সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে।

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত APB ও AQB দুইটি চাপ।

বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির ছোট অংশকে বৃত্তটির উপচাপ বলা হয়।

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB চাপ হচ্ছে উপচাপ।

বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির বড় অংশকে বৃত্তটির অধিচাপ বলা হয়।

চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AQB চাপ হচ্ছে অধিচাপ।

একটি কোণ কোনো বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত বা ছিন্ন করে বলা হয় যদি-

১. চাপটির প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু কোণটির বাহুতে অবস্থিত হয়

২. কোণটির প্রত্যেক বাহুতে চাপটির অন্তত একটি প্রান্তবিন্দু অবস্থিত হয় এবং

৩. চাপটির অন্তঃস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু কোণটির অভ্যন্তরে থাকে।

চিত্রে প্রদর্শিত ∠AOB কোণটি O কেন্দ্রিক বৃত্তে APB চাপ খণ্ডিত করে।

বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে। চিত্রে A ও B দুইটি বিন্দুর মাঝে বৃত্তের অংশগুলো লক্ষ করলে দেখা যায় দুইটি অংশের একটি ছোট, অন্যটি তুলনামূলকভাবে বড়। ছোট অংশটিকে উপচাপ এবং বড়টিকে অধিচাপ বলে।

এখানে, বৃত্তচাপ CDE < বৃত্তচাপ CBD. অর্থাৎ CDE চাপটি CBD চাপের চেয়ে ছোট। সুতরাং, CDE হলো উপচাপ।

বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ বলা হয়। চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ। প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে। এই চাপ উপচাপ, অর্ধবৃত্ত অথবা অধিচাপ হতে পারে।

একটি বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে, কোণটি সেই চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং খন্ডিত চাপের অনুবন্ধী চাপে অন্তর্লিখিত বলা হয়।

চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণটি APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং ACB চাপে অন্তর্লিখিত।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB = এক সমকোণ।

অঙ্কন: AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।

প্রমাণ: ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ ∠ACB = $\frac{1}{2}$(কেন্দ্রস্থ সরলকোণ ∠AOB)

[বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।]

কিন্তু সরলকোণ ∠AOB = দুই সমকোণ।

$\therefore$$\angle ACB=\frac{1}{2}$

$\therefore$$\angle ACB=$এক সমকোণ। (প্রমাণিত)

আমরা জানি, অর্ধবৃত্তের সমান চাপ বৃত্তের পরিধিতে এক সমকোণ বা, 90° কোণ উৎপন্ন করে।

$\therefore$ অর্ধবৃত্তের সমান চাপ দ্বারা পরিধিতে উৎপন্ন কোণের $\frac{1}{5}$অংশ=$\frac{90°}{5}=18°$

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস CD ও ABC একটি উপচাপ। ABC উপচাপে অন্তর্লিখিত $\angle$ABC. B, D যোগ করি।

বৃত্তের ব্যাস CD এর উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ $\angle$DBC = 90°

[অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ]

এখন, $\angle$ABC = $\angle$ABD + $\angle$DBC

$\angle$ABC $>$ $\angle$DBC [$\angle$DBC, $\angle$ABC এর অংশ]

বা, $\angle$ABC$>$90°

অর্থাৎ, $\angle$ABC একটি স্থূলকোণ।

ত্রিভুজটি বৃত্তস্থ এবং BC ব্যাস হলে $\angle$BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ অর্থাৎ সমকোণ হবে।

ধরি, ক্ষুদ্রতর কোণটির মান । তাহলে অপর সূক্ষ্মকোণ 4x

শর্তমতে,

x + 4x + 90°= 180°

বা, 5x = 90°

$\therefore$x = 18°

নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম কোণের মান 18°

ABC সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষগুলো বৃত্তস্থ হলে BC অতিভুজ হবে ঐ বৃত্তের ব্যাস। কারণ, $\angle$BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।

$\therefore$বৃত্তের ব্যাসার্ধ $=\frac{32}{2}=16$ সে.মি

নির্ণেয় ব্যাসার্ধ 16 সে.মি.।

দেওয়া আছে, $\angle$AOB = 60°

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle$AOB এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle$ACB

$\therefore$$\angle$ACB $=\frac{1}{2}$$\angle AOB$

[বৃত্তের একই চাপ AB এর উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]

$=\frac{1}{2}\times 60°=30°$

$\therefore$$\angle ACB=30°$

এখানে, ABC বৃত্তে, বৃত্তস্থ $\angle BAC = x$ এবং কেন্দ্রস্থ $\angle BOC x + 20°$

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের দ্বিগুণ।

$\therefore$ $\angle BOC=2\angle BAC$

বা $x + 20°= 2x$

বা  $2x - x = 20°$

বা  $x = 20°$

$\therefore$ $\angle BAC= 20°$

এখানে, কেন্দ্রস্থ $\angle$MON = 60°

$\therefore$$\angle MPN=\frac{1}{2}\angle MON$ [বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্ব কোণের অর্ধেক।]

$=\frac{1}{2}\times 60°=30°$

সুতরাং $\angle PMO = \angle MPO=\frac{1}{2}\angle MPN =\frac{1}{2}\times 30° =15°$

$$\begin{gathered} \angle PMO =180°-(\angle PMO+\angle MPO) \\ =180°-(15° +15°) \\ = 150° \end{gathered}$$

$\therefore$$\angle PMO =150°$

এখানে, $\angle$ABC হচ্ছে অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।

সুতরাং, $\angle$ABC = 90$°$

এখন, ABC ত্রিভুজে, $\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB = 180°$

[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ বা 180°]

বা, $x+ 90°+ 2x= 180°$

বা, $3x= 180°- 90°$

বা, $x=\frac{90°}{3}$

$\therefore$$\angle ACB = 2x = 2 \times 30° = 60°$

$\therefore$$\angle ACB$ এর সম্পূরক কোণ = 180°-60° = 120°

একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হলে, কোণটিকে ঐ বৃত্তের একটি কেন্দ্রস্থ কোণ বলা হয়। কোণটি বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে সেই চাপের ওপর তা দণ্ডায়মান বলা হয়।

পাশের চিত্রের ∠AOB কোণটি একটি কেন্দ্রস্থ কোণ এবং তা APB চাপের ওপর দন্ডায়মান।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ABC সমবাহু ত্রিভুজে, $\angle$ACB = 60°

[সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ 60°]

বৃত্তস্থ $\angle$ACB = 60°

কেন্দ্রস্থ $\angle$AOB = 2$\angle$ ACB

[কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

$= 2 \times 60° = 120°$

এখানে, বৃত্তের একই চাপ NP এর ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ $\angle$PMN ও কেন্দ্রস্থ $\angle$PON.

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

$\therefore$কেন্দ্রস্থ $\angle PON = 2 \times$বৃত্তস্থ $\angle PMN = 2\times 40° = 80°$

$\therefore$$\angle PMN =80°$

যেহেতু △ ABC এ AB = AC, সেহেতু $\angle ABC=\angle ACB = 55°$

Δ ABC-এ,

$\angle ABC+ \angle ACB+ \angle BAC = 180°$

$55°+55°+\angle BAC = 180°$

$\angle BAC = 180°- 110°$

$\therefore$ $\angle BAC =70°$

$\therefore$$\angle BOC=2\angle BAC$

[বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ ]

$= 2 \times 70° = 140°$

$\therefore$$\angle BOC= 140°$

$∆ PQR$  সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র C এবং এর প্রত্যেকটি কোণ 60°।

$\angle QPR = 60°$

QR চাপের উপর কেন্দ্রস্থ,

$\angle QCR =2\angle QPR$

[ বৃত্তের একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

$=2\times 60° =120°$

$\therefore$ $\angle QCR =120°$

QR চাপের উপর দন্ডায়মান, কেন্দ্রস্থ ∠QOR এবং বৃত্তস্থ

$\angle$QPR= $\angle$ QPO = 55$°$

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

সুতরাং $\angle QOR = 2\angle QPO$

$= 2 \times 55°= 110°$

$\therefore$ $\angle QOR= 110°$

দেওয়া আছে, বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ

কোণ = (x + 45)$°$ এবং বৃত্তস্থ কোণ = (x + 7)$°$

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

$(x + 45)° = 2(x+7)°$

বা, $x + 45 = 2(x + 7)$

বা, $x + 45 = 2x + 14$

বা, $2x - x = 45 - 14$

$\therefore$ $x = 31$

নির্ণেয় মান: x = 31

দেওয়া আছে, বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণের মান (x + 60)$°$

এবং বৃত্তস্থ কোণের মান (x + 5)$°$

$(x + 60)°= 2 (x + 5)°$ [কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]

বা, $x + 60 = 2x + 10$

বা, $2x - x = 60 - 10$

$x = 50$

নির্ণেয় মান: x = 50

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ
কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

প্রশ্নমতে, $(y + 110°) = 2(2y + 10°)$

বা, $y + 110° = 4y + 20°$

বা, $4y - y = 110°- 20°$

বা, $3y = 90°$

বা, $y =\frac{ 90°}{3}=30°$

নির্ণেয় মান: y = $30°$

এখানে, বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle$ BOC = x + 80$°$

এবং বৃত্তস্থ কোণ  $\angle BAC = 1 + 10°$

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

$\angle BOC=2\angle BAC$

$x + 80°= 2(x + 10°)$

$x + 80°= 2x + 20°$

$2x - x = 80° - 20°$

$x= 60°$

x এর মান 60°

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

চিত্র হতে, কেন্দ্রস্থ ∠BOC = 2 $\times$ বৃত্তস্থ ∠BAC

বা, $x + 40°= 2\times x$

$x + 40°= 2x$

$2x-x= 40°$

$x= 40°$

নির্ণেয় মান: $x= 40°$

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

AB চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ; $\angle$AOB = 2 $\times$65$°$$=130°$

প্রবৃদ্ধ ∠AOB = 360°-130°= 230°.

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে একই চাপ BD এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAD.

∠BOD=2 ∠BAD

[বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।]

=2y

আবার, ∠BOD + প্রবৃদ্ধ ∠BOD $=360°$

$$\begin{gathered} 6y=360° \\ y=\frac{360°}{6} \\ =60° \end{gathered}$$