সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

সংখ্যাভিত্তিক কোনো তথ্য বা ঘটনা হচ্ছে একটি পরিসংখ্যান। আর তথ্য বা ঘটনা নির্দেশক সংখ্যাগুলো হচ্ছে পরিসংখ্যানের উপাত্ত। ধরা যাক একটি দলে ৭ জন সদস্যের বয়স হলো ১৮, ২০, ২৫, ১৯, ২৩, ২৬, ২৪। এখানে বয়স নির্দেশিত সংখ্যাসমূহ একটি পরিসংখ্যান। আর সংখ্যাগুলো হলো এ পরিসংখ্যানের' উপাত্ত।

সংগৃহীত উপাত্তগুলো যদি এলোমেলোভাবে সাজানো থাকে তবে তাকে অবিন্যস্ত উপাত্ত বলে।

যেমন- ১৫, ১০, ১১, ২৪, ১৮, ৯, ২২, ২৫, ১৩, ১৬, ৭

উপাত্ত যদি মানের কোনো ক্রমে সাজানো থাকে তবে তাকে বিন্যস্ত উপাত্ত বলে।

যেমন- ৭, ৯, ১০, ১১, ১০, ১৫, ১৬, ১৮, ২২, ২৪, ২৫

প্রাথমিক ও মাধ্যমিক উপাত্তের দুটি পার্থক্য নিচে দেওয়া হলো:

গণসংখ্যা: শ্রেণিসমূহের মধ্যে সংখ্যা সূচক তথ্যরাশির হ মানগুলো ট্যালি চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয় এবং এর মাধ্যমে গণসংখ্যা নির্ধারণ করা হয়। যে শ্রেণিতে যতগুলো ট্যালি চিহ্ন পড়বে তত হবে ঐ শ্রেণির গণসংখ্যা।

গণসংখ্যা নিবেশন সারণি: শ্রেণি বিন্যাসের মাধ্যমে অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ বিন্যস্ত উপাত্তে পরিণত করতে যে সারণিতে উপস্থাপন করা হয় তাই গণসংখ্যা নিবেশন সারণি।

যেকোনো শ্রেণির ঊর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার ব্যবধান হলো সেই শ্রেণির শ্রেণিব্যাপ্তি। উদাহরণস্বরূপ: মনে করি, ২১-৪০ হলো একটি শ্রেণি। এর সর্বনিম্ন মান ২১ ও সর্বোচ্চ মান ৪০ এবং শ্রেণিব্যাপ্তি হবে (৪০-২১) + ১ = ২০।

উপাত্ত গণসংখ্যা সারণি তৈরি করার ধাপসমূহ-

১. পরিসর নির্ণয়;
২. শ্রেণিসংখ্যা নির্ণয়;
৩. শ্রেণিব্যাপ্তি নির্ণয়;
৪. ট্যালি চিহ্নের সাহায্যে গণসংখ্যা নির্ণয়

এখানে, সর্বনিম্ন সংখ্যা ৪১ ও সর্বোচ্চ সংখ্যা ৯০

$\therefore$ পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + ১

= (৯০ - ৪১) + ১ = ৫০ (উত্তর)

প্রদত্ত উপাত্তের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ৯

এবং উপাত্তের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৪৭

উপাত্তের পরিসর = (৪৭ - ৯) + ১ = ৩৯ (উত্তর)

এখানে উপাত্তসমূহ ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো।

এখানে, উপাত্তের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ক এবং উপাত্তের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৭৮

$\therefore$ উপাত্তের পরিসর = (৭৮ – ক) + ১ -বা ৬৩ = ৭৯ - ক

$\therefore$ ক = ১৬ (উত্তর)

এখানে, উপাত্তের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১০ এবং উপাত্তের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৩৯

.. উপাত্তের পরিসর = (৩৯ - ১০) + ১ = ৩০

শ্রেণিসংখ্যা = শ্রেণি পরিসর/শ্রেণি ব্যাপ্তি = $\frac{৩০}{৭}$ = ৪.২৯ $\approx$ ৫

উপাত্তগুলোকে ৫টি শ্রেণিতে বিন্যস্ত করা যাবে। (উত্তর)

দেওয়া আছে, সর্বনিম্ন সংখ্যা ১৫, শ্রেণিব্যাপ্তি = ৫,

শ্রেণিসংখ্যা = ৮টি

বা , পরিসর = শ্রেণিসংখ্যা × শ্রেণিব্যাপ্তি

আবার, পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১ = শ্রেণিসংখ্যা × শ্রেণি ব্যাপ্তি বা, সর্বোচ্চ সংখ্যা ১৫+১= ৮০৫

$\therefore$ সর্বোচ্চ সংখ্যা ৪০+১৪= ৫৪ (উত্তর)

পরিসংখ্যানের উপাত্তসমূহ উপযুক্ত শ্রেণিতে বিভক্ত করে বৃত্তের অভ্যন্তরে বিভিন্ন অংশে প্রকাশ করলে যে লেখচিত্র পাওয়া যায় তাই বৃত্তলেখ বা পাই চিত্র।

আয়তলেখ আঁকতে X অক্ষ বরাবর শ্রেণিব্যাপ্তি এবং অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নেওয়া হয়।

দেওয়া আছে, ৮০০ জনের মধ্যে বালিকা = ২০০ জন পাই চিত্রে ২০০ জনের জন্য অধিকৃত কোণ =  $\frac{২০০}{৮০০} -\times = ৯০$

$\therefore$ নির্ণেয় পাই চিত্র

দেওয়া আছে, মোট নম্বর = ৯০০ এবং পাইচিত্রে নির্দেশিত কোণ = ১২০° আমরা জানি,

কেন্দ্রে সৃষ্ট মোট কোণ = ৩৬০° তাহলে,

৩৬০° এর জন্য ৯০০ নম্বর

$\therefore$ ১° এর জন্য নম্বর $\frac{৯০০}{৩৬০}$ নম্বর

$\therefore$ ১২০° এর জন্য নম্বর $\frac{৯০০\times ১২০}{৩৬০}$ নম্বর

= ৩০০নম্বর (উত্তর)

সর্বাধিক ১৭ জন ছাত্র ৭০-৮০ নম্বর পায়। উক্ত শ্রেণির উচ্চসীমা ৮০ ও নিম্নসীমা ৭০।

উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি বা কেন্দ্রের মানের দিকে পুঞ্জিভূত হয়। মাঝামাঝি বা কেন্দ্রীয় মানের দিকে উপাত্তসমূহের পুঞ্জিভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।

ধরা যাক, কোনো একজন ছাত্রীর ৫ বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর হলো-১২, ২৬, ১০, ৩০, ২২

$\therefore$ সে গড়ে = $\frac{১০০}{৫}$ = ২০ নম্বর পেয়েছে। এই ২০ মানটিই হচ্ছে ৫ কেন্দ্রীয় প্রবণতা।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ ৩টি। যথা:

(i) গাণিতিক গড় বা গড়

(ii) মধ্যক ও

(iii) প্রচুরক

প্রথম ৮টি ক্রমিক স্বাভাবিক জোড় সংখ্যাগুলো হচ্ছে: ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬।

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ২+৪+৬+৮+১০+১২+১৪ + ১৬ = ৭২

$\therefore$ গড় = $\frac{৭২}{৮}$ = ৯ (উত্তর)

এখানে, উপাত্ত সংখ্যা = ১২

বা, ২৬ = (ক+১০+১২+২৫+৪৫+২ক+২+৪০+১৮+৩৬+২ক+১৪+৩৫) ÷ ১২

বা, ৫ক + ২৩৭ = ৩১২

$\therefore$ ক = $\frac{৩১২-২৩৭}{৫}$ = ১৫ (উত্তর)

এখানে, উপাত্ত সংখ্যা = ১৫

= (২৫ + ১৮ + ১৭+১৯+২১+৩৫+২৯+৭৫+৩৬+৪৫ + ৩৫+১২+৭০+৭২+৬৫) ÷ ১৫

= ৫৭৪ ÷ ১৫ = ৩৮.২৬৭ (প্রায়)

মধ্যক: উপাত্তসমূহকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে যে মানগুলি উপাত্তকে সমান ভাগে ভাগ করে তাকে মধ্যক বলে।

যেমন: ১, ৩, ৪, ৫, ৭, ৮, ৯ ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো ৭টি উপাত্তের মধ্যে মধ্যক হচ্ছে ৫,কারণ ৫ উপাত্তসমূহকে সমান দুইভাগে বিভক্ত করেছে।

এখানে, n = ২০

$\therefore$ মধ্যক = $\frac{n}{২}=\frac{২০}{২}$ তম পদ = ১০ তম পদ

১০তম পদ আছে (২১-৩০) শ্রেণিতে।

$\therefore$ মধ্যক শ্রেণি (২১-৩০) (উত্তর)

উপাত্তসমূহকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই, ৯, ১৩, ১৮, ২২, ২৫, ৫৩, ৫৪, ৫৬, ৫৮, ৫৮, ৬৫, ৬৮, ৭৭, ৭৮ এখানে, মোট উপাত্ত ১৪টি অর্থাৎ জোড়

সংখ্যক।

$\therefore$ মধ্যক হবে $\frac{১৪}{২}$ তম পদ বা ৭ম পদ এবং $\frac{১৪}{২}+১$ তম বা ৮ম পদের গড়

$\therefore$ মধ্যক = $\frac{৫৪+৫৬}{২}$ =৫৫ (উত্তর)

এখানে, মোট উপাত্ত ১০টি অর্থাৎ, জোড় সংখ্যক।

$\therefore$ মধ্যক হবে $\frac{১০}{২}$ তম বা ৫ম এবং $\left(\frac{১০}{২}+১\right)$ তম বা ৬ষ্ঠ পদের গড়

$\therefore$ মধ্যক = $\frac{ক+\left(ক-৮\right)}{২}$ বা, ৪৬ = $\frac{২ক-৮}{২}$

বা, ২ক = (৪৬ $\times$

× ২)+ ৮ বা, ক = $\frac{১০০}{২}$ = ৫০ (উত্তর)

কোনো তথ্যসারিতে যে মানটি সর্বাধিক সংখ্যকবার থাকে তাকে ঐ তথ্যসারির প্রচুরক বলে।

যেমন, কোনো তথ্যসারির মানগুলো ১. ৫. ৪, ৪, ৬, ৭, ৫, ৬, ৫, ৪ হলে তথ্যসারিতে ৪ ও ৫ সংখ্যা দুইটি সর্বাধিক সংখ্যকবার রয়েছে। সুতরাং উপাত্তের প্রচুরক ৪ এবং ৫।

সারণি হতে দেখা যাচ্ছে, সবচেয়ে বেশি গণসংখ্যা আছে (৩১-৪০) শ্রেণিতে। অতএব, প্রচুরক শ্রেণি (৩১ – ৪০)

$\therefore$ শ্রেণি মধ্যমান = $\frac{৩১+৪০}{২}$ = ৩৫.৫ (উত্তর)

উপাত্তসমূহকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই,

৪৮, ৫৩, ৫৪, ৫৬, ৫৮, ৫৮, ৬৩, ৬৪, ৬৪, ৬৪, ৬৫, ৬৮, ৭৭, ৭৮, ৮২ এখানে, ৬৪ সর্বাধিক সংখ্যক ৩ বার আছে।

$\therefore$ প্রচুরক ৬৪। (উত্তর)