সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

দুইটি পদের সমন্বয়ে গঠিত বীজগাণিতীয় রাশিকে দ্বিপদী রাশি বলা হয়। যেমন: 4x + 3, x-4y, ax + b, px² - qy², 3 + 5x, y-4 ইত্যাদি দ্বিপদী রাশি।

(1 + y)ⁿ এর বিস্তৃতির দুইটি বৈশিষ্ট্য হলো:

i. (1 + y)ⁿ এর বিস্তৃতিতে (n + 1) সংখ্যক পদ আছে। অর্থাৎ, ঘাত বা শক্তির চেয়ে পদসংখ্যা একটি বেশি।

ii. y এর ঘাত শূন্য থেকে শুরু হয়ে 1, 2, 3, ....... n পর্যন্ত বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ y এর ঘাত ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধি পেয়ে পর্যন্ত পৌছাবে।

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

$(1+3x{)}^5=1{+}^5{C}_1(3x{)}^1{+}^5{C}_2\left(3x{)}^2{+}^5{C}_3\right(3x{)}^3{+}^5{C}_4\left(3x{)}^4{+}^5{C}_5\right(3x{)}^5$

$=1+\frac{5}{1}3x+\frac{5.4}{1.2}.3^2{x}^2+\frac{5.4.3.2}{1.2.3.}.3^3.x^3+\frac{5.4.3.2.1}{1.2.3.4}{3}^4.x^4+\frac{5.4.3.2.1}{1.2.3.4.5}{3}^5.x^5$$=1+5\times 3x+10\times 9x^2+10\times 27x^3+5\times 81x^4+1\times 243x^5$

$=1+15x+90x^2+270x^3+405x^4+243x^5$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $1+15x+90x^2+270x^3+405x^4+243x^5$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

${\left(1-\frac{x}{2}\right)}^4=1{+}^4{C}_1{\left(-\frac{x}{2}\right)}^1{+}^4{C}_2{\left(-\frac{x}{2}\right)}^2{+}^4{C}_3{\left(-\frac{x}{2}\right)}^3{+}^4{C}_4{\left(-\frac{x}{2}\right)}^4$$=1+4\times \frac{-x}{2}+6\times \frac{x^2}{4}+4\times \frac{-x^3}{8}+1\times \frac{x^4}{16}$

$=1-2x+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{16}{x}^4$

ধুবক পদ = 1.

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

${\left(1-\frac{x}{3}\right)}^4=1{+}^4{C}_1{\left(-\frac{x}{3}\right)}^1{+}^4{C}_2{\left(-\frac{x}{3}\right)}^2{+}^4{C}_3{\left(-\frac{x}{3}\right)}^3{+}^4{C}_4{\left(-\frac{x}{3}\right)}^4$

$=1+\frac{4}{1}.\left(-1\right).\frac{x}{3}+\frac{4.3}{1.2} {\left(-1\right)}^2.\frac{x^2}{3^2}+\frac{4.3.2}{1.2.3}{\left(-1\right)}^3.\frac{x^3}{3^3}+{\frac{4.3.2.1}{1.2.3.4}}^4{\left(-1\right)}^4.\frac{x^4}{3^4}$

$=1+4\times \frac{-x}{3}+6\times \frac{x^2}{9}+4\times \frac{-x^3}{27}+1\times \frac{x^4}{81}$

$=1-\frac{4}{3} x+\frac{2}{3} x^2-\frac{4}{27}{x}^3+\frac{1}{81}{x}^4$

এখানে পদসংখ্যা $= (4+1)$টি $=5$টি

মধ্যপদ $=\frac{5+1}{2}$তম পদ $=\frac{6}{2}$তম পদ $=3$ তম পদ $=\frac{2}{3} x^2$

নির্ণেয় মধ্যপদ $\frac{2}{3} x^2$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে

$(1+y{)}^6=1{+}^6{C}_1{y}^1{+}^6{C}_{2 }{y}^2{+}^6{C}_3 y^3{+}^6{C}_{4 }{y}^4{+}^6{C}_{5 }{y}^5{+}^6{C}_6 y^6$

$=1+\frac{6}{1}y+\frac{6.5}{1.2} y^2+\frac{6.5.4}{1.2.3} y^3+\frac{6.5.4.3}{1.2.3.4} y^4+\frac{6.5.4.3.2}{1.2.3.4.5} y^5+\frac{6.5.4.3.2.1}{1.2.3.4.5.6} y^6$$=1+6y+15y^2+20y^3+15y^4+6y^5+y^6$

নির্ণেয় বিস্তৃতি : $1+6y+15y^2+20y^3+15y^4+6y^5+y^6$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে

${(1-5x)}^5=1{+}^5{C}_1 {(-5x)}^1{+}^5{C}_2 {(-5x)}^2{+}^5{C}_3 {(-5x)}^3{+}^5{C}_4 {(-5x)}^4{+}^5{C}_5 {(-5x)}^5$$=1+5 (-5x)+10\times 25x^2+10\times (-125x^3)+5\times 625x^4+1\times (-3125x^5)$

$=1-25x+250x^2-1250x^3+3125x^4-3125x^5$

নির্ণেয় বিস্তৃতি:  $1-25x+250x^2-1250x^3+3125x^4-3125x^5$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে

${(1-5x)}^5=1 {+}^5{C}_1{(-5x)}^1{+}^5{C}_2{(-5x)}^2+{ }^5{C}_3{(-5x)}^3{+}^5{C}_4{(-5x)}^4{+}^5{C}_5{(-5x)}^5$$=1+5(-5x)+10\times 25x^2+10\times (-125x^3)+5\times 625x^4+1\times (-3125x^5)$

$=1-25x+250x^2-1250x^3+3125x^4-3125x^5$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $1-25x+250x^2-1250x^3+3125x^4-3125x^5$

এখানে, (1-x)⁸= 1 - 8x + 28x² - 56x³ + 70x⁴ -.......

এখন, (1 - x)⁸ = (0.9)⁸

বা, 1 - x = 0.9

বা, x = 1 - 0.9

x = 0.1

(1-0.1)⁸ = 1 - 8(0.1) + 28 (0.1)² - 56(0.1)³ + 70(0.1)⁴ +………..

বা, (0.9)⁸ = 1 - 0.8 + 0.28 - 0.056 + 0.007 +.......

= 0.431 (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)

নির্ণেয় মান 0.431.

প্রদত্ত রাশি = (1 + 2y)⁴

(1 + 2y)⁴ =1+ ⁴C₁ (2y)¹ + ⁴C₂ .(2y)² +………

$=1+\frac{4}{1}.2y+\frac{4.3}{1.2}.2^2{y}^2+........$

$=1+4\times 2y+6\times 4y^2+.........$

$=1+8y+24y^2+.........$

নির্ণেয় বিস্তৃতি $(1+2y{)}^4=1+8y+24y^2+..........$

প্রদত্ত রাশি = (1 + 3y)²

= 1 + 8$\times$3y + 28 $\times$9y² + 56$\times$27y³ +……….

$=1+24y+252y^2+1512y^3+.........$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: 1 + 24y + 252y² + 1512y³ +……….

প্রদত্ত রাশি $={(1 - 3x)}^5$

$\therefore$ ${(1-3x)}^5= 1 {+}^5{C}_1 {(-3x)}^1{+}^5{C}_2 {(-3x)}^2+{ }^5{C}_3 {(-3x)}^3 + .....$

$= 1+5 (-3x) + 10\times 9x^2+10\times (-27x^3)+ .....$

$= 1-15x+90x^2- 270x^3+ .....$

রাশিটির বিস্তৃতিতে $x^3$ এর সহগ =  $- 270$

প্রদত্ত রাশি = ${(1-2x)}^4$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই, ${(1-2x)}^4$

$=1+\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right).\left(-2x\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right).{\left(-2x\right)}^2+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right).{\left(-2x\right)}^3+\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right).{\left(-2x\right)}^4$

$=1+4\times (-2x)+6\times \left(4x^2\right)+4\times (-8x^3)+1\times \left(16x^4\right)$

$=1-8x+24x^2-32x^3+16x^4$

$\therefore$ সহগগুলোর সমষ্টি $= 1+(-8)+24+(-32)+16$

$= 1-8-24-32+16$

$=41-40$

$=1$

নির্ণেয় সমষ্টি $=1$

প্রদত্ত রাশি $={\left(1+2x\right)}^4$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

${\left(1+2x\right)}^4=1+\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right). 2x+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right).{\left(2x\right)}^2+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right).{\left(2x\right)}^3+\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right).{\left(2x\right)}^4$

$=1+8x+24x^2+32x^3+16x^4$

${\left(1+2x\right)}^4$ এর বিস্তৃতিতে $x^3$ এর সহগ $32$

প্রদত্ত রাশি$={\left(1-\frac{z^2}{4}\right)}^8$

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে,

${\left(1-\frac{z^2}{4}\right)}^8=1+\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right).\left(\frac{-z^2}{4}\right)+\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right).{\left(\frac{-z^2}{4}\right)}^2+........$

$=1-8\times \frac{z^2}{4}+28\times \frac{z^4}{16}+.....$

$=1-2z^2+\frac{7}{4}{z}^4+.....$

প্রদত্ত রাশির বিস্তৃতিতে $z^3$ যুক্ত কোনো পদ নেই  $z^3$ এর সহগ = 0

নির্ণেয় সহগ 0

$(1+5y{)}^5$ এর বিস্তৃতিতে

চতুর্থ পদ বা $T_{3+1}$ তম পদ ${=}^5{C}_3.{\left(5y\right)}^3=\frac{5.4.3}{1.2.3}.1^2.5^3.y^3$

$=10\times 5^3\times y^3$

$=10\times 125\times y^3$

$=1250 y^3$

$\therefore$ ধারাটির চতুর্থ পদ $1250 y^3$

${\left(1-\frac{x}{2}\right)}^4$এর ঘাত $n=4$ যা জোড় সংখ্যা।

সুতরাং মধ্যপদ 1 টি।

$\therefore$ মধ্যপদ $=\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ $=\left(\frac{4}{2}+1\right)$ তম পদ $=3$ তম পদ

$\therefore$3 তম বা (2+1) তম পদ $=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) {\left(1\right)}^{4-2} {\left(-\frac{x}{2}\right)}^2$

                                            $=\frac{4.3}{1.2}.1.\frac{x^2}{4}=\frac{3x^2}{2}$

${\left(1-\frac{x^2}{4}\right)}^n$এর বিস্তৃতিতে তৃতীয় পদ ${=}^n{C}_2. {\left(-\frac{x^2}{4}\right)}^2$

                                                                 ${=}^n{C}_2. \left(\frac{1}{16}\right). x^4$

$\therefore$ ${}^n{C}_2. \left(\frac{1}{16}\right)=\frac{7}{4}$

বা, $\frac{n\left(n-1\right)}{2}.\left(\frac{1}{16}\right)=\frac{7}{4}$

বা, $n^2-n=56$

বা, $n^2-n-56=0$

বা, $n^2-8n+7n-56=0$

বা, $n(n - 8) + 7(n - 8) = 0$

বা, $(n + 7)(n - 8) = 0$

$n=- 7, 8;$ কিন্তু n এর মান -7 গ্রহণযোগ্য নয়।

নির্ণেয় মান: $n=8$ .

প্রদত্ত রাশি $={\left(1-\frac{x^2}{4}\right)}^8$

রাশিটিকে বিস্তৃতি করে পাই,

${\left(1-\frac{x^2}{4}\right)}^8=1+\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right) \left(-\frac{x^2}{4}\right) +\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right) {\left(-\frac{x^2}{4}\right)}^2+.......$

$=1-\frac{8}{1}.\frac{x^2}{4}+\frac{8.7}{1.2} .\frac{x^4}{16}+.......$

$=1-2x^2+\frac{7}{4}{x}^4+.......$

বিস্তৃতির  $x^3$ এর সহগ = 0.

${\left(1+\frac{x}{4}\right)}^4=1+\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right) {\left(\frac{x}{4}\right)}^1+\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right) {\left(\frac{x}{4}\right)}^2+......$

$=1+7. \frac{x}{4}+\frac{7.6}{1.2} \frac{x^2}{16}+......$

$=1+\frac{7}{4}x+\frac{21}{16} x^2+......$

বিস্তৃতিতে $x^2$ এর সহগ $\frac{21}{16}$

$(1-3y{)}^5=1+\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)(-3y)+\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right) (-3y{)}^2+\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right) (-3y{)}^3+......$

$=1+5.(-3y)+\frac{5.4}{1.2} (9y{)}^2+\frac{5.4.3}{1.2.3} (-27y{)}^3+......$

$=1-15y+90y^2-270y^3+.......$

রাশিটির বিস্তৃতিতে $y^3$ এর সহগ $=-270$

${\left(1+\frac{a}{x}\right)}^7=\left(\begin{array}{c}7\\ 0\end{array}\right).{\left(\begin{array}{c}a\\ x\end{array}\right)}^0+\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right) {\left(\frac{a}{x}\right)}^1+\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right) {\left(\frac{a}{x}\right)}^2+......$

$=1+\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right) {\left(\frac{a}{x}\right)}^1+\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right) a^2{x}^{-2}+......$

$x^{-2}$ এর সহগ $\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right) a^2$

প্রদত্ত রাশি$=(3+x) (1-x{)}^8$

$=(3+x) (1-8x+\frac{8.7}{1.2}{x}^2-..........)$

$=(3+x)(1-8x+28x^2-......)$

$=(3-24x+84x^2-........) +(x-8x^2+28x^3 .........)$

$=(3-23x+76x^2- .........)$

$\therefore$ x এর সহগ $-23$

প্রদত্ত রাশি $=(2+x) (1-x{)}^7$

$=(2+x) \left\{1+\left(\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right) \left(-x\right)+\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right){\left(-x\right)}^2+........\right\}$

$=(2+x) (1-7x+21x^2-.......)$

$=(2-14x+42x^2-....)+(x-7x^2+....)=2-13x+......$

$\therefore$ বিস্তৃতিটিতে x এর সহগ $=-13$

নির্ণেয় সহগ $-13$

প্রদত্ত রাশি $=(1-2x+x^2{)}^4=\{(1-x{)}^2{\}}^4$

$=(1-x{)}^8=1+\left(\frac{8}{1}\right)(-x)+(\frac{8}{2}\left)\right(-x{)}^2+......$

$$\begin{gathered} =1-8x+\frac{8.7}{1.2}{x}^2+...... \\ =1-8x+28x^2+....... \end{gathered}$$

x² এর সহগ = 28.

$(1-2y{)}^4=1+\left(\frac{4}{1}\right)\left(-2y\right)+\left(\frac{4}{2}\right){\left(-2y\right)}^2+\left(\frac{4}{3}\right){\left(-2y\right)}^3+....$

$=1-8y+24y^2-32y^3+......$

y³ এর সহগ = -32

নির্ণেয় y³ এর সহগ – 32.

প্রদত্ত রাশি = (1 - 4x² + 4x⁴)³

$={\left\{\left(1\right)-2x^2+(2x^2{)}^2 \right\}}^3$

$$\begin{gathered} =\left\{\right(1-2x^2{)}^2{\}}^3 \\ =(1-2x^2{)}^6 \end{gathered}$$

এখানে, n = 6

রাশিটির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা = n + 1 = 6 + 1 = 7

নির্ণেয় পদসংখ্যা 7.

প্রদত্ত রাশি = (1 - 3x + 3x² - x³)⁴

^{$= \left\{(1{)}^3-3.1^2.x+3.1.(x{)}^2-(x{)}^3\right\}{ }^4$}

$$\begin{gathered} =\left\{\right(1-x{)}^3{\}}^4 \\ ={(1-x)}^{12} \end{gathered}$$

এখানে, x = 12

রাশিটি বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা = n + 1 = 12 + 1 = 13

নির্ণেয় পদসংখ্যা 13.

প্রদত্ত রাশি = (6x² + 8 - x³ - 12x)⁴

$=(-x^3+6x^2-12x+8{)}^4$

$=\left\{(-x{)}^3+3.(-x{)}^2.2+3.(-x).2^2+(2{)}^3\right\}{ }^4$

$=\left\{\right(-x+2{)}^3{\}}^4$

$$\begin{gathered} ={(-x+2)}^{12} \\ ={(2-x)}^{12} \end{gathered}$$

এখানে, n = 12

রাশিটির পদসংখ্যা = n + 1 = 12 + 1 = 13

নির্ণেয় পদসংখ্যা 13.

প্রদত্ত রাশি=

$$\begin{gathered} ={\left(x^2+2x+1\right)}^n \\ ={\left\{{\left(x\right)}^2+2.x.1+{\left(1\right)}^2\right\}}^n \\ ={\left\{{\left(x+1\right)}^2\right\}}^n \\ ={\left(x+1\right)}^{2n} \\ ={\left(1+x\right)}^{2n} \end{gathered}$$

রাশিটির পদসংখ্যা = 2n + 1

নির্ণেয় পদসংখ্যা 2n + 1

প্রদত্ত রাশি$={\left(x^2+2x+1\right)}^n$

$={\left\{{\left(x\right)}^2 +2. x.1 + {\left(1\right)}^2\right\}}^n$

$={\left\{{\left(x+1\right)}^2\right\}}^n$

$={\left(1+x\right)}^{2n}$

রাশিটির পদসংখ্যা = 2n + 1

নির্ণেয় পদসংখ্যা 2n + 1

ধরি, ${\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}^6$এর বিস্তৃতিতে (r + 1) তম পদটি x বর্জিত।

(r + 1)-তম পদ$=C_r{\left(1\right)}^{6-r}{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^r=C_r{x}^{-2r}$

পদটি x বর্জিত বলে, - 2r = 0

r = 0

x বর্জিত পদ =${}^6{C}_o{x}^{-2.0} = C_o=1$

প্রদত্ত রাশি = (1 + 2x)⁴

$(1+2x{)}^4=1{+}^4{C}_1(2x\left){+}^4{C}_2\right(2x{)}^2+......$

প্রশ্নমতে, $C_2(2x{)}^2=192$

বা, $\frac{4.3}{1.2}.4x^2=192$

$24x^2=192$

$x^2=8$

$x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$x=2\sqrt{2}$

নির্ণেয় x এর মান $2\sqrt{2}$

(1 + 3x)⁴

^{$=1{+}^4{C}_1.3x{+}^4{C}_2.(3x{)}^2{+}^4{C}_3.(3x{)}^3+(3x{)}^4$}

$=1+4.3x+6.9x^2+4.27x^3+81x^4$

^{$=1+12x+54x^2+108x^3+81x^4$}

চতুর্থ পদ 108x³

প্রদত্ত রাশি= $(1-x){\left(1+\frac{x}{2}\right)}^8$

$=(1-x)(1-x) \left\{1+C_1{\left(\frac{x}{2}\right)}^1+......\right\}$

$=(1-x)\left(1+8.\frac{x}{2}+....\right)$

$=(1+3x-4x^2...........)$

নির্ণেয় দ্বিতীয় পদ 3x

প্রদত্ত রাশি = (1 - 2x²)⁸

${(1-2x^2)}^8 = 1 {+}^8{C}_1{(-2x^2)}^1{+}^8{C}_2{(-2x2)}^2{+}^8{C}_3{(-2x^2)}^3{+}^8{C}_4{(-2x^2)}^4+....$$=1+8\times (-2x^2)+28\times 4x^4 +56 \times (-8x^6) + 70\times \left(16x^8\right) +.......$$=1-16x^2+112x^2-448x^6 + 1120x^8 - ...$

নির্ণেয় পঞ্চম পদ = $1120x^8$²)2+8C3(-2x2)3+8C4(-2x2)4+....

প্রদত্ত রাশি - (2 + x) (1 + x)³

$=(2+x)\left(1+8x+\frac{8.7}{1.2}{x}^2+......\right)$

$=(2+x)(1+8x+28x^2+..........)$

$=2+16x+56x^2+x+8x^2+........$

$=2+17x+64x^2+........$

দ্বিতীয় পদ = 17x

প্রদত্ত রাশি= ${\left(1+\frac{x^2}{4}\right)}^6$

$$\begin{gathered} {\left(1+\frac{x^2}{4}\right)}^6=1{+}^6{C}_1\frac{x^2}{4}{+}^6{C}_2{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^{{}^2}{+}^6{C}_3{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^3{+}^6{C}_4{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^4{+}^6{C}_5{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^5 \\ {+}^6{C}_6{\left(\frac{x^2}{4}\right)}^6 \end{gathered}$$$=1+\frac{3}{2}{x}^2+\frac{15}{16}{x}^4+\frac{15}{16}{x}^6+\frac{15}{256}{x}^8+\frac{3}{512}{x}^{10}+\frac{1}{4096}{x}^{12}$

Ans: $\frac{1}{4096}{x}^{12}$

প্রদত্ত রাশি=${\left(1-\frac{x^2}{4}\right)}^8$

${\left(1-\frac{x^2}{4}\right)}^8=1+{ }^8{C}_1{\left(-\frac{x^2}{4}\right)}^1{+}^8{C}_2{\left(-\frac{x^2}{4}\right)}^1{+}^8{C}_3{\left(-\frac{x^2}{4}\right)}^3+.......$$=1+ 8\times \frac{-x^2}{4}+28\times \frac{x^4}{16}+56\times \frac{-x^6}{64}+.......$

$=1+ -2x^2+\frac{7}{4}{x}^4-\frac{7}{8}-x^6+.......$

নির্ণেয় তৃতীয় পদ $\frac{7}{4}{x}^4$

দ্বিপদী বিস্তৃতির জন্য দ্বিপদী সহগগুলোকে ত্রিভুজাকারে প্রকাশ করা হয়। দ্বিপদী সহগুলোর এই ত্রিভুজাকার সজ্জাকে প্যাসকেলের ত্রিভুজ বলে। দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগ নির্ণয়ের কৌশল Blaise pascal সর্বপ্রথম ব্যবহার করেন।

এখানে, $\left(\frac{n}{0}\right)=1, \left(\frac{n}{1}\right)=\frac{n}{1}=n$

এবং $\left(\frac{n}{r}\right)=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)........(n-r+1)}{1\times 2\times 3\times 4\times ...........\times r}$

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে,

নির্ণেয় বিস্তৃতি:  1 - 4b + 6b² - 4b³ + b⁴

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে-

$\therefore$ $(1-2x)=1+4(-2x)+6{(-2x)}^2+4{(-2x)}^3+ 1\times {(-2x)}^4$

$=1-8x+24x^2-32x^3+ 16x^4$ যা নির্ণেয় বিস্তৃতি।

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে

নির্ণেয় বিস্তৃতি: 1+4y+6y² + 4y²+ y²

প্রদত্ত রাশি - (1 + mx)⁶

m=-3 হলে রাশিটি - {1 + (- 3)x} ⁶ - (1 - 3x)⁶

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে-

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে,

প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্র

প্রদত্ত রাশি (3-y)⁵

প্যাসকেলের ত্রিভুজ হতে পাই,

প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে (3-y)⁵ কে বিস্তৃত করে পাই

$$\begin{gathered} 1\times 35 + 5 \times 34 x (-y) + 10 \times 33 x (-y){2 }^{} \\ + 10 \times 32 x (-y)\text{'} +5\times 3x(-y)+1x (-y) \\ -243-405y + 270y2 - 90y^2 + 15y - y \end{gathered}$$

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে পাই,

$(1+x^2{)}^x=\left(\begin{array}{c}8\\ 0\end{array}\right) (x^2{)}^0+\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right) (x^2{)}^1+\left(\begin{array}{c}8\\ 2\end{array}\right) (x^2{)}^2+\left(\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right) (x^2{)}^3+.......$

$=1+\frac{8}{1}\left(x^2\right)+\frac{8.7}{1.2} (x^2{)}^2+\frac{8.7.6}{1.2.3}(x^2{)}^3+........$

$=1+8x^2+28x^4+56x^6+.......$

এখন উক্ত বিস্তৃতিতে $x = 0.1$বসিয়ে পাই,

$[1+(0.1{)}^2{]}^{ 8}=1+8 (0.1{)}^2+28 (0.1{)}^4+56 (0.1{)}^6+.....$

বা, $(1+0.01{)}^8=1+8\times (0.01)+28\times (0.0001)+56\times (0.00001)+...$

বা, $(1.01{)}^8=1+0.08+0.0028+0.0000056+......$

                     $= 1.0829$  (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)

$\therefore$ ${(0.01)}^8= 1.0829.$