দুইটি পদের সমন্বয়ে গঠিত বীজগাণিতীয় রাশিকে দ্বিপদী রাশি বলা হয়। যেমন: 4x + 3, x-4y, ax + b, px² - qy², 3 + 5x, y-4 ইত্যাদি দ্বিপদী রাশি।

(1 + y)ⁿ এর বিস্তৃতির দুইটি বৈশিষ্ট্য হলো:

i. (1 + y)ⁿ এর বিস্তৃতিতে (n + 1) সংখ্যক পদ আছে। অর্থাৎ, ঘাত বা শক্তির চেয়ে পদসংখ্যা একটি বেশি।

ii. y এর ঘাত শূন্য থেকে শুরু হয়ে 1, 2, 3, ....... n পর্যন্ত বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ y এর ঘাত ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধি পেয়ে পর্যন্ত পৌছাবে।

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

$(1+3x{)}^5=1{+}^5{C}_1(3x{)}^1{+}^5{C}_2\left(3x{)}^2{+}^5{C}_3\right(3x{)}^3{+}^5{C}_4\left(3x{)}^4{+}^5{C}_5\right(3x{)}^5$

$=1+\frac{5}{1}3x+\frac{5.4}{1.2}.3^2{x}^2+\frac{5.4.3.2}{1.2.3.}.3^3.x^3+\frac{5.4.3.2.1}{1.2.3.4}{3}^4.x^4+\frac{5.4.3.2.1}{1.2.3.4.5}{3}^5.x^5$$=1+5\times 3x+10\times 9x^2+10\times 27x^3+5\times 81x^4+1\times 243x^5$

$=1+15x+90x^2+270x^3+405x^4+243x^5$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $1+15x+90x^2+270x^3+405x^4+243x^5$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

${\left(1-\frac{x}{2}\right)}^4=1{+}^4{C}_1{\left(-\frac{x}{2}\right)}^1{+}^4{C}_2{\left(-\frac{x}{2}\right)}^2{+}^4{C}_3{\left(-\frac{x}{2}\right)}^3{+}^4{C}_4{\left(-\frac{x}{2}\right)}^4$$=1+4\times \frac{-x}{2}+6\times \frac{x^2}{4}+4\times \frac{-x^3}{8}+1\times \frac{x^4}{16}$

$=1-2x+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{16}{x}^4$

ধুবক পদ = 1.

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে-

${\left(1-\frac{x}{3}\right)}^4=1{+}^4{C}_1{\left(-\frac{x}{3}\right)}^1{+}^4{C}_2{\left(-\frac{x}{3}\right)}^2{+}^4{C}_3{\left(-\frac{x}{3}\right)}^3{+}^4{C}_4{\left(-\frac{x}{3}\right)}^4$

$=1+\frac{4}{1}.\left(-1\right).\frac{x}{3}+\frac{4.3}{1.2} {\left(-1\right)}^2.\frac{x^2}{3^2}+\frac{4.3.2}{1.2.3}{\left(-1\right)}^3.\frac{x^3}{3^3}+{\frac{4.3.2.1}{1.2.3.4}}^4{\left(-1\right)}^4.\frac{x^4}{3^4}$

$=1+4\times \frac{-x}{3}+6\times \frac{x^2}{9}+4\times \frac{-x^3}{27}+1\times \frac{x^4}{81}$

$=1-\frac{4}{3} x+\frac{2}{3} x^2-\frac{4}{27}{x}^3+\frac{1}{81}{x}^4$

এখানে পদসংখ্যা $= (4+1)$টি $=5$টি

মধ্যপদ $=\frac{5+1}{2}$তম পদ $=\frac{6}{2}$তম পদ $=3$ তম পদ $=\frac{2}{3} x^2$

নির্ণেয় মধ্যপদ $\frac{2}{3} x^2$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে

$(1+y{)}^6=1{+}^6{C}_1{y}^1{+}^6{C}_{2 }{y}^2{+}^6{C}_3 y^3{+}^6{C}_{4 }{y}^4{+}^6{C}_{5 }{y}^5{+}^6{C}_6 y^6$

$=1+\frac{6}{1}y+\frac{6.5}{1.2} y^2+\frac{6.5.4}{1.2.3} y^3+\frac{6.5.4.3}{1.2.3.4} y^4+\frac{6.5.4.3.2}{1.2.3.4.5} y^5+\frac{6.5.4.3.2.1}{1.2.3.4.5.6} y^6$$=1+6y+15y^2+20y^3+15y^4+6y^5+y^6$

নির্ণেয় বিস্তৃতি : $1+6y+15y^2+20y^3+15y^4+6y^5+y^6$