$3x^2+2x+5=0$সমীকরণের মূলের ধরণ ও প্রকৃতি নির্ণয় কর।

ধরি, a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে-

(ক) $b^2-4ac>0$ এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

(খ) $b^2-4ac>0$ কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

(গ) $b^2-4ac=0$ হলে সমীকরণটি মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে। এক্ষেত্রে $x=-\frac{b}{2a}$

(ঘ)$b^2-4ac<0$ অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে $a{x}^2+bx+c=0$

সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a = k b = - 11 এবং c = 30

নিশ্চায়ক$=b^2-4ac=(-11{)}^2-4.1. 30=121-120=1$

নির্ণেয় সমীকরণটির নিশ্চায়ক 1.

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে  $a{x}^2+bx+c=0$

সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a = 2 b=7 এবং c = - 1

নিশ্চায়ক$=b^2-4ac=7^2-4. 2.(-1)=49+8=57>0$

কিন্তু পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটিকে $a{x}^2+bx+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 1, b = - 2, c = - 8

নিশ্চায়ক=

$$\begin{gathered} =b^2-4ac-(-2{)}^2-4. 1.(-8) \\ =4+32 \\ =36 \end{gathered}$$

এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণকে  $a{x}^2+bx+c=0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, a = 1 b = 4 c = 4

সমীকরণ $=b^2-4ac-(4{)}^2-4.1.4=16-16=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।

দেওয়া আছে,

$a{x}^2+bx+c=0$

$a^2{x}^2+abx+ac=0$ [ উভয়পক্ষকে a দ্বারা গুণ করে।]

${\left(ax+\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{b^2}{4}-ac=\frac{b^2-4ac}{4}$

${\left(ax+\frac{b}{2}\right)}^2=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2}$

$ax=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2}$

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

নির্ণেয় সমীকরণটির সমাধান $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$