$p^x=q^y=r^z$ এবং $q^2=pr$ হলে, প্রমাণ কর যে $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}$

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

ধরি n একটি পূর্ণ সংখ্যা বা ভগ্নাংশ যা ধনাত্মক বা ঋণাত্মক  হতে পারে এবং n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে a কে n বার গুণ করলে গুণফলটিকে লিখা হয় aⁿ=a.a.a…………..(n বার) এবং nⁿ কে বলা হয় n এর n ঘাত।

এরূপ ক্ষেত্রে a কে বলা হয় নিধান বা ভিত্তি (base) এবং n কে বলা হয় a এর ঘাত বা সূচক।

3⁵ একটি সূচকীয় রাশি।

এবং 3⁵ কে বলা হয় 3 এর ঘাত বা সূচক 5।

এক্ষেত্রে 3⁵ এর ভিত্তি 3।

যদি সূচকীয় রাশি a^x এর মান এমনভাবে নির্দিষ্ট করা হয় যে, x এর মূলদ আসন্ন মান p এর জন্য a^p এর মান a^x এর মানের আসন্ন হয়, তবে x কে এর অমূলদ সূচক বলা হয়।

যেমন, $3\sqrt{5}$ সূচকীয় রাশির সূচক $\sqrt{5}$ একটি অমূলদ সংখ্যা। সুতরাং $\sqrt{5}$হলো 3 এর অমূলদ সূচক।

n = 3 হলে $\sqrt[n]{-125}=\sqrt[3]{-125}$

$={\left(-125\right)}^{\frac{1}{3}}$ $={\left\{{\left(-5\right)}^3\right\}}^{\frac{1}{3}}$$={\left\{\left(-5\right)\right\}}^{3\times \frac{1}{3}}$$={\left(-5\right)}^1$$=-5$

নির্ণেয় মান: $-5$

প্রদত্ত রাশি= ${[1-{\left\{1-{(1-a^2)}^{-1}\right\}}^{-1}]}^{-1}$

$={\left[1-{\left\{1-\frac{1}{1-a^2}\right\}}^{-1}\right]}^{-1}$$={\left[1-{\left\{1-\frac{1-a^2-1}{1-a^2}\right\}}^{-1}\right]}^{-1}$

$={\left[1-{\left\{\frac{a^2}{1-a^2}\right\}}^{-1}\right]}^{-1}$$={\left[1-\frac{1-a^2}{-a^2}\right]}^{-1}$$={\left[1{+\frac{1-a^2}{a^2}}^{-1}\right]}^{-1}$

$={\left[\frac{a^2+1-a^2}{a^2}\right]}^{-1}$$={\left[\frac{1}{a^2}\right]}^{-1}$

=$a^2$

নির্ণেয় মান: $a^2$

$\frac{3^5}{3^3}=3^{5-3}$ [ $\therefore m > n$ হলে $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$]

$=3^2=9$

নির্ণেয় মান' : 9.