সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি S_n

অর্থাৎ, $S_n=1+2+3+.........+ (n - 1) + n$

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে লিখে। পাওয়া যায়,

$\left(+\right) করে2S_n = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +.........+(n+1)|$n সংখ্যক পদ]

বা, $2S_n=n(n+1)$

$\therefore$$S_n=\frac{n(n+1)}{২}$

নির্ণেয় n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $\frac{n(n+1)}{২}$

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাকি সংখ্যার ঘনের সমষ্টি , $S_n={\left\{\frac{\left(n\right(n+1)}{২}\right\}}^2$

$\therefore$ প্রথম সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $S_{35}={\left\{\frac{35(35+1)}{2}\right\}}^2={\left(\frac{35\times 36}{2}\right)}^2$

                                                           $=(35\times 18{)}^2=(630{)}^2=396900$

নির্ণেয় সমষ্টি 396900

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি , $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

$\therefore$ ১ম 20টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{20}=\frac{20(20+1)}{2}$

                                                                    $= \frac{20 \times 21}{2} = \frac{420}{2}= 210$

নির্ণেয় ১ম 20টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি 210.

দেওয়া আছে, ধারার প্রথম পদের সমষ্টি, $S_n=n\times (n+1)$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি $S_{10}=10(10+1)$

                                                                    $=10 \times 11 = 110$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি 110.

প্রদত্ত ধারা : $1^2+2^2+3^2+........+{10}^2$

ধারাটি প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টির ধারা।

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্ণের সমষ্টি $= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

$\therefore 1^2+2^2+3^2+.........+{10}^2=\frac{10(10+1)(2\times 10+1)}{6}$

নির্ণেয় ধারাটির সমষ্টি 385.

প্রদত্ত ধারাটি : $1^1+2^1+3^3+..............+{15}^3$ ধারাটি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির ধারা

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি ${\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$

$\therefore$ ধারাটির সমষ্টি $={\left\{\frac{15(15+1)}{2}\right\}}^2$

                               $= \frac{225 \times 16 \times 16}{4}= 225 \times 64 = 14400$

নির্ণেয় ধারাটির সমষ্টি 14400.

প্রদত্ত ধারাটি: $1^3+2^3+3^3+.........+{10}^3$

ধারাটি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $={\left\{\frac{n(n+1))}{2}\right\}}^2$

$\therefore 1^3+2^3+3^3..............+{10}^3={\left\{\frac{10\left(10+1\right)}{2}\right\}}^2={\left(\frac{10\times 11}{2}\right)}^2$

                                                                      ${\left(5\times 11\right)}^2={\left(55\right)}^2=3025$

নির্ণেয় মান 3025.

আমরা জানি , $1^3+2^3+3^3+...+p^3={\left\{\frac{p(p+1)}{2}\right\}}^2$

প্রশ্নমতে, ${\left\{\frac{p(p+1)}{2}\right\}}^2=441$

                 বা, $\frac{p(p + 1)}{2}= 21$ [বর্গমূল করে]

                বা, $p(p + 1) = 42$

                   বা, $p^2+p-42=0$

                    বা, $p^2+7dotp-6p-42=0$

                      বা, $p(p + 7) - 6(p + 7) = 0$

                        বা, $(p + 7)(p - 6) = 0$

বা, $p + 7 = 0$

$\therefore p= - 7$

অথবা,

p - 6 = 0

$\therefore p = 6$

কিন্তু $p\ne -7$ , কারণ স্বাভাবিক সংখ্যার সংখ্যা কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না।

$\therefore p - 6$

নির্ণেয় মান p = 6

আমরা জানি,

$1^2+2^2+3^2+.........+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\therefore 1^2+2^2+3^2+.......+{12}^2=\frac{12(12+1)(2\times 12+1)}{6}$

                                                              $= \frac{(12 \times 13 \times 25)}{6}-\frac{ 3900}{6}= 650$

                              নির্ণেয় সমষ্টি 650.

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $S_n={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$

$\therefore$ 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি,

$S_{50}={\left\{\frac{50(50+1)}{2}\right\}}^2=(25\times 51{)}^2=(1275{)}^2=1625625$

নির্ণেয় সমষ্টি 1625625.

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $=n^2$

$\therefore$ প্রথম 130টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল $=(130{)}^2=16900$

নির্ণেয় যোগফল: 16900.

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি, $S_n=\frac{(4n^3-n)}{3}$

$\therefore$ প্রথম 12টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $S_{12}=\frac{\{4\times (12{)}^3-12\}}{3}$

                                                                                                $=\frac{ 4 \times 1728 - 12}{3} = \frac{6912 - 12}{3}= \frac{6900}{3} = 2300$

নির্ণেয় সমষ্টি 2300.

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে। যেমন, 2 + 4 + 8 16 + 32 ধারাটির প্রথম পদ 2, দ্বিতীয় পদ 4, তৃতীয় পদ ৪, চতুর্থ পদ 16, পঞ্চম পদ 32।

এখানে, দ্বিতীয় পদের সাথে প্রথম পদের অনুপাত $= \frac{4}{2}=2$

            তৃতীয় পদের সাথে দ্বিতীয় পদের অনুপাত $=\frac{8}{4}=2$

            চতুর্থ পদের সাথে তৃতীয় পদের অনুপাত $=\frac{16}{8}=2$

            পঞ্চম পদের সাথে চতুর্থ পদের অনুপাত $=\frac{32}{16}=2$

এই ধারায় যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান। সুতরাং, ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

মনে করি, যেকোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r তাহলে ধারাটির-

                      প্রথম পদ $=a=a{r}^{1-1}$

                      দ্বিতীয় পদ $= ar = a{r}^{2-1}$

                      তৃতীয় পদ  $=a{r}^2=a{r}^{3-1}$

                        চতুর্থ  পদ $=a{r}^3=a^{4-1}$

                  ……………………………………………………..

                  …………………………………………………….

$nতম$ পদ $= a{r}^{n-1}$

এই n তম পদকেই গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়।

প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটি $= 5 + x + y + z + 405$

ধারাটির প্রথম পদ, a = 5

ধরি, ধারাটির সাধারণ অনুপাত।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ $=a{r}^{n-1}$

ধারাটির পঞ্চম পদ $a{r}^{5-1}= ar$

প্রশ্নমতে, $a{r}^4=405$

              বা, $5.r^4=405$

                বা, $r^4=\frac{405}{5}=81=3^4$

                 $\therefore r = 3$

নির্ণেয় সাধারণ অনুপাত 3.

প্রদত্ত ধারাটি : $128 + 64 + 32 +..............$

ধারাটির প্রথম পদ, a = 128

সাধারণ অনুপাত $r=\frac{64}{128}=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}$

$\therefore$ ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ ${ar}^{n-1}$

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ পদ $=128\times (\frac{1}{2}{)}^{n-1}$

                                                $=\frac{2^7}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{n-1-7}}=\frac{1}{2^{n-8}}$

নির্ণেয় সাধারণ পদ $\frac{1}{2^{n-8}}$

প্রদত্ত ধারাটি : $2 + 4 + 8 + 16 +..........$

ধারাটির প্রথম পদ a = 2 সাধারণ অনুপাত , $r=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=2$

$\therefore$ ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ $={ ar}^{ n-1}$

$\therefore$ ধারাটির 10 তম পদ $=2\times 2^{10-1}=2\times 2^9=1024$

নির্ণেয় 10তম পদ 1024.

প্রদত্ত ধারাটি : $1 + \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{5} +...............$

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ , $a=1$

সাধারণ অনুপাত, $r =\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}}{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

ধরি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ $\frac{1}{625\sqrt{5}}$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ $={ar}^{n-1}$

বা, $\frac{1}{625\sqrt{5}}={1\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^{n-1}$

বা, $\frac{1}{625\sqrt{5}}=\frac{1}{{\left(\sqrt{5}\right)}^{n-1}}\left[\because { \left(1\right)}^{n-1}=1\right]$

বা, ${\left(\sqrt{5}\right)}^{n-1}=625\sqrt{5}$

বা, $\frac{{\left(\sqrt{5}\right)}^n}{\sqrt{5}}=625\sqrt{5}$

বা, ${\left(\sqrt{5}\right)}^n=3125={\left(\sqrt{5}\right)}^{10}$

$\therefore n = 10$

$\therefore$ ধারাটির 10 তম পদ  $\frac{1}{625\sqrt{5}}$

প্রদত্ত ধারাটি: $\frac{1}{\sqrt{3}}-1+\sqrt{3}............$

ধারাটির প্রথম পদ $a-\frac{1}{\sqrt{3}}$

সাধারণ অনুপাত ,$r=\frac{-1}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}$

$\therefore$ ধারাটি গুণোত্তর ধারা।

ধরি, n-তম পদ $= 27\sqrt{3}$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ $={ar }^{n-1}$

বা , $27\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.{\left(-\sqrt{3}\right)}^{n-1}$

বা, ${\left(-\sqrt{3}\right)}^{n-1}=81={\left(-\sqrt{3}\right)}^8$

  বা, $n - 1 = 8$

  $\therefore n=9$

নির্ণেয় ধারাটির 9 তম পদ $27\sqrt{3.}$

প্রদত্ত ধারা: $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1+2+..................$

ধারাটির ১ম পদ $a=\frac{1}{4};$ সাধারণ অনুপাত $r=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}\times 4=2$

$\therefore$ ধারাটি গুণোত্তর ধারা

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ $={ar}^{n-1}$

$\therefore$ ধারাটির দশম পদ $=\frac{1}{4}\times 2^{10-1}=\frac{1}{2^2}\times 2^9=2^7=128$

নির্ণেয় ধারাটির দশম পদ 128.

$\left(-\right)$ করে , $S_n-r{S}_n=a-a{r}^n$

বা, $S_n(1-r)=a(1-r^n)$

$\therefore S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ যখন $r<1$

আবার, (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই,

  $r{S}_n-S_n=a{r}^n-a$

বা, $S_p(r-1)=a(r^n-1)$

$\therefore S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$ যখন, $r>1$

$\therefore$ কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r হলে, ধারাটির ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n=(\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r} ;$ যখন $r<1$

অথবা, $S_n=\frac{n(r^n-1)}{r-1}$ ; যখন $r>1.$

প্রদত্ত ধারাটি: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+..........$

ধারাটির প্রথম পদ $a=1$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}}{1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{4}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{8}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}<1$

∴ ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।

এখানে পদসংখ্যা n = 8

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি

$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$যখন $r < 1$

সুতরাং, ধারাটির ৪টি পদের সমষ্টি , $S_8=\frac{1\times \left\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^8\right\}}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}=\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{256}}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$

                                                                $= 2\left(\frac{256 - 1}{256}\right)=\frac{ 255}{128}= 1\frac{127}{128}.$

নির্ণেয় প্রথম আটটি পদের সমষ্টি  $1\frac{127}{128}$.

প্রদত্ত ধারাটি : $1 - 3 + 9 - 27 +......$

ধারাটির প্রথম পদ $a = 1$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{-3}{1}=\frac{9}{-3}=\frac{-27}{9}=-3$

$\therefore$ধারাটি গুণোত্তর ধারা।

$\therefore$ ধারাটির প্রথম 7টি পদের সমষ্টি $S_7=\frac{a\left(1-r^7\right)}{1-r}$  $\left[\because S_n=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}.r<1\right]$

                                                               $=\frac{1\left\{\left(1\right(1-(-3{)}^7\right\}}{1-(-3)}=\frac{1+3^7}{1+3}=\frac{1+2187}{4}=\frac{2188}{4}=547$

নির্ণেয় প্রথম 7টি পদের সমষ্টি 547.

প্রদত্ত ধারা: $4 + 12 + 36 +.............$

ধারাটির ১ম পদ a = 4

এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{12}{4}=\frac{36}{12}=3>1$

$\therefore$ ধারাটি গুণোত্তর ধারা

আমরা জানি,

গুণোত্তর ধারার প্রথম । পদের সমষ্টি $=\frac{a(r^n-1)}{r-1},r>1$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি $=\frac{4(3^{12}-1)}{(3-1)}$

                                                                    $=\frac{ 4(531441 - 1)}{2}$

                                                                       $= 2 \times 531440$

                                                                      $=1062880$

নির্ণেয় সমষ্টি 1062880.