6 - 7

x = - 13

নির্ণেয় সমাধান: x = - 13

দেওয়া আছে, $8^{x+1}=64$

বা,  $8^{x+1}=8^2$

বা, x + 1 = 2

বা, x = 2 - 1

$\therefore$ x = 1

নির্ণেয় মান : x = 1 .

দেওয়া আছে,  $9^{3x+2}=27$

বা,  $(3^2{)}^{3x+2} =3^3$

বা, $3^{6x+4}=3^3$

বা, 6x + 4 = 3

বা, 6x = 3 - 4 = - 1

$\therefore$ $x = - \frac{1}{6}$

নির্ণেয় মান : $x = - \frac{1}{6}$

দেওয়া আছে,

${\left(\sqrt{3}\right)}^x=81 ={\left(\sqrt{3}\right)}^x$

$\therefore$ x = 8

নির্ণেয় মান x = 8

প্রদত্ত রাশি $=\frac{\sqrt[5]{5}\times \sqrt[4]{5}}{\sqrt[5]{5}\times \sqrt[3]{5}}=\frac{5^{\frac{1}{5}}\times 5^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{1}{5}}\times 5^{\frac{1}{3}}}=\frac{5^{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}}}{5^{\frac{1}{5}+\frac{1}{3}}}=\frac{5^{\frac{4+5}{20}}}{5^{\frac{3+2}{6}}}=\frac{5^{\frac{9}{20}}}{5^{\frac{5}{6}}}$

$=5^{\frac{9}{20}-\frac{5}{6}}=5^{\frac{27-50}{60}}=5^{-\frac{23}{60}}=\frac{1}{5^{\frac{23}{60}}}$

নির্ণেয় সরলফল : $\frac{1}{5^{\frac{23}{60}}}$