সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

ধরি, a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে-

(ক) $b^2-4ac>0$ এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

(খ) $b^2-4ac>0$ কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

(গ) $b^2-4ac=0$ হলে সমীকরণটি মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে। এক্ষেত্রে $x=-\frac{b}{2a}$

(ঘ)$b^2-4ac<0$ অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে $a{x}^2+bx+c=0$

সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a = k b = - 11 এবং c = 30

নিশ্চায়ক$=b^2-4ac=(-11{)}^2-4.1. 30=121-120=1$

নির্ণেয় সমীকরণটির নিশ্চায়ক 1.

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে  $a{x}^2+bx+c=0$

সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a = 2 b=7 এবং c = - 1

নিশ্চায়ক$=b^2-4ac=7^2-4. 2.(-1)=49+8=57>0$

কিন্তু পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে $a{x}^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 1, b = - 2, c = - 8

নিশ্চায়ক=

$$\begin{gathered} =b^2-4ac-(-2{)}^2-4. 1.(-8) \\ =4+32 \\ =36 \end{gathered}$$

এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে  $a{x}^2+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a = 1 b = 4 c = 4

সমীকরণ $=b^2-4ac-(4{)}^2-4.1.4=16-16=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।

দেওয়া আছে,

$a{x}^2+bx+c=0$

$a^2{x}^2+abx+ac=0$ [ উভয়পক্ষকে a দ্বারা গুণ করে।]

${\left(ax+\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{b^2}{4}-ac=\frac{b^2-4ac}{4}$

${\left(ax+\frac{b}{2}\right)}^2=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2}$

$ax=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2}$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

নির্ণেয় সমীকরণটির সমাধান $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$9-x^2=0$ সমীকরণটিকে $a{x}^2+bx+c=0$  সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a = - 1 b = 0 c = 9

নিশ্চায়ক  $=b^2-4ac=(0{)}^2-4(-1). 9=36$

নির্ণেয় সমীকরণের নিশ্চায়ক 36

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে $a{x}^2+bx+c=0$ সমীকরণের
সাথে তুলনা করে পাই a = 3 b = 2 c = 5

নিশ্চায়ক  $b^2-4ac={\left(2\right)}^2-4.3.5=16-20=-4<0$ অর্থাৎ ঋণাত্মক।

সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব।

$x^2-8x+16=0$ সমীকরণকে $a{x}^2+bx+c=0$

সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$$\begin{gathered} x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ =\frac{-(-8)\pm \sqrt{{(-8)}^2-4.1.16}}{2.1} \\ =\frac{8}{2} \\ =4 \end{gathered}$$

সমীকরণটির সমাধান x = 4

দেওয়া আছে,  $y^2+4y-3=0$

সমীকরণটিকে আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ, $a{x}^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a =1, b= 4 c=- 3$

$$\begin{gathered} y=\frac{-b\pm \sqrt{b^2}-4ac}{2a} \\ =\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4.1(-3)}}{2.1} \\ =\frac{2(-2\pm \sqrt{7)}}{2} \\ =-2\pm \sqrt{7} \end{gathered}$$

অর্থাৎ $y_1=-2+\sqrt{7}=-2-\sqrt{7}$

প্রদত্ত সমীকরণ  $3-4x-x^2 = 0$

বা,  $-x^2-4x+3=0$

সমীকরণটিকে  $a{x}^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$a =- 1 b =- 4$ এবং $c = 3$

নিশ্চায়ক $= b^2-4ac= (-4{)}^2-4.(-1).3=16+12= 28$

নির্ণেয় সমীকরণটির নিশ্চায়ক 28.

দেওয়া আছে $3x^2-2x+1=0$

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে $a{x}^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই $a = 3, b =- 2$ এবং c = 1

নিশ্চায়ক $=b^2-4ac=(-2{)}^2-4.3.1=4-12=-8$

নির্ণেয় সমীকরণটির নিশ্চায়ক - 8

দেওয়া আছে,

$4-x^2=0$

বা,  $x^2-4=0$ [-1 দ্বারা গুণ করে]

$x^2+0.x-4=0$ সমীকরণটিকে আদর্শ সমীকরণ $a{x}^2+bx+c$

0 এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 1, b = 0 এবং c = - 4

নিশ্চায়ক$=b^2-4ac=0^2-4\left(1\right).(-4)=0-(-16)=16$

নির্ণেয় নিশ্চায়ক: 16.

প্রদত্ত সমীকরণ, $3x^2+5x+2=0$

সমীকরণটিকে $a{x}^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$a = 3 b = 5 c= 2$

নিশ্চায়ক  $=b^2-4ac=5^2-4.3.2$

$= 25-24=1>0$ এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

যেহেতু সমীকরণটি নিশ্চায়ক ধনাত্মক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

দেওয়া আছে

$2x^2+7x+3=0$

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে $a{x}^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই

$a = 2, b = 7, c = 3$

নিশ্চায়ক $b^2-4ac$

$=7^2-4.2.3-49-24=25>0$ এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা

সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান এবং মূলদ।

$7x-1-2x^2-0$

বা, $-2x^2+7x-1=0$

$2x^2-7x+1=0$

সমীকরণটিকে আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ $a{x}^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a -2, b =- 7, c=1$

নিশ্চায়ক $-b^2-4ac=(-7{)}^2-4.2.1=49-8=41$

নির্ণেয় নিশ্চায়ক 41.