8 + 11 + 14 + 17 +......... ধারার m-তম পদ নির্ণয় কর। (সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়। এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম
(Sequence) বলা হয়। যেমন:

(i) 1,2,3,………………n…………..

(ii) 1, 3, 5......, 2n - 1 ,......

(iii) 1, 4, 9, ......$n^2$ ...... ইত্যাদি অনুক্রম।

প্রদত্ত অনুক্রম 3, 6, 9... ... ...

এখানে, ১ম পদ $a_1 = 3= 3.1$

             ২য় পদ $a_2= 6= 3.2$

            ৩য় পদ $a_3 =9 = 3.3$

  …….. ……. ……………

$\therefore$ n-তম পদ $a_n= 3n$

$\therefore$ অনুক্রমটির সাধারণ পদ $a_n$ = 3n

প্রদত্ত অনুক্রম : $5, -25, 125, -625, ..........$

এখানে, ১ম পদ $=5=(-1{)}^{2}5={(-1)}^{1+1}.5^1$

            ২য় পদ $=-25=(-1{)}^3.5^2={(-1)}^{2+1}{5}^2$

            ৩য় পদ $=125=(-1{)}^4.5^3={(-1)}^{3+1}{5}^3$

             ৪র্থ পদ $=-625=(-1{)}^5.5^4={(-1)}^{4+1}{5}^4$

…… …………….. ……. ……….. …….. ……… ……… ………. …….. ……..

$\therefore$ n-তম পদ  $={(-1)}^{n+1} . 5^n={(-1)}^{m+1}{5}^m$

$\therefore$ অনুক্রমটির সাধারণ পদ $a_n={(-1)}^{n+1}{5}^n$

প্রদত্ত অনুক্রম : $\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\frac{1}{2^4}.......$

এখানে, অনুক্রমটির প্রতিটি পদের লব। এবং হর 2 এর ঘাত বা সূচক। থেকে শুরু হয়ে প্রতিক্ষেত্রে। করে বৃদ্ধি পাচ্ছে অর্থাৎ ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা।

$\therefore$ অনুক্রমটির সাধারণ পদ $a_n=\frac{1}{2^n}$ যেখানে $n \in N$.

কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা (Series) পাওয়া যায়। যেমন, 1 + 3 + 5 + 7 +..........একটি ধারা। ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান।

আবার 2 + 4 + 8 + 16 +......... একটি ধারা। এর পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান। সুতরাং, যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য। ধারাগুলোর মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ: 1+3+5+7+9+11 ………. একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ ।, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ প্রথম পদ = 3-1=2,

             তৃতীয় পদ – দ্বিতীয় পদ = 5-3 = 2

             চতুর্থ পদ – তৃতীয় পদ = 7-5=2

             পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9-7=2

             ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

দেখা যাচ্ছে পাশপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সমান যা 2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।