সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

অনুপাত ও সমানুপাতের তিনটি ধর্ম হলো:

(i) a : b=x : y এবংc : d=x : y হলে, a : b= c : d হবে।

(ii) a : b=b : a হলে, ab হবে।

(iii) a : b=c : d হলে, ad=bc (আড়গুনন)

অনুপাত ও সমানুপাতের যোজন বিয়োজন সম্পর্কিত ধর্ম হলো:

(i) a : b= x : y হলে, a+b : b= x+y : y হবে। (যোজন) এবং a : b=x : y হলে, a-b : b=x-y : y হবে। (বিয়োজন)

$\left(ii\right)\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$হলে $\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$[যোজন ও বিয়োজন]

অনুপাত ও সমানুপাতের ব্যস্তকরণ ধর্মটি হলো:

a : b=x : y হলে, b : a=y : x হবে এবং অনুপাত ও সমানুপাতের একান্তরকরণ ধর্মটি হলো: a : b=x : y হলে a : x=b : y হবে।

মনে করি, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC ও DEF এর ভূমি যথাক্রমে BC = a, EF=d এবং উভয় ক্ষেত্রের উচ্চতা h.

সুতরাং, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times a\times h$

ত্রিভুজক্ষেত্র DEF এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times d\times h$

অতএব, ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল : ত্রিভুজক্ষেত্র DEF এর ক্ষেত্রফল

সুতরাং, দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রের উচ্চতা সমান হলে, এদের ক্ষেত্রফল ভূমির সমানুপাতিক হবে।

এখানে,$∆$ABC এ AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q।

$\therefore ∆ABQ=\frac{1}{2}\left(∆ABC\right)$.

আবার, $∆APQ=\frac{1}{2}\left(∆ABQ\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(∆ABC\right)\right]$

বা, $\frac{1}{4}\times \left(∆ABC\right)=∆APQ$

বা, $\frac{∆ABC}{∆APQ}=\frac{4}{1}$

$\therefore$$∆ABC : ∆APQ= 4 :1$

নির্ণেয় অনুপাত 4 : 1.

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে এর অর্ধেক।

অর্থাৎ $EF=\frac{1}{2}BC$

বা, $2EF=BC$

বা, $\frac{2}{1}=\frac{BC}{EF}$

$\therefore$ $BC : EF = 2 : 1$

নির্ণেয় অনুপাত 2 : 1.

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা ঐ ত্রিভুজের অপর বাহুদ্বয়কে বা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।

চিত্রে, ABC ত্রিভুজের BC বাহুর সমান্তরাল PQ সরলরেখা AB ও AC কে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।

$\therefore \frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}$

$AP : PB$ = $AQ : QC$

নির্ণেয় AP : PB = AQ : QC.

দেওয়া আছে, △ ABC-এর ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে.মি.।

চিত্রে, ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু P ও Q.

$\therefore$ △ APQ এর ক্ষেত্রফল

= $\frac{1}{4} \times ∆ABC$ এর ক্ষেত্রফল

= $\frac{1}{4} \times 48$ বর্গ সে.মি.

= 12 বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় $∆$APQ এর ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে, △ PEF এর ক্ষেত্রফল= 60 বর্গ সে.মি.

এখানে PQR ত্রিভুজের PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F.

$∆$PEF এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{4} \times ∆PQR$ এর ক্ষেত্রফল

বা, $60=\frac{1}{4} \times ∆PQR$ এর ক্ষেত্রফল

বা, $∆$PQR এর ক্ষেত্রফল = 240 বর্গ সে.মি.

$\therefore$$∆$PQR এর ক্ষেত্রফল 240 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা ঐ ত্রিভুজের অপর বাহুদ্বয়কে বা তাদের বর্ধিতাংশন্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।

চিত্র হতে পাই,  $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

বা, $\frac{BD}{AD}=\frac{EC}{AE}$ [ব্যস্তকরণ করে]

বা,  $\frac{BD+AD}{AD}=\frac{EC+AE}{AE}$ [যোজান করে]

বা, $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$

বা, $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$ [একান্তরকরণ করে]

বা, $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$

$\therefore$ $AB : AC$ $=$$3 :2$

নির্ণেয় $AB : AC$$=$$3 :2$

দেওয়া আছে, AB : AP = 15 : 14 এবং AC = 60 মিটার

যেহেতু $∆$ABC এ PQ || BC.

সুতরাং $\frac{AB}{AP}=\frac{AC}{AQ}$

বা, $\frac{15}{14}=\frac{60}{AQ}$

বা, $AQ=56$

$\therefore$ $CQ=AC-AQ=\left(60-56\right)=4$ মিটার।

নির্ণেয় CQ এর মান 4 মিটার।

এখানে, $∆$ PMN এর ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সে. মি. এবং $\frac{MR}{MN}=\frac{3}{4}$

আবার, $∆$ PMR এবং $∆$PMN এর উচ্চতা সমান হওয়ায় এদের ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক।

অর্থাৎ $\frac{∆PMR}{∆PMN}=\frac{MR}{MN}$

বা, $\frac{∆PMR}{16}=\frac{3}{4}$

বা, $∆PMR$ $=\frac{3\times 16}{4}$

$\therefore$$∆PMR=12$

নির্ণেয় $∆$ PMR এর ক্ষেত্রফল 12 বর্গ সে. মি.।

আমরা জানি, দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রের উচ্চতা সমান হলে তাদের ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক।

অর্থাৎ $∆ABC$ এর ক্ষেত্রফল/ $∆DEF$এর ক্ষেত্রফল = $∆ABC$ এর ভূমি/$∆DEF$ এর ভূমি

বা, $\frac{40}{50}$= △ABC এর ভূমি/△ DEF এর ভূমি

বা, △ ABC এর ভূমি/ △ DEF এর ভূমি= $\frac{4}{5}$

$\therefore$ △ ABC এর ভূমি : △ DEF এর ভূমি = 4 : 5

নির্ণেয় ত্রিভুজ দুইটির ভূমির অনুপাত = 4 : 5.

এখানে, △ ABC এর ক্ষেত্রফল 32 বর্গ সে.মি. এবং △ ACD এর ক্ষেত্রফল 8০ বর্গ সে.মি.।

আবার, △ ABC ও △ ACD এর উচ্চতা সমান হওয়ায় এদের ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক।

অর্থাৎ, $∆ABC$ এর ক্ষেত্রফল / $∆ACD$ এর ক্ষেত্রফল$=\frac{BC}{CD}$

বা, $\frac{32}{80}=\frac{BC}{CD}$

বা, $\frac{BC}{CD}=\frac{2}{5}$

$\therefore$ BC : CD=2 : 5

নির্ণেয় অনুপাত 2 : 5  

এখানে, △ ABC এর ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সে.মি. এবং △ DEF এর ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি.।

ধরি, ABC ত্রিভুজের ভূমি a এবং DEF ত্রিভুজের ভূমি b.

উভয় ত্রিভুজের উচ্চতা সমান হওয়ায় এদের ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক।

অর্থাৎ  $\frac{∆ABC}{∆DEF}=\frac{a}{b}$

বা, $\frac{100}{120}=\frac{a}{b}$

বা, $\frac{a}{b}=\frac{5}{6}$

$\therefore$ a : b=5 : 6

নির্ণেয় ভূমির অনুপাত 5 : 6.

ধরি, $∆$ PQR এর ভূমি QR = 7 সে.মি. এবং $∆$ XYZ এর ভূমি YZ = 8 সে.মি.।

অর্থাৎ $\frac{∆PQR}{∆XYZ}=\frac{QR}{YZ}$

বা, $\frac{∆PQR}{∆XYZ}=\frac{7}{8}$

$∆$PQR : $∆$ ΧΥΖ = 7 : 8

নির্ণেয় ক্ষেত্রফলম্বয়ের অনুপাত 7 : 8

দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রের ভূমির দৈর্ঘ্য সমান হলে, এদের ক্ষেত্রফল ও উচ্চতা সমানুপাতিক।

অর্থাৎ,  △ ABC এর ক্ষেত্রফল / △ DEF এর ক্ষেত্রফল = △ ABC এর ক্ষেত্রফল / △ DEF এর

ক্ষেত্রফল

বা, 15 : 4 = 5 :  x

বা, $\frac{15}{4}=\frac{5}{X}$

বা, $x=\frac{4\times 5}{15}=\frac{4}{3}$

নির্ণেয় মান: $x=\frac{4}{3}$