সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়। এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম
(Sequence) বলা হয়। যেমন:

(i) 1,2,3,………………n…………..

(ii) 1, 3, 5......, 2n - 1 ,......

(iii) 1, 4, 9, ......$n^2$ ...... ইত্যাদি অনুক্রম।

প্রদত্ত অনুক্রম 3, 6, 9... ... ...

এখানে, ১ম পদ $a_1 = 3= 3.1$

             ২য় পদ $a_2= 6= 3.2$

            ৩য় পদ $a_3 =9 = 3.3$

  …….. ……. ……………

$\therefore$ n-তম পদ $a_n= 3n$

$\therefore$ অনুক্রমটির সাধারণ পদ $a_n$ = 3n

প্রদত্ত অনুক্রম : $5, -25, 125, -625, ..........$

এখানে, ১ম পদ $=5=(-1{)}^{2}5={(-1)}^{1+1}.5^1$

            ২য় পদ $=-25=(-1{)}^3.5^2={(-1)}^{2+1}{5}^2$

            ৩য় পদ $=125=(-1{)}^4.5^3={(-1)}^{3+1}{5}^3$

             ৪র্থ পদ $=-625=(-1{)}^5.5^4={(-1)}^{4+1}{5}^4$

…… …………….. ……. ……….. …….. ……… ……… ………. …….. ……..

$\therefore$ n-তম পদ  $={(-1)}^{n+1} . 5^n={(-1)}^{m+1}{5}^m$

$\therefore$ অনুক্রমটির সাধারণ পদ $a_n={(-1)}^{n+1}{5}^n$

প্রদত্ত অনুক্রম : $\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\frac{1}{2^4}.......$

এখানে, অনুক্রমটির প্রতিটি পদের লব। এবং হর 2 এর ঘাত বা সূচক। থেকে শুরু হয়ে প্রতিক্ষেত্রে। করে বৃদ্ধি পাচ্ছে অর্থাৎ ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা।

$\therefore$ অনুক্রমটির সাধারণ পদ $a_n=\frac{1}{2^n}$ যেখানে $n \in N$.

কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা (Series) পাওয়া যায়। যেমন, 1 + 3 + 5 + 7 +..........একটি ধারা। ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান।

আবার 2 + 4 + 8 + 16 +......... একটি ধারা। এর পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান। সুতরাং, যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য। ধারাগুলোর মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।

প্রদত্ত ধারা: ৪+11+14+17+…………….

ধারাটির প্রথম পদ a = 8

এবং সাধারণ অন্তর d = 11 - 8 = (14 - 11) = (17 - 14) = 3

$\therefore$ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা

$\therefore$ ধারাটির m তম পদ = a + (m - 1)d  

                                       $= 8 + (m - 1) 3 = 8 + 3m - 3 = 3m + 5$

                                         নির্ণেয় m তম পদ = 3m + 5

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ: 1+3+5+7+9+11 ………. একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ ।, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ প্রথম পদ = 3-1=2,

             তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 5-3 = 2

             চতুর্থ পদ – তৃতীয় পদ = 7-5=2

             পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9-7=2

             ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

দেখা যাচ্ছে পাশপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সমান যা 2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, 'যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a সাধারণ অন্তর d তাহলে ধারাটির  

                   প্রথম পদ $= a = a + (1-1)d$

                   দ্বিতীয় পদ $=a+d=a+(2-1)d$

                   তৃতীয় পদ $=a+2d= a+(3-1)d$

                  চতুর্থ  পদ  $=a+3d=a+(4-1)d$

$\therefore$ n তম = a + (n - 1) d  

সুতরাং, কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর এ হলে

ধারাটির সাধারণ পদ অর্থাৎ n তম পদ= $= a + (n - 1)d .$

প্রদত্ত ধারা: 2-5-12-19 ……………..

ধারাটির ১ম পদ, a = 2

সাধারণ অন্তর , $d = - 5- 2 = - 12 - (- 5) = - 19 - (- 12) = - 7$

$\therefore$  ধারাটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার তম পদ $=a + (n - 1) d$

$\therefore$ ধারাটির 15তম পদ $=2.+ (15 - 1)(- 7)$

                                        $=2+14(-7)-2-98=-96$

নির্ণেয় 15 তম পদ-96.

প্রদত্ত ধারাটি : 10 + 7 + 4 +.............

ধারাটির ১ম পদ a= 10

এবং সাধারণ অন্তর $d = 7 - 10 = 4 - 7 = - 3$

$\therefore$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1) d

$\therefore$ ধারাটির 10ম পদ =$= 10 + (10 - 1)(- 3) = 10 - 27 = - 17$

নির্ণেয় 10ম পদ - 17.

প্রদত্ত ধারাটি 7 + 13 + 19 +......

ধারাটির প্রথম পদ $a=7$

সাধারণ অন্তর $d = 13 - 7 = 19 - 13=6$

$\therefore$ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ $=a+(n - 1)d$

$\therefore$ ধারাটির 15 তম পদ $=a +(15 - 1) d = 7+(15 - 1)\times 6$

                                       $=7 + (14 \times 6) =7 + 84 =91$

নির্ণেয় 15 তম পদ = 91.  

প্রদত্ত ধারা : ৪+6+4+2+………….

ধারাটির ১ম পদ $a = 8$

এবং সাধারণ অন্তর $d = 6 - 8 - 4 - 6 = 2 - 4 = - 2$

$\therefore$ ধারাটি সমান্তর ধারা।  

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ $- a + (n - 1) d$

$\therefore$ ধারাটির 20 তম পদ $=8+(20 - 1)(- 2)$

                                         $=8 + 19(- 2)=8 - 38=-30$

নির্ণেয় 20 তম পদ $-30$

প্রদত্ত ধারাটি : $(p + 1)+(2p + 3)+4p+..............$

ধারাটি সমান্তর হলে আমরা পাই,

$(2p + 3) - (p + 1) = 4p - \left(2p\right)$

বা, $2p + 3 - p - 1 = 4p - 2p - 3$  

বা, $p + 2 = 2p - 3$

বা, $p - 2p = - 3 - 2$

বা, $- p = - 5$

$\therefore p = 5$

নির্ণেয় মান: p = 5

দেওয়া আছে, সমান্তর ধারার প্রথম পদ a = 5

সাধারণ অন্তর, d = 7

আমরা জানি, সমান্তর ধারার তম পদ $= a + (n - 1) d$

$\therefore$দ্বিতীয় পদ $=a+(2-1)d=5+1\times 7=12$

     তৃতীয় পদ $= a + (3 - 1) \times d = s + 2 \times 7 = 19$

     চতুর্থ  পদ $= a + (4 - 1) \times d = 5 + 3 \times 7 = 26$

   পঞ্চম   পদ $= a + (5 - 1) \times d = 5 + 4 \times 7 = 33$

  ষষ্ঠ   পদ $= a + (6 - 1) d = 5 + 5 \times 7 = 40$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম ছয়টি পদ যথাক্রমে 5, 12, 19, 26, 33, 40

প্রদত্ত সমান্তর ধারা : $3 + a + 9 +......+60$

ধারাটির প্রথম পদ, a = 3

সাধারণ অন্তর, d = a - 3

ধারাটির তৃতীয় পদ = 9

বা, $a + (3 - 1) d = 9$

বা, $3 + 2(a - 3) = 9$

বা, $3 + 2a - 6 = 9$

বা, 2a - 3 = 9

বা, $2a = 9 + 3 = 12$

  বা, $a= \frac{12}{2}= 6$

নির্ণেয় এ এর মান 6.

প্রদত্ত সমান্তর ধারাটি : $2 + 7 + 12 + 17 +............$

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 2

সাধারণ অন্তর, $d = 7 - 2 =5$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n-তম পদ $a_n=a+(n-1)d$

$\therefore$ সমান্তর ধারাটির দশম পদ $a_{10}=2+ (10-1) \times 5$

                                                          $= 2 + 9 \times 5 = 2 + 45 = 47$

নির্ণেয় দশম পদ = 47.

প্রদত্ত ধারা: 4+7+10+.............

ধারাটির ১ম পদ, a = 4

এবং সাধারণ অন্তর d = 7 - 4 = 10 - 7 = 3

$\therefore$ ধারাটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির n তম পদ 181

আমরা জানি, সমান্তর ধারার তম পদ $=a + (n - 1) d$

প্রশ্নমতে, $4 + (n - 1) \times 3 = 181$

বা, $3(n - 1) = 181 - 4 = 177$

বা, $n - 1 = \frac{177}{3}= 59$

বা, $n = 59 + 1 = 60$

$\therefore$ ধারাটির 60 তম পদ 181.

প্রদত্ত ধারা: $8 + 11 + 14 +..........$

ধারাটির ১ম পদ a = 8

এবং সাধারণ অন্তর $d = 11 - 8 = 14 - 11 = 3$

∴ ধারাটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম $=a+(n-1)d$

$\therefore a + (n - 1) d = 383$

বা, $8 + (n - 1) 3 = 383$

বা, $3(n - 1) = 383 - 8 = 375$

বা, $n - 1 = \frac{375}{3} = 125$

বা, $n = 125 + 1 = 126$

নির্ণেয় ধারাটির 126 তম পদ 383 ।

প্রদত্ত ধারাটি : $9 +6+3+.............$

ধারাটির ১ম পদ a = 9

সাধারণ অন্তর $d = 6 - 9 = 3 - 6 = - 3$

$\therefore$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির n তম পদ $=-201$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ $= a + (n - 1) \times d$

                                                   $\therefore 9 + (n - 1)(- 3) = - 201$

বা, $9- 3n + 3 = - 201$

বা, $- 3n = - 201 - 12 = - 213$

বা, $n = 71$ [উভয়পক্ষে (-3) দ্বারা ভাগ করে]  

$\therefore n = 71$

$\therefore$ ধারাটির 71 তম পদ-201

প্রদত্ত ধারাটি : 7 + 10 + 13 + 16 +..........

ধারাটির ১ম পদ a= 7  

এবং সাধারণ অন্তর $d = 10 - 7 - 13 - 10 = 16 - 13 = 3$

$\therefore$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির n তম পদ = 160  

আমরা জানি, সমান্তর ধারার তম  পদ $= a+(n - 1) d$

$\therefore 7+(n - 1) 3 =160$

বা,$7 + 3n - 3 = 160$

বা, $3n + 4 = 160$

বা, $3n = 160 - 4$

বা, $n = \frac{156}{3} = 52$

$\therefore$ ধারাটির 52 তম পদ 160.

প্রদত্ত ধারা: $7 + 11 + 15 +..........$

ধারাটির ১ম পদ,$a = 7$

এবং সাধারণ অন্তর, $d = 11 - 7 =15-11=4$

$\therefore$ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা

$\therefore$ ধারাটির n তম পদ $=a + (n - 1) d$

  $\therefore$ ধারাটির 120 তম পদ $= a + (120 - 1) d = 7 + (120 - 1) 4$

                                              $= 7 + 119 \times 4 = 7 + 476 = 483$

নির্ণেয় পদ 483.

প্রদত্ত ধারাটি হলো : $5+17+29............$

ধারাটির প্রথম পদ a= 5

সাধারণ অন্তর $d = 17 - 5 = 29 - 17 = 12$

$\therefore$ ধারাটি সমান্তর ধারা

ধরি, ধারাটির তম পদ হলো 101.

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ $=a + (n-1)d$

শর্তমতে, $a + (n - 1) d = 101$

বা, $5+ (n - 1) 12 = 101$

বা, $5 + 12n - 12 = 101$

বা, $12n - 7 =101$

বা, $12n = 101 + 7 = 108$

বা, $n=\frac{108}{12}=9$

$\therefore$ ধারাটির তম পদ 101.

প্রদত্ত ধারা $= 3 + 7 + 11 +............$

ধারাটির ১ম পদ, $a=3$

সাধারণ অন্তর $d = 7 - 3 = 11 - 7 = 4$

$\therefore$ ধারাটি সমান্তর ধারা..

ধরি, ধারাটির তম পদ 399……..

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ $= a + (n - 1)d$

   বা, $4n = 399 + 1 = 400$

   বা, $n= \frac{400}{4}$

$\therefore \mathfrak{n}=100$

$\therefore$ ধারাটির 100তম পদ  399.

প্রদত্ত ধারাটি : $3 + 5 + 7 + 9 +............$

যার প্রথম পদ, a = 3

এবং সাধারণ অন্তর $d = 5 - 3 = 7 - 5 = 9 - 7 = 2$

$\therefore$ এটি একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ  = 303

আমরা জানি, সমান্তর ধারার তম পদ $=a+(n-1)d$

$\therefore a + (n - 1) d = 303$

বা, $3 + (n - 1) 2 = 303$

বা, $3 + 2n - 2 = 303$

বা, $1 + 2n = 303$

বা, $n= \frac{302}{2}=151$

$\therefore$ ধারাটির 151 তম পদ 303.

প্রদত্ত ধারাটি : $29 + 25 + 21 +.........$

ধারাটির প্রথম পদ $a = 29$

এবং সাধারণ অন্তর $d = 25 - 29 = - 21 - 25 = - 4$

$\therefore$ ধারাটি সমান্তর ধারা।

ধরি, ধারাটির n তম 4 = - 23

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম  পদ $=a+(n-1)d$

প্রশ্নমতে, $a +(n - 1) d = - 23$

বা, $29 + (n - 1)(- 4) = - 23$

বা, $(n - 1)(- 4) = - 23 - 29 = - 52$

বা, $n - 1 = \frac{-52}{-4}=13$

বা, $n=13 + 1=14$

নির্ণেয় 14 তম্ পদ -23.

প্রদত্ত ধারা : $8 + 11 + 14 +..........$

ধারাটির প্রথম পদ, a = 8

এবং সাধারণ অন্তর $d=11 - 8 = 14 - 11 =3$

$\therefore$ ধারাটি সমান্তর ধারা

ধরি, ধারাটির n তম পদ 392

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ $=a + (n-1)d$

বা,$a+(n - 1) d =392$

বা, $8 + (n - 1) 3 = 392$

বা, $(n - 1) 3 = 392 - 8$

বা, $(n - 1) 3 = 384$

বা, $n - 1 = \frac{384}{3}=128$

বা, $n = 128 + 1$

$\therefore$$n = 129$

নির্ণেয় পদ 129.

এখানে, 10 + x + 22 একটি সমান্তর ধারা।

সুতরাং $x - 10=22 - x$

বা, $x+x = 22 + 10$

বা, $2x = 32$

বা, $x = \frac{32}{2}$

$\therefore x=16$

নির্ণেয় মান: 16.

প্রদত্ত ধারাটি : $9 + 7 + 5 +........$

ধারাটির প্রথম পদ, $a=9$

এবং সাধারণ অন্তর $d=7 - 9 = 5 - 7 = - 2$

$\therefore$ ধারাটি সমান্তর ধারা

ধরি, ধারাটির n তম পদ = - 29

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম  পদ $= a + (n - 1) d$

বা, $a + (n - 1) d = - 29$

বা, $9 + (n - 1)(- 2) = - 29$

বা, $9 - 2n + 2 = - 29$

বা, $11 - 2n = - 29$

বা, $- 2n = - 29 - 11 = - 40$

$\therefore n = 20$

নির্ণেয় 20 তম পদ – 29.

প্রদত্ত সমান্তর ধারাটি $=11+ 9 + 7 +............$

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ $a = 11$

এবং সাধারণ অন্তর $d = 9 - 11 = - 2$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম $= a + (n - 1) d$

$\therefore$ ধারাটির 20 তম পদ $= a + (20 - 1) d$

                                         $= 11 + 19(- 2) = 11 - 38 = - 27$

নির্ণেয় পদ: $- 27.$

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p. সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

$(+), 2Sn = (a + p) + (a + p) + (a + p) +....+(a+p)+(a+p)+(a+p)$

বা, $2S_n=n(a+p)$ [∵ ধারাটির পদ সংখ্যা n ]

$\therefore S_n=\frac{n}{2}(a+p).............\left(3\right)$

আবার, n তম পদ $= p = a + (n - 1) d$

p এর মান (3) এ বসিয়ে পাই, $S_n=\frac{n}{2}[n+\{x+(n-1)d\left\}\right]$

অর্থাৎ, $S_n=\frac{n}{2}\{2a+(n-1\left)d\right\}$

নির্ণেয় সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি  $\frac{n}{2}\{2a+(n-1\left)d\right\}$.

প্রদত্ত ধারা : 5 + 11 + 17 + 23 +.........+59

এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ , $a=5$

সাধারণ অন্তর $d = 11 - 5 = 6$ শেষ পদ, = 59

$\therefore$ ধারাটির ১ম ১০টি পদের সমষ্টি

$S_{10}=\frac{n}{2}\{2a+(n-1\left)d\right\}=\frac{10}{2}\{2.5+(10-1\left)6\right\}$

                                                        $= 5(10 + 9 \times 6) = 5(10 + 54)$

                                                         $= 5 \times 64 = 320$

নির্ণেয় সমষ্টি 320.

প্রদত্ত ধারাটি 7 + 12 + 17 +...... যা একটি সমান্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ a = 7

এবং সাধারণ অন্তর, d = 12 - 7 = 5

আমরা জানি,

সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n=\frac{n}{2}\{2a+(n-1\left)d\right\}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম 30টি পদের সমষ্টি $S_{30}=\frac{30}{2}\{2a+(30-1\left)d\right\}=15(2\times 7+29\times 5)$

                                                                    $= 15(14 + 145) = 15 \times 159 = 2385$

   নির্ণেয় সমষ্টি 2385.