সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন সমাধান

বহুপদী বিশেষ ধরণের বীজগাণিতিক রাশি। এরূপ রাশিতে এক বা একাধিক পদ থাকে এবং পদগুলো এক বা একাধিক চলকের শুধুমাত্র অজানা এক পূর্ণ সাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবকের গুণফল হয়।

যেমন, x² - 3x, x² + 2xy + 2 ইত্যাদি।

যদি কোনো প্রতীক একাধিক সদস্যবিশিষ্ট কোনো সংখ্যা সেটের যেকোনো অনির্ধারিত সদস্য নির্দেশ করে, তবে প্রতীকটিকে চলক বলা হয়। সাধারণত বীজগাণিতিক রাশিতে x, y, z দ্বারা চলক নির্দেশ করা হয়। যেমন 5x³ + 3x² + 7 বীজগাণিতিক রাশিটিতে x হচ্ছে চলক।

কোনো আলোচনায় সংখ্যা নির্দেশক প্রতীক যদি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা প্রকাশ করে তবে তাকে ধ্রুবক বলে। যেমন, x² + 3x + 2 রাশিটিতে ধ্রুবক 2

চলক বলতে এমন একটি রাশিকে বুঝায় যার মান পরিবর্তনশীল। এটি প্রদত্ত সেটের বিভিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে। অপরপক্ষে অপরিবর্তনশীল রাশিকে ধ্রুবক বলা হয়। একটি মাত্র বর্ণ দিয়ে চলককে নির্দেশ করা হয়। ধ্রুবক সাধারণত সংখ্যা দিয়ে নির্দেশ করা হয়। চলক বিভিন্ন ধরনের হতে পারে। অপরদিকে ধ্রুবকের কোনো প্রকারভেদ হয় না। এটি শুধু একটি নির্দিষ্ট মান নির্দেশ করে।

x³ + x^{- 2} এখানে, প্রথম পদ x³এর সহগ, c = 1

x এর ঘাত, p = 3 যা. অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

x³ পদটি cx^p আকারের একটি পদ।

দ্বিতীয় পদ x² এর সহগ, c = 1

দ্বিতীয় পদের ঘাত, p = - 2 যা অঋণাত্মক সংখ্যা নয়।

x² পদটি cx^p আকারের পদ নয়।

সুতরাং x³ + x^{- 2} রাশিটি বহুপদী নয়।

আমরা জানি, বহুপদী রাশি cx^p আকারের হয়। কিন্তু এখানে, x³ এর সহগ, c = 2 এবং x এর ঘাত, p = 3 যা অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

সুতরাং, রাশিটি cx^p আকারের একটি রাশি।
2x³ রাশিটি বহুপদী।

6a + 3b

এ রাশিটি cx^py^q আকারের রাশি।
সুতরাং 6a + 3b রাশিটি বহুপদী।

প্রদত্ত রাশি: x³ + 2x² - 5x - 6
রাশিটির প্রথম = x³ যার সহগ c = 1 এবং x এর ঘাত p = 3 যা অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এটি cx^p আকারের একটি পদ। এর অপর পদগুলো যথাক্রমে 2x², 5x ও - 6 হচ্ছে cx^p আকারের।

সুতরাং, x³ + 2x² - 5x - 6 রাশিটি একটি বহুপদী। (প্রমাণিত)

যে চলকের বহুপদী একটি চলকের সমন্বয়ে গঠিত তাকে
এক চলকের বহুপদী বলে। মনে করি, x একটি চলক। তাহলে, a, ax + b, ax² + bx + c, ax³+ bx² + cx + d ইত্যাদি আকারের রাশিকে x চলকের বহুপদী বলা হয়। যেখানে, a, b, c, এ ইত্যাদি ধ্রুবক। সাধারণভাবে, x চলকের বহুপদীর পদসমূহ cx^p আকারের হয়, যেখানে একটি x-বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা এবং p একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। p শূন্য হলে পদটি শুধু  c হয় এবং c  শূন্য হলে পদটি বহুপদীতে উল্লেখ থাকে না।

এক চলকবিশিষ্ট কোনো বহুপদীর উল্লেখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়। বহুপদীতে গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদটিকে মুখ্যপদ ও মুখ্যপদের সহগকে মুখ্যসহগ এবং মাত্রাযুক্ত অর্থাৎ, চলক-বর্জিত পদটিকে ধ্রুবপদ বলা হয়।

যেমন, 2x⁶ - 3x⁵-x⁴+ 2r - 5, x চলকের একটি বহুপদী, যার মাত্রা 6, মুখ্যপদ 2x⁶, মুখ্য সহগ 2 এবং ধ্রুবপদ-5।

x চলকের বহুপদীকে সাধারণত x এর ঘাতের অধঃক্রমে (অর্থাৎ, মুখ্যপদ থেকে শুরু করে ক্রমে ক্রমে ধ্রুবপদ পর্যন্ত) বর্ণনা করা হয়। এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শরূপ বলা হয়। যেমন;
p(x) = x² + 3x²+x⁴+2x+9 কে আদর্শ রূপে সাজালে আমরা পাই,
p(x) = x⁴ + 3x³ + x²+2x+9.

ব্যবহারের সুবিধার্থে চলকের বহুপদীকে P(x), Q(x) ইত্যাদি প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন, P(x) = 2x² + 7x + 5

এরূপ P(x) প্রতীকে x এর উপর বহুপদীটির মানের নির্ভরতা নির্দেশ করে। P(x) বহুপদীতে x চলকের পরিবর্তে কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা বসালে বহুপদীটির যে মান পাওয়া যায়, একে P(a) দ্বারা সূচিত করা হয়।

দেওয়া আছে,

Q(x) = x³ + 2x² - x - 2

Q(- 1) = (- 1)³ + 2 (- 1)² - (- 1) - 2

= - 1 + 2 ,1+1-2

=-1+2+1-2

=3-3

=0

নির্ণেয় মান 0

দেওয় আছে,

P(x) = 3x³ + 2x² - 7x + 8

প্রদত্ত বহুপদীতে x এর পরিবর্তে 3, - 2 বসিয়ে পাই,

P(3)= 3(3³) + 2(3²) - 7(3) + 8

= 3$\times$27 + 2 $\times$ 9 - 7 $\times$3 + 8

= 81 + 18 - 21 + 8 = 86
এবং P(- 2) = 3 (- 2)³ + 2 (- 2)² - 7(- 2) + 8

= 3(- 8) + 2 $\times$4 + 14 + 8

= - 24 + 8 + 14 + 8 = 6
নির্ণেয় মান P(3) = 3 এবং P(- 2) = 6

দুই চলকের সমন্বয়ে গঠিত বহুপদীকে দুই চলকের বহুপদী বলে।  x, y চলকের বহুপদীর পদগুলো cx^py^q আকারে প্রকাশ করা হয়। যেখানে c (ধ্রুবক) এবং p ও q অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। (p+q) হচ্ছে পদটির মাত্রা এবং বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়। এরূপ বহুপদীকে P(x, y) আকারের প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়। যেমন, P(x,y) = 8x³ + y³ - 4x²y + 7xy² +2y - 5

তিন চলকের সমন্বয়ে গঠিত বহুপদীকে তিন চলকের বহুপদী বলে, x, y, z চলকের বহুপদীর পদগুলো cx^py^qz^r দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেখানে (ধ্রুবক) পদটির সহগ এবং p, q. r অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এখানে (p+q+r) কে এই পদের মাত্রা এবং বহুপদীতে উল্লিখিত পদসমূহের গরিষ্ঠ মাত্রাকে বহুপদীটির মাত্রা বলা হয়। এরূপ বহুপদীকে P(x, y, z) আকারের প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়।

যেমন, P(x, y, z) = x³+ y³ + z³ - 3xyz.

দেওয়া আছে,

$P(x,y)=8x^3+6x^{2}y+10x{y}^2+xy+2$

এটি x ও y চলকের বহুপদী। বহুপদীটির গরিষ্ঠ মাত্রা (2 + 1) = 3 বা, 1+ 2 = 3

বহুপদীটির মাত্রা 3

এখন, P(1,2) = 8$\times$1³ + 6 $\times$1² $\times$2 + 10 $\times$ 1$\times$ 2 ² + 1 $\times$ 2 + 2

= 8 + 12 + 40 + 2 + 2 = 64

নির্ণেয় মাত্রা 3 এবং P(1, 2) = 64

দেওয়া আছে, P(x, y, z).= x3+ y3+z3-3xyz

এখন, P(0, 1, 2) = (0)³ + (1)³ + (2)³ - 3 $\times$ 1 $\times$ 2

=0+1+8-0=9

সুতরাং P(0, 1, 2) = 9

দেওয়া আছে, f(x, y, z) = mx³ + 5x²y-6xyz + 2y⁴

f(1, 3, 0) = m. 1³ + 5.1² - 6.1 .3. 0 + 2.3⁴

= m+15-0+162=m+177

শর্তমতে, f(1, 3, 0) = 200

বা, m + 177 = 200

m = 200 - 177 = 23

নির্ণেয় মান: m = 23

প্রদত্ত রাশি= 5x²y-4x⁴y⁴-2

x- কে ধ্রুবক বিবেচনা করে y-কে চলক ধরলে প্রদত্ত রাশিটি হবে

(- 4x⁴) y⁴ + (5x²)y - 2

যা y চলকের বহুপদীর আদশ রূপ।

এখানে, y চলকের মাত্রা = 4

মুখ্য সহগ = -4x⁴

এবং ধ্রুবপদ = - 2

নির্ণেয় y চলকের বহুপদীর আদর্শ আকার (- 4x⁴) y⁴ + (5x²)y - 2

মাত্রা 4; মুখ্য সহগ -4x⁴ এবং ধ্রুবপদ -2.

3x³y + 2xyz-x⁴=-x⁴+3x³y + 2xyz

যা x চলকের একটি বহুপদীর আদর্শ রূপ

সুতরাং বহুপদীর মাত্রা = 4

মুখ্য সহগ=-1 এবং ধ্রুবপদ = 0.

নির্ণেয় x চলকের বহুপদীর আদর্শ আকার -x⁴+3x³y + 2xyz

মাত্রা = 4, মুখ্য সহগ = - 1 এবং ধ্রুবপদ = 0.

প্রদত্ত রাশি = 3a³b + 2abc-a⁴

= (3a³+2ac) b-a⁴

a-কে ধ্রুবক ধরে b কে চলক ধরলে প্রদত্ত রাশিটি হবে (3a³+2ac) b-a⁴ যা b চলকের বহুপদীর আদর্শ রূপ।

এখানে, b চলকের মাত্রা = 1

মুখ্য সহগ = 3a³ + 2ac

ধ্রুবপদ= - a⁴

নির্ণেয় b চলকের বহুপদীর আদর্শ আকার (3a2 + 2ac) b- a⁴ ;

মাত্রা 1, মুখ্য সহগ 3a² + 2ac, ধ্রুবপদ - a4.

x চলকের বহুপদী P(x) এবং Q(x) এর গুণফল F(x) = P(x) Q(x) একটি বহুপদী যার মাত্রা P(x) এর মাত্রা + Q(x) এর মাত্রা এবং মুখ্য সহগ = P(x) এর মুখ্য সহগ $\times$ Q(x) এর মুখ্য সহগ।

x চলকের বহুপদী P(x) কে Q(x) দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল

যদি বহুপদী R(x)= $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$হয় তাহলে-

R(x) এর মাত্রা = P(x) এর মাত্রা -  Q(x) এর মাত্রা

এখানে (x² + 2) এবং (x + 2) বহুপদী দুইটির গুণফল (x² + 2)(x + 2) = x³ + 2x² + 2x + 4 একটি বহুপদী যার মাত্রা 2+1=3 এবং মুখ্যসহগ 1 $\times$1=1

এখানে, ভাজ্য, P(x) = (x² - 1)(x + 6) = x² + 6x² - x - 6

এবং ভাজক, Q(x) = 2x² + 7

P(x) এর মাত্রা 3 এবং মুখ্য সহগ 1

Q(x) এর মাত্রা 2 এবং মুখ্য সহগ 2

ভাগফলের মাত্রা = P(x) এর মান - Q(x) এর মাত্রা

=-3-2-1

নির্ণেয় মাত্রা 1

এখানে, P(x) = x³ + xy + y² এর মাত্রা 3 এবং মুখ্য সহগ 1 এবং 5x-2 এর মাত্রা 1 এবং মুখ্য সহগ 5

গুণফলের মাত্রা= 3+1=4 এবং মুখ্যসহগ = 1 $\times$5 = 5

নির্ণেয় মাত্রা 4 এবং মুখ্য সহগ 5।

দুইটি বহুপদী P(x) ও Q(x) সকল x এর জন্য সমান হলে, এদের সমতাকে অভেদ বলা হয় এবং তা বুঝাতে অনেক সময় P(x)= Q(x) লেখা হয়। এক্ষেত্রে P(x) ও Q(x) বহুপদী দুইটি অভিন্ন হয়। = চিহ্নকে অভেদ চিহ্ন বলা হয়। সাধারণভাবে একই চলকসমূহের দুইটি বীজগণিতীয় রাশির সমতাকে অভেদ বলা হয়, যদি রাশি দুইটিতে প্রতিটি চলকের ডোমেন একই হয় এবং চলকসমূহের ডোমেনভুক্ত মানের জন্য রাশি দুইটির মান সমান হয়। যেমন, x(x + 4) = x² + 4x, (x - y)² = x² - 2xy + y² উভয়ই অভেদ।

P(x) কে x-a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 0 অথবা অশূন্য ধ্রুবক হবে।

মনে করি, ভাগশেষ R এবং ভাগফল Q(x); তাহলে ভাগের নিয়মে সকল x এর জন্য P(x) = (x- a) Q(x) + R

এখন, x = a বসিয়ে পাই, P(a) = 0. (Q)(a) + R-R

সুতরাং, P(x) কে x- a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(a) হবে।

(দেখানো হলো)

P(x) কে x-m দ্বারা নিচের মতো ভাগ করি,

এখানে ভাগশেষ am³ + bm + c

আবার, P(m) am³ + bm+ c,

সুতরাং ভাগশেষ P(m) এর সমান।

(দেখানো হলো)

P(x) কে (x + 4) দ্বারা নিচের মতো ভাগ করি।

এখানে ভাগশেষ 12.
যেহেতু P(- 4) = (- 4)² + 5(- 4) + 16

=16-20+16

= 32-20-12

সুতরাং, ভাগশেষ P(- 4) এর সমান।

P(x) কে x - a দ্বারা ভাগ করলে। ভাগশেষ হবে

P(a) = a³ + 5a² + 6a + 8

এবং P(x) কে x - b দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে

P(b) = b³ + 5b² + 6b + 8

শর্তানুসারে, a³ + 5a² + 6a + 8 = b³ + 5b² + 6b + 8

বা, a³- b³ + 5(a² - b²) + 6(a - b) = 0

বা, (a - b)(a²+ ab + b²) + 5(a + b)(a - b) + 6(a - b) = 0

বা, (a - b)(a² + b² + ab + 5a + 5b + 6) = 0

a² + b²+ ab + 5a + 5b + 6 = 0

ধরি, ভাজ্য, P(x) = 18x² - 12x + 10 ভাজক - 3x - 1

P(x) কে (3x - 1) বা, $3\left(x-\frac{1}{3}\right)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে,$$\begin{gathered} P \left(\frac{1}{3}\right)=18{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-12\times \frac{1}{3}+10 \\ =18\times \frac{1}{9}-\frac{12}{3}+10 \\ =2-4+10 \\ =8 \end{gathered}$$

নির্ণেয় ভাগশেষ ৪.

P(x) কে X + 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে,

P(- 2) = (- 2)³ - 8 (- 2)² + a(- 2) + 60

= - 8 - 8 $\times$4 - 2a + 60

= - 8 - 32 - 2a + 60 = 20 - 2a

শর্তমতে, 20 - 2a = 8

বা, 20 - 8 = 2a

বা, 12 = 2a

a=6

P(x) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে,

P(- 2) = 5(2)³ + 6 (2)² - 2a(2) - 6

= 5 $\times$8 + 6$\times$ 4 - 4a - 6

= 40 + 24 - 4a - 6

= 58 - 4a

শর্তমতে, 58 -4a=6

বা, 58 - 6 = 4a

বা, 4a = 52

a = 13
নির্ণেয় মান 13.

ধরি, P(m)=5 m³ - 11 m² -3m+4

P (m) কে (m + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে,

P(- 2) =5$\times$(- 2)³ - 11 $\times$ $(-2{)}^2$ - 3$\times$(- 2) + 4

= 5$\times$(- 8) - 11 $\times$ 4 + 6 + 4

= - 40 - 44 + 10 = - 84 + 10 = - 74

নির্ণেয় ভাগশেষ 74.

ধরি, P(x) = x³ - 3x + 5

P(x) কে (x + 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে

P(- 2) = (- 2)³ - 3(- 2) + 5

= - 8 + 6 + 5 = - 8 + 11 = 3

নির্ণেয় ভাগশেষ 3.

P(x) বহুপদীকে x-a দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী ভাগশেষ = P(a),  যা প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী 0।  অর্থাৎ P(x). বহুপদী x - a দ্বারা বিভাজ্য।

x-a হচ্ছে P(x) এর একটি উৎপাদক।

প্রদত্ত রাশি = x^x-a^x

ধরি, P(x) = x^x-a^x

(x-a), P(x) এর একটি উৎপাদক হবে যদি P(a) = 0 হয়।

এখন, P(a) = a^a - a^a = 0

x^x-a^x এর একটি উৎপাদক (x- a). (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, P(x) = 2x³ + x² - 6x - 3

(2x + 1) P(x) এর একটি উৎপাদক হবে যদি P  $\left(-\frac{1}{2}\right)$=0 হয়

এখন,

$$\begin{gathered} P(-\frac{1}{2})=2(-\frac{1}{2}{)}^{{}^3}+(\frac{-1}{2}{)}^2-6 (- \frac{1}{2})-3 \\ == 2(- \frac{1}{8}) +\frac{ 1}{4} +\frac{ 6}{2} - 3 \\ =-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+3-3 \\ =0 \end{gathered}$$

যেহেতু x-a, P(x) বহুপদীর একটি উৎপাদক, সুতরাং আরেকটি বহুপদী Q(x) পাওয়া যায় যেন P(x) = (x-a) Q (x)

এখানে, x-a বসিয়ে দেখা যায় যে, P(a) = (a-a) Q(a) = 0. Q(a) = 0.

-অর্থাৎ (x – a), P(x) বহুপদীর একটি উৎপাদক হলে P(a) = 0 হয়।
(দেখানো হলো)

মনে করি, a + b + c + d = 0

তাহলে, P(1) = a + b + c + d = 0 [শর্তানুসারে]

সুতরাং, x- 1, P(x) এর একটি উৎপাদক

এবার মনে করি P(x) এর একটি উৎপাদক x-1.

তবে, উৎপাদকের বিপরীত উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

P(1) = 0 অর্থাৎ a + b + c + d = 0

প্রদত্ত বহুপদী: x² + 6x - a

ধরি, P(x) = x² + 6x - a

এখন, (x - 2) যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয় তাহলে P(- 2) = 0 হবে।

প্রশ্নমতে, P(- 2) = 0

বা, (- 2)² + 6(- 2) - a = 0

বা, 4 - 12 - a = 0

বা, - 8 - a = 0

বা, - a = 8

a = - 8

নির্ণেয় মান: a = - 8

ধরি, F(x) = $F\left(x\right)=x^3+a{x}^2+2x+1$

F(x) এর একটি উৎপাদক (x + 1) হলে, F(- 1) = 0 হবে।

অর্থাৎ, F(- 1) = 0

$(-1{)}^1+a(-1{)}^2+2(-1)+1=0$

$- 1 + a - 2 + 1 = 0$

$a - 2 = 0$

$a = 2$

নির্ণেয় মান: a = 2

ধরি, P(y) $=3y^3-a{y}^2+4y+3$

এখন, (y + 1) = {y - (- 1)} P (y) এর একটি উৎপাদক হলে, P(- 1) = 0 হবে।

অর্থাৎ, P(- 1) = 0

বা, 3 (- 1)³ - a (- 1)² + 4(- 1) + 3 = 0

বা, - 3 - a - 4 + 3 = 0

বা, - a - 4 = 0

a = - 4

নির্ণেয় মান: a = - 4

ধরি, P(x) = 18x³ + bx² - x - 2, f(x) এর একটি উৎপাদক হলে, P$\left(-\frac{2}{3}\right)$ = 0

এখন, $P \left(-\frac{2}{3}\right)$ = $18 {\left(-\frac{2}{3}\right)}^3+b{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2-\left(-\frac{2}{3}\right)-2$

$$\begin{gathered} =-\frac{16}{3}+\frac{4b }{9}+\frac{2}{3}-2 \\ =\frac{-48+4b+6-18}{9} \\ =\frac{-60+4b}{9} \end{gathered}$$

শর্তানুসারে,

$\frac{-60+4b}{9}=0$

বা, - 60 + 4b = 0

বা, 4b = 60

বা, b=15

নির্ণেয় মান 15.

ধরি, $P\left(x\right)=18x^3+15x^2-x-b$

(2x + 1) P(x) এর একটি উৎপাদক হলে, $P\left(-\frac{1}{2}\right)=0$

$18{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3+15{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-\left(-\frac{1}{2}\right)-b=0$

$-18\times \frac{1}{8}+15\times \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-b=0$

$- \frac{9}{4} + \frac{15}{4}+ \frac{1 }{2}- b = 0$

$b = -\frac{9}{4} + \frac{15}{4} + \frac{1}{2} =\frac{- 9 + 15 + 2}{4} =\frac{ 8}{4} = 2$

নির্ণেয় মান: b = 2

দেওয়া আছে, f(x) = 6x² - ax + b

এবং a - b = 5 , a = b + 5

এখন, f(x) এর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে, f(2) = 0

বা, 6.2² - a.2 + b = 0

বা, 24 - (b + 5) 2 + b =0 [a=b+5]

বা, 24 - 2b - 10 + b = 0

বা. 14 - b = 0

b = 14

নির্ণেয় মান: b = 14

মনে করি, P(a) = a³ - a² - 10a - 8

এখন, a = - 1 বসিয়ে পাই,

P(- 1) = (- 1)³ - (- 1)² - 10(- 1) - 8

= - 1 - 1 + 10 - 8 = - 10 + 10 = 0

অতএব, (a + 1) P(a) এর একটি উৎপাদক।

এখন, P(a) = a³ - a² - 10a - 8

= a³ + a² - 2a² - 2a - 8a - 8

= a² (a + 1) - 2a(a + 1) - 8(a + 1)

= (a + 1)(a² - 2a - 8)

এখানে,

a² - 2a - 8

= a(a - 4) + 2(a - 4)

= (a - 4)(a + 2)

= a² - 4a + 2a - 8

নির্ণেয় উৎপাদক = (a+1) (a + 2)(a - 4) .

মনে করি, $f\left(x\right)=2x^3+3x^2-11x-6$

$$\begin{gathered} f\left(2\right)=2\times 2^3+3\times 2^2-11\times 2-6 \\ =2\times 8+3\times 4-22-6=16+12-28=0 \end{gathered}$$

(x - 2), f(x) এর একটি উৎপাদক

এখন, $2x^3+3x^2-11x-6$

$=2x^3-4x^2+7x^2-14x+3x-6$

$=2x^2(x-2)+7x(x-2)+3(x-2)$

$=(x-2)(2x^2+7x+3)=(x-2)(2x^2+6x+x+3)$

$=(x-2)\left\{2x\right(x+3)+1(x+3\left)\right\}$

$= (x - 2) (x + 3)(2x +1)$

প্রদত্ত রাশিঃ $=a^3+4a^2+a -6$

$=a^3-a^2+5a^2-5a+6a-6$

$=a^2(a-1)+5a(a-1)+6(a-1)$

$=(a-1)(a^2+5a+6)$

$$\begin{gathered} =(a-1)(a^2+2a+3a+6) \\ =(a-1) \left\{a\right(a+2)+3(a+2\left)\right\} \\ = (a - 1) (a + 2)(a + 3) \end{gathered}$$

মনে করি, $P\left(x\right)=x^3+4x^2+4x+1$

এখন, x = - 1 বসিয়ে পাই,

$$\begin{gathered} P(-1)=(-1{)}^3+4(-1{)}^2+4(-1)+1 \\ =-1+4-4+1=0 \end{gathered}$$

অতএব, (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক

$$\begin{gathered} P\left(x\right)=x^3+4x^2+4x+1 \\ =x^3+x^2+3x^2+3x+x+1 \\ =x^2 (x+1)+3x(x+1)+1(x+1) \\ =(x+1) (x^2+3x+1) \end{gathered}$$

প্রদত্ত রাশি$=m^3-6m^2+3m+2$

$$\begin{gathered} =m^3-m^2-5m^2+5m-2m+2 \\ =m^2 (m-1)-5m(m-1)-2(m-1) \\ =(m-1)(m^2-5m-2) \end{gathered}$$

প্রদত্ত রাশি $=18x^3+15x^2-x-2$

$$\begin{gathered} =18x^3+12x^2+3x^2+2x-3x-2 \\ =6x^2 (3x+2)+x(3x+2)-(3x+2) \\ =(3x+2)(6x^2+x-1) \\ =(3x+2)(6x^2+3x-2x-1) \\ =(3x+2) \left\{3x\right(2x+1)-(2x+1\left)\right\} \\ =(3x+2)(2x+1) (3x-1) \end{gathered}$$

প্রদত্ত রাশি $=x^4-3x^2+6x-4$

ধরি, $P\left(x\right)=x^4-3x^2+6x-4$

$$\begin{gathered} P\left(1\right)=1^4-3. 1^2+6.1-4 \\ =1-3+6-4 \\ =0 \end{gathered}$$

অর্থাৎ (x - 1) P(x) এর একটি উৎপাদক

$P\left(x\right)=x^4-3x^2+6x-4$

$$\begin{gathered} =x^4-x^3+x^3-x^2-2x^2+2x+4x-4 \\ =x^3 (x-1)+x^2 (x-1)-2x(x-1)+4(x-1) \\ =(x-1)(x^3+x^2-2x+4) \end{gathered}$$

কেবল x সম্বলিত পদগুলো ও ধ্রুবক নিয়ে পাওয়া যায়

$$\begin{gathered} -3x^2+11x-6 \\ -3x^2+11x-6 =(4y+2)(x-3) \end{gathered}$$

অথবা,

$(3x - 2)(- x + 3) ....\left(1\right)$

আবার কেবল y সম্বলিত পদগুলো ও ধ্রুবক নিয়ে পাওয়া যায় $8y^2-8y-6$

$8y^2-8y-6=(4y+2)(2y-3)$

অথবা $(- 4y - 2)(- 2y + 3) .......\left(2\right)$

উপরের (1) ও (2) এর উৎপাদকগুলোকে সমন্বয় করে প্রদত্ত রাশির উৎপাদক পাওয়া যাবে, তবে ধ্রুবকগুলো 2,3 অথবা 2, + 3 উভয় সমীকরণে অবশ্যই একই হতে হবে ঠিক যেমনটি x এবং y এর সহগ।

নির্ণেয় উৎপাদক (- 3x + 4y + 2)(x + 2y - 3)

অথবা (3x - 4y - 2)(- x - 2y + 3)

মনে করি, $P\left(x\right)=x^4+3x^3+5x^2+8x+5$

x = - 1 বসিয়ে পাই,

$P(-1)=(-1{)}^4+3(-1{)}^3+5(-1{)}^2+8(-1)+5$

$$\begin{gathered} = 1-3 + 5-8 + 5 \\ = 11-11 \\ = 0 \end{gathered}$$

অতএব, (x + 1) P(x) এর একটি উৎপাদক

$P\left(x\right)=x^4+3x^3+5x^2+8x+5$

$$\begin{gathered} =x^4+x^3+2x^3+2x^2+3x^2+3x+5x+5 \\ =x^3(x+1)+2x^2(x+1)+3x(x+1)+5(x+1) \\ =(x+1)(x^3+2x^2+3x+5) \end{gathered}$$

কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদের মাত্রা একই হলে, একে সমমাত্রিক বহুপদী বলা হয়। $x^2+2xy+3y^2$ রাশিটি x, y চলকের একটি দুই মাত্রার সমমাত্রিক বহুপদী এখানে, প্রত্যেক পদের মাত্রা 2 -আবার, $2x^{2}y + y^{2}z + 9z^{2}x- 5xyz$বহুপদীটি x, y, z চলকের তিন মাত্রার সমমাত্রিক বহুপদী। এখানে প্রত্যেক পদের মাত্রা 3।

প্রতিসম রাশি: একাধিক চলক সংবলিত কোনো বীজগাণিতিক রাশির যেকোনো দুইটি চলক স্থান বিনিময়ে যদি রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে, তবে রাশিটিকে ঐ চলকসমূহের প্রতিসম রাশি বলা হয়।

a+b+c রাশিটি a, b, c চলকের প্রতিসম রাশি। কারণ, a, b, c চলক তিনটির যেকোনো দুইটি স্থান বিনিময়ে রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে। একইভাবে, ab + bc + ca রাশিটি a, b, c চলকের এবং $x^2+ y^2+z^2 + xy + yz + zx$ রাশিটি x, y, z চলকের প্রতিসম রাশি।

তিন চলক সংবলিত কোন রাশিতে প্রথম চলকের স্থানে ২য় চলক, ২য় চলকের স্থানে ৩য় চলক এবং ৩য় চলকের স্থানে ১ম চলক বসালে যদি রাশিটি অপরবর্তিত থাকে তাহলে তাকে চক্রক্রমিক রাশি বলে। যেমন, x³+ y³ + z³- 3xyz রাশিটি চক্রক্রমিক। কারণ এতে x এর স্থানে y, y এর স্থানে z এবং z এর স্থানে x বসালে রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে।

ধরি, একটি প্রতিসম রাশি $=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx$

রাশিটিতে x = y, y = z এবং z-x বসিয়ে পাই,

$y^2+z^2+x^2+yz+zx+xy$ যা অপরিবর্তিত অর্থাৎ রাশিটি চক্রক্রমিক।

আবার ধরি, একটি চক্রক্রমিক রাশি $=x^2(y-z)+y^2(z-x)+z^2(x-y)$

রাশিটিতে x = y ও y = x বসিয়ে পাই

$y^2(x-z)+x^2(z-y)+z^2(y-x)$ যা পূর্বে রাশি থেকে ভিন্ন। অর্থাৎ রাশিটি প্রতিসম নয়।

সুতরাং তিন চলকের প্রত্যেক প্রতিসম রাশি চক্রক্রমিক কিন্তু প্রত্যেক চক্রক্রমিক রাশি প্রতিসম নয়। (দেখানো হলো)

কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদের মাত্রা একই হলে, তাকে সমমাত্রিক বহুপদী বলে।

$x{y}^{2}z+x^{2}y{z}^2+x{y}^2{z}^2-3x^{3}yz$ বহুপদীটির প্রতিটি পদের মাত্রা সমান এবং তা 5 । অতএব, রাশিটি একটি সমমাত্রিক রাশি।

দেওয়া আছে,

$F(a,b,c)=a^{-3}+b^{-3}+c^{-3}{\left(abc\right)}^{-1}$ a এর পরিবর্তে b এবং b এর পরিবর্তে a বসিয়ে পাই,

সুতরাং রাশিটি প্রতিসম রাশি

প্রদত্ত রাশি $=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

ধরি, $f( a,b,c) =\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

এখন, প্রদত্ত রাশিটিতে a এর পরিবর্তে b, b এর পরিবর্তে c ও c এর পরিবর্তে a বসিয়ে পাই,

$f(b, c, a) = \frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}= \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = f(a, b, c)$

অর্থাৎ, f(b, c, a) = f(a, b, c)

এখানে a এর পরিবর্তে b, b এর পরিবর্তে c ও c এর পরিবর্তে a বসালে রাশিটি একই থাকে।

সুতরাং রাশিটি a, b, c চলকের চক্রক্রমিক রাশি। (দেখানো হলো)

প্রদত্ত রাশি $=x^4(y^2-z^2)+y^4(z^2-x^2)+z^4(x^2-y^2)$

রাশিটিতে x এর পরিবর্তে y ,y এর পরিবর্তে z , z এর পরিবর্তে x বসিয়ে পাই $y^4(z^2-x^2)+z^4(x^2-y^2)+x^4(y^2-z^2)$ রাশিটি পূর্বের রাশি থেকে অভিন্ন।

অর্থাৎ চক্রাকারে x এর পরিবর্তে y, y এর পরিবর্তে z এবং z এর পরিবর্তে x বসালে রাশিটি একই থাকে বলে এটি একটি চক্রক্রমিক রাশি। (যাচাই করা হলো)

দেওয়া আছে, $F(l,m,n)={\left(\frac{n-l}{m}\right)}^7+{\left(\frac{l-m}{n}\right)}^7+{\left(\frac{m-n}{l}\right)}^7$

এখানে, l= m, m = n, n = l বসিয়ে পায়,

$F(m,n,I)={\left(\frac{l-m}{n}\right)}^7+{\left(\frac{m-n}{l}\right)}^7+{\left(\frac{n-l}{m}\right)}^7={\left(\frac{n-l}{m}\right)}^7+{\left(\frac{l-m}{n}\right)}^7+{\left(\frac{m-n}{l}\right)}^7=F(l,m,n)$

অর্থাৎ, চলকগুলো স্থান পরিবর্তনের কারণে রাশিটি পরিবর্তিত হয় না। অতএব, F(l, m, n) চক্র-ক্রমিক রাশি। (যাচাই করা হলো)

দেওয়া আছে,

$(x-y{)}^2+(y-z{)}^2=0$

আমরা জানি, কতগুলো বর্গের যোগফল শূন্য হলে তার প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।

অর্থাৎ $(x-y{)}^2=0$

বা, x - y = 0

বা, x = y

আবার,

$(y-z{)}^2=0$

বা, y - z = 0
বা, y = z

x = y = z (দেখানো হলো)

$a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)$

$=a^2(b-c)+b^{2}c-a{b}^2+c^{2}a-b{c}^2$

$$\begin{gathered} =a^2(b-c)+b^{2}c-b{c}^2-a{b}^2+c^{2}a \\ =a^2(b-c)+bc(b-c)-a(b^2-c^2) \\ =a^2(b-c)+bc(b-c)-a(b+c)(b-c) \\ =(b-c) (a^2+bc-ab-ca) \\ =(b-c) \left\{a\right(a-b)-c(a-b\left)\right\} \\ = (b-c)(a-b)(a - c) \\ = - (a-b) (b-c)(c - a) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} bc(b - c) + ca(c - a) + ab(a - b) \\ =bc(b-c)+c^{2}a-c{a}^2+a^{2}b-a{b}^2 \\ =bc(b-c)+a^{2}b-c{a}^2-a{b}^2+c^{2}a \\ =bc(b-c)+a^2 (b-c)-a(b+c)(b-c) \\ =(b-c)\{bc+a^2-a(b+c\left)\right\} \\ =(b-c)\{bc-ab-ac+a^2\} \\ = (b - c)(c - a)(b - a) \\ =-(a-b). (b - c)(c - a) \end{gathered}$$

প্রদত্ত রাশি :

$$\begin{gathered} =a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) \\ =a^3(b-c)+b^{3}c-a{b}^3+a{c}^3-b{c}^3 \\ =a^3(b-c)+bc(b^2-c^2)-a(b^3-c^3) \\ =(b-c)\{a^3+bc(b+c)-a(b^2+bc+c^2\left)\right\} \\ =(b-c)\{a^3+b^{2}c+b{c}^2-a(a-b)-bc(a-b\left)\right\} \\ =(b-c)(a-b)\left\{a\right(a+b)-c^2-bc\} \\ =(b-c)(a-b)\left\{(-b(c-a)-(c^2-a^2)\right\} \\ = (b-c)(a-b)(c-a)(-b-c-a) \\ =-(a-b) (b-c)(c-a)(a+b+c) . \end{gathered}$$

প্রদত্ত রাশি $=a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$

$$\begin{gathered} =a(b^2-c^2)+b{c}^2-a^{2}b+c{a}^2-b^{2}c \\ =a(b+c)(b-c)-a^2(b-c)-bc(b-c) \\ = (b-c) (ab+ca-a^2-bc) \\ =(b-c) \left\{c\right(a-b)-a(a-b\left)\right\} \\ = (b-c) (a-b) (c-a) \\ = (a-b) (b-c) (c-a) \end{gathered}$$

বামপক্ষ= $a³+b³+c³-3abc$

$$\begin{gathered} ={(a+b)}^3-3ab(a+b)+c-3abc \\ =(a+b{)}^3+c^3-3ab(a+b+c) \\ =(a+b+c) \{(a+b{)}^2-(a+b)c+c^2\}-3ab(a+b+c) \\ =(a+b+c) (a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2)-3ab(a+b+c) \\ =(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab) \\ =(a+b+c) (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \end{gathered}$$

= ডানপক্ষ

দেওয়া আছে, (a + b + c)(ab + bc + ca) = abc

ডানপক্ষ=

$$\begin{gathered} a^3+b^3+c^3= (a^3+b^3+c^3-3abc) + 3abc \\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3(a+b+c)(ab+bc+ca) \\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+3ab+3bc+3ca) \\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) \\ =(a+b+c) {(a+b+c)}^2 \\ =(a+b+c{)}^3 \end{gathered}$$

= বামপক্ষ

ধরি, a-b=x, b=c-y এবং c - a = z

x + y + z = a - b + b - c + c - a = 0

x + y + z = 0

আমরা জানি,

x³+ y³+ z³ = 3xyz

বা, (a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³

= 3(a - b)(b - c)(c - a)

নির্ণেয় উৎপাদক: 3(a - b)(b - c)(c - a)

দেওয়া আছে,

$a + b + c = 0$

বা, $a + b =- c$

বা, $(a+b{)}^3=(-c{)}^3$ [ঘন করে]

বা, $a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3$

বা, $a^3+b^3-3abc =- c^3$

$a^3+b^3+c^3= 3abc$ (দেখানো হলো)

একটি বহুপদীকে হর এবং একটি বহুপদীকে লব নিয়ে গঠিত ভগ্নাংশকে মূলদ ভগ্নাংশ বলে।

ধরি, $P\left(x\right)=x^2+x+1$এবং $Q\left(x\right) = (x - a)(x - b)$

$\frac{P \left(x\right)}{Q\left(x\right) }=\frac{x^2+x+1}{\left(x-a\right) \left(x-b\right)}$একটি মূলদ ভগ্নাংশ।

যদি কোনো ভগ্নাংশকে একাধিক ভগ্নাংশের যোগফলরূপে প্রকাশ করা হয়, তবে শেষোক্ত ভগ্নাংশগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত ভগ্নাংশের আংশিক ভগ্নাংশ বলা হয়।

যেমন, একটি ভগ্নাংশ $\frac{3x-8}{x^2-5x+6}$  কে লেখা যায়: 

$\frac{3x-8}{x^2-5x+6}=\frac{2(x-3)+(x-2)}{(x-3)(x-2)}=\frac{2}{(x-2)}+\frac{1}{(x-3)}$

এখানে প্রদত্ত ভগ্নাংশটিকে দুইটি ভগ্নাংশের যোগফলরূপে প্রকাশ করা হয়েছে। অর্থাৎ, ভগ্নাংশটিকে দুইটি আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত করা হয়েছে।

যদি N(x) ও D(x) উভয়ই x চলকের বহুপদী এবং লব N(x) এর মাত্রা হর D(x) এর মাত্রা অপেক্ষা ছোটো হয়, তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। লব N(x) এর মাত্রা হর D(x) এর মাত্রার সমান অথবা বড়ো হলে ভগ্নাংশটিকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, $\frac{x^2+1}{(x+1)(x+2)(x-3)}$ একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ। কিন্তু $\frac{2x^4}{x+1}$ ও $\frac{x^3+3x^2+2}{x+2}$ উভয়ই অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লবকে হর দ্বারা সাধারণ নিয়মে ভাগ করে অথবা লবের পদগুলোকে সুবিধাজনকভাবে পুনর্বিন্যাস করে ভগ্নাংশটিকে একটি বহুপদী এবং একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়।

যেমন, $\frac{x^3+3x^2+2}{x+2}=x^2+x-2+\frac{6}{x+2}$