সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

ধরি n একটি পূর্ণ সংখ্যা বা ভগ্নাংশ যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক  হতে পারে এবং n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে a কে n বার গুণ করলে গুণফলটিকে লিখা হয় aⁿ=a.a.a…………..(n বার) এবং nⁿ কে বলা হয় n এর n ঘাত।

এরূপ ক্ষেত্রে a কে বলা হয় নিধান বা ভিত্তি (base) এবং n কে বলা হয় a এর ঘাত বা সূচক।

3⁵ একটি সূচকীয় রাশি।

এবং 3⁵ কে বলা হয় 3 এর ঘাত বা সূচক 5।

এক্ষেত্রে 3⁵ এর ভিত্তি 3।

যদি সূচকীয় রাশি a^x এর মান এমনভাবে নির্দিষ্ট করা হয় যে, x এর মূলদ আসন্ন মান p এর জন্য a^p এর মান a^x এর মানের আসন্ন হয়, তবে x কে এর অমূলদ সূচক বলা হয়।

যেমন, $3\sqrt{5}$ সূচকীয় রাশির সূচক $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। সুতরাং $\sqrt{5}$হলো 3 এর অমূলদ সূচক।

n = 3 হলে $\sqrt[n]{-125}=\sqrt[3]{-125}$

$={\left(-125\right)}^{\frac{1}{3}}$ $={\left\{{\left(-5\right)}^3\right\}}^{\frac{1}{3}}$$={\left\{\left(-5\right)\right\}}^{3\times \frac{1}{3}}$$={\left(-5\right)}^1$$=-5$

নির্ণেয় মান: $-5$

প্রদত্ত রাশি= ${[1-{\left\{1-{(1-a^2)}^{-1}\right\}}^{-1}]}^{-1}$

$={\left[1-{\left\{1-\frac{1}{1-a^2}\right\}}^{-1}\right]}^{-1}$$={\left[1-{\left\{1-\frac{1-a^2-1}{1-a^2}\right\}}^{-1}\right]}^{-1}$

$={\left[1-{\left\{\frac{a^2}{1-a^2}\right\}}^{-1}\right]}^{-1}$$={\left[1-\frac{1-a^2}{-a^2}\right]}^{-1}$$={\left[1{+\frac{1-a^2}{a^2}}^{-1}\right]}^{-1}$

$={\left[\frac{a^2+1-a^2}{a^2}\right]}^{-1}$$={\left[\frac{1}{a^2}\right]}^{-1}$

=$a^2$

নির্ণেয় মান: $a^2$

$\frac{3^5}{3^3}=3^{5-3}$ [ $\therefore m > n$ হলে $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$]

$=3^2=9$

নির্ণেয় মান' : 9.

${\left(a^2{b}^3\right)}^5={\left(a^2\right)}^5.{\left(b^3\right)}^5 [\because {(a.b)}^m=a^m.b^m]$

$={a^2}^{\times 5}.{b^{3\times }}^5 [\because {\left(a^m\right)}^n={{a^m}^{\times }}^n]$

$=a^{10} .b^{15}$$=a^{10}{b}^{15}$

নির্ণেয় মান: $a^{10}{b}^{15}$

$6^{-5}=\frac{1}{6^5}$$\left[\because a^{-m}=\frac{1}{a^m}\right]$

$=\frac{1}{6.6.6.6.6} \left[\because a^n=a.a.a.......a\right]$

$=\frac{1}{7776}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{7776}$

$\sqrt{y^8. \sqrt{y^6. \sqrt{y^4}}}$

$=\sqrt{y^8. \sqrt{y^6. y^2}}$

$=\sqrt{y^8. \sqrt{y^8}}$

$=\sqrt{y^8. y^4}$

$=\sqrt{y^{12}}$

$=y^6$

নির্ণেয় মান: $y^6$

প্রদত্ত রাশি= $\sqrt[24]{a^8\sqrt{a^6\sqrt{a^4}}}$

$=\sqrt[24]{a^8\sqrt{a^6. a^2}}$

$=\sqrt[24]{a^8\sqrt{a^8}}$

$=\sqrt[24]{a^8. a^4}$

$={\left(a^{12}\right)}^{\frac{1}{24}}$

$=a^{\frac{1}{2}}$

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল$=a^{\frac{1}{2}}$

$n\in N, n>1$ এবং $a\in R$ হলে, যদি এমন $x\in R$ থাকে যেন $x^n=a$ হয়, তবে সেই x কে a এর একটি n তম মূল বলা হয়, n = 2 হলে মূলকে বর্গমূল এবং n = 3 হলে মূলকে ঘনমূল বলা হয়।

$\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-\left|a\right|}$        $\left[\because a<0\right]$

$=\sqrt[n]{{(-1)}^n\left|a\right|}$           [ $\because n$বিজোড়]

$=- \sqrt[n]{\left|a\right|}$

সুতরাং $\sqrt[n]{a}=- \sqrt[n]{\left|a\right|}$ (দেখানো হলো)

$-\sqrt[3]{27}=-\sqrt[3]{{\left(3\right)}^3} =-3$

সূচকের দুইটি বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ:

$\left(i\right) a>0, a\ne 1$এর জন্য $a^x=a^y$হলে $x=y$

$\left(ii\right) a>0, b>0,x\ne 1$এর জন্য $a^x=b^x$ হলে $a=b$

এখানে ${\left(27\right)}^x={\left(81\right)}^y$

বা, ${\left(3^3\right)}^x={\left(3^4\right)}^y$

বা, $3^{3x}=3^{4y}$

বা, $3x=4y$  [$\because a^m=a^n$হলে m = n ]

$\therefore \frac{x}{y}=\frac{4}{3}$

নির্ণেয় মান: $\frac{4}{3}$

দেওয়া আছে, ${25}^a={125}^b$

বা, ${\left(5^2\right)}^a={\left(5^3\right)}^b$

বা, $5^{2a}={5^3}^b$

বা, $2a=3b$

$\therefore a=\frac{3b}{2}$

প্রদত্ত রাশি $=\frac{3.{\displaystyle \frac{3b}{2}}}{2b}=\frac{{\displaystyle \frac{9b}{2}}}{2b}=\frac{9b}{2}\times \frac{1}{2b}-=\frac{9}{4}$

নির্ণেয় মান $\frac{9}{4}$

দেওয়া আছে,

$8^x={32}^y$

বা, ${\left(2^3\right)}^x={\left(2^5\right)}^y$

বা, ${2^3}^x=2^{5y}$

বা, $3x=5y$

$\therefore \frac{x}{y}=\frac{5}{3}$

নির্ণেয় মান: $\frac{x}{y}=\frac{5}{3}$

দেওয়া আছে,  $4^{2t}=2^{t+1}$

বা, ${\left(2^2\right)}^{2t}=2^{t+1}$

বা, $2^{4t}=2^{t+1}$

বা, $4t=t+1$

বা, $4t-t=1$

বা, $3t=1$

$\therefore$ $t=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় মান: $t=\frac{1}{3}$

দেওয়া আছে, ${\left(16\right)}^{2x}=4^{x+1}$

বা, ${\left(4^2\right)}^{2x}=4^{x+1}$

বা, $4^{4x}=4^{x+1}$

বা, $4x=x+1$

বা, $4x-x=1$

বা, $3x=1$

বা, $x=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় মান : $x=\frac{1}{3}$

দেওয়া আছে, $9^x={27}^y$

বা, ${\left(3^2\right)}^x={\left(3^3\right)}^y$

বা, $3^{2x}=3^{3y}$

বা, $2x=3y$

$\therefore \frac{x}{y}=\frac{3}{2}$

নির্ণেয় মান:  $\frac{3}{2}$

ধরি, $p^x=q^y=r^z$

$\therefore p=k^{\frac{1}{x}},q=k^{\frac{1}{y}},r=k^{\frac{1}{z}}$

$\therefore$ $q^2=pr$

বা, $q^2=k^{\frac{1}{x}}. k^{\frac{1}{z}}$

বা, ${\left(k^{\frac{1}{y}}\right)}^2=k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}$

বা, $k^{\frac{2}{y}}=k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}$

$\therefore \frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}$  (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\sqrt[3]{x^2}={\left(x\sqrt{x^a}\right)}^b$

বা, ${\left(x^2\right)}^{\frac{1}{3}}=={\left(x^a.\frac{a}{x^2}\right)}^b$

বা, $x^{\frac{2}{3}}=x^{ab}. x^{\frac{ab}{2}}=x^{ab+\frac{ab}{2}}$

বা, $\frac{2}{3}=\frac{3ab}{2}$

$\therefore$ $ab=\frac{4}{9}$

নির্ণেয় মান: $\frac{4}{9}$

এখানে, ${\left(\frac{5b}{a}\right)}^{2x-6}=1$

বা, ${\left(\frac{5b}{a}\right)}^{2x-6}={\left(\frac{5b}{a}\right)}^0$

বা, $2x-6=0$

বা, $2x=6$

$\therefore$ $x=3$

নির্ণেয় মান: x = 3

দেওয়া আছে, $4^x=8^y$

বা, ${\left(2^2\right)}^x={\left(2^3\right)}^y$

বা, $2^{2x}=2^{3y}$

বা, $2x=2y$

$\therefore \frac{x}{y}=\frac{3}{2}$

নির্ণেয় মান: $\frac{3}{2}$

দেওয়া আছে,

$2^x=8^y=(2^3{)}^y=2^{3y}$

বা, $x=3y$

বা, $\frac{x}{y}=\frac{3}{1}$

$\therefore x : y=3 :1$

দেওয়া আছে, $2^{y+3}+2^{y+1}=320$

বা, $2^y.2^3+2^y.2^1=320$

বা, $8.2^y+2.2^y=320$

বা, $10.2^y=320$

বা, $2^y=\frac{320}{10}=32=2^5$

$\therefore y=5$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

${\left(16\right)}^{\frac{1}{x}}={\left(64\right)}^{\frac{1}{y}}$

বা, ${\left(4^2\right)}^{\frac{1}{x}}={\left(4^3\right)}^{\frac{1}{y}}$

বা,  $4^{\frac{2}{x}}=4^{\frac{3}{y}}$

বা, $\frac{2}{x}=\frac{3}{y}$

বা, $2y=3x$

$\therefore \frac{y}{x}=\frac{3}{2}$

নির্ণেয় মান $\frac{3}{2}$