সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

কোনো বস্তু বা জ্যামিতিক চিত্রকে যদি কোনো সরলরেখা বরাবর ভাঁজ করলে তার অংশ দুইটি একটি অপরটির সাথে সম্পূর্ণরূপে মিলে যায় তবে ঐ রেখাকে বস্তুটি বা জ্যামিতিক চিত্রটির প্রতিসাম্য রেখা বলা হয়।

যেমন:

দুইটি অপ্রতিসম চিত্র অঙ্কন করা হলো:

চিত্রে ABCD সামান্তরিক এবং P অক্ষর অপ্রতিসম।

প্রদত্ত ফুলটিতে কাগজে অঙ্কিত চিত্র:

প্রতিসাম্য রেখা আছে 8টি। কারণ 8টি রেখা বরাবর যেকোনোভাবে ভাঁজ করলে এর অর্ধাংশের প্রতিচ্ছবি বাকি অর্ধাংশের সাথে মিলে যাবে।

আয়তক্ষেত্রের প্রতিসাম্য রেখা ২টি। এর প্রতিসাম্য রেখা অঙ্কন করে দেখানো হলো।

চিত্রে ABCD একটি আয়তক্ষেত্র। চিত্রটিতে EF ও GH 2টি প্রতিসাম্য রেখা নির্দেশ করে।

চিত্র অঙ্কন করে চার পাখাবিশিষ্ট ফ্যানের প্রতিসাম্য রেখা দেখানো হলো:

প্রতিসাম্য রেখা 4টি।

প্রদত্ত চিত্রগুলোর প্রতিসাম্য রেখা অঙ্কন করা হলো:

প্রদত্ত আকৃতিগুলোর প্রতিসম রেখা অঙ্কন করা হলো:

চিত্র দুইটির প্রতিসাম্য রেখা এঁকে দেখানো হলো:

যেসব ইংরেজি বর্ণমালার প্রতিসাম্য রেখা আনুভূমিক রেখা বরাবর এমন বর্ণগুলো হলো : B, C, D, E, H, K, I, O, Χ.

যেসব ইংরেজি বর্ণমালার প্রতিসাম্য রেখা উল্লম্ব রেখা বরাবর এমন বর্ণগুলো হলো : A, H, I, M, T, U, V, W, X, Y.

এখানে, H, I, X কে অনুভূমিক ও উল্লম্ব দিক বরাবর ভাঁজ কুরলে অংশ দুইটা সম্পূর্ণ মিলে যায়। এদের প্রত্যেকের প্রতিসাম্য রেখা সমান এবং তা ২টি করে। অন্যদিকে  O কে যেকোনো দিক থেকে ভাঁজ করলে অংশ দুইটি সম্পূর্ণরূপে মিলে যায় বলে  O এর প্রতিসাম্য রেখা অসংখ্য।

$\therefore$ H এর প্রতিসাম্য রেখা ২টি।

       1 এর প্রতিসাম্য রেখা ২টি

       X এর প্রতিসাম্য রেখা ২টি

       এবং O এর প্রতিসাম্য রেখা অসংখ্য।

বহুভুজ হলো কতকগুলো রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র। যে বহুভুজের রেখাংশগুলোর দৈর্ঘ্য সমান ও কোণগুলো সমান তাকে সুষম বহুভুজ বলা হয়।

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিসাম্য রেখা এঁকে দেখানো হলো:

চিত্রে ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। চিত্রটিতে AD, BE ও CF তিনটি প্রতিসাম্য রেখা নির্দেশ করে।

সুষম পণ্যভুজ ও সুষম ষড়ভুজের প্রতিসাম্য রেখা দেখানো হলো:

চিত্রে সুষম পঞ্চভুজের পাঁচটি প্রতিসাম্য রেখা এবং সুষম ষড়ভুজের ছয়টি প্রতিসাম্য রেখা বিদ্যমান।

একটি বৃত্ত তার ব্যাসের সাপেক্ষে প্রতিসম। যেহেতু বৃত্তের অসংখ্য ব্যাস আঁকা যাবে। তাই বৃত্তের * প্রতিসাম্য রেখা অসংখ্য।

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর সাপেক্ষে ঘূর্ণনের ফলে বস্তুর বা জ্যামিতিক চিত্রের আকৃতি ও আকারের পরিবর্তন হয় না। তবে বস্তুর বিভিন্ন অংশের অবস্থানের পরিবর্তন হয়। ঘূর্ণনের ফলে বস্তু বা জ্যামিতিক চিত্রের নতুন অবস্থানে বস্তুর বা জ্যামিতিক চিত্রের আকৃতি ও আকার আদি অবস্থানের ন্যায় একই হলে আমরা বলি উহার ঘূর্ণন প্রতিসমতা আছে। যেমন একটি সিলিং ফ্যানের পাখাগুলোর ঘূর্ণনের ফলে একাধিকবার মূল অবস্থানের সাথে মিলে যায়।

কোনো বস্তু বা জ্যামিতিক চিত্র ঘূর্ণনের সময় যে কোণে ঘোরে তা হলো ঘূর্ণন কোণ। একবার পূর্ণ ঘূর্ণনের কোণের পরিমাণ 360° এবং অর্ধ ঘূর্ণনের কোণের পরিমাণ 180°।

চিত্রে চারপাখা বিশিষ্ট ফ্যান এর ঘূর্ণন দেখানো হলো। একবার পূর্ণ ঘূর্ণনের ঠিক চারটি অবস্থানে 90°, 180°, 270°, 360° কোণে ঘূর্ণনের ফলে ফ্যানটি দেখতে হুবহু একই রকম।
ঘূর্ণন কোণ = 360° $÷$ প্রতিসমতার মাত্রা

বৃত্ত একটি আদর্শ প্রতিসম চিত্র। বৃত্তের কেন্দ্রকে ঘূর্ণন বিন্দু ধরে এর সাপেক্ষে যেকোনো কোণে ও যেকোনো দিকে ঘুরালে এর অবস্থানের কোনো পরিবর্তন লক্ষ করা যায় না। অতএব, বৃত্তের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা অসীম। বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো রেখা এর প্রতিসাম্য রেখা। সুতরাং বৃত্তের অসংখ্য প্রতিসাম্য রেখা আছে।

কোনো বস্তু বা চিত্রের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা 1 হলে, তাকে এক মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতা বলে। অর্থাৎ, এক মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতা হচ্ছে কোনো বস্তু বা চিত্রের একবার পূর্ণ ঘূর্ণনের ফলে আদি অবস্থানে ফিরে আসে। এক মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা 1 ।

এক মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতার ঘূর্ণন কোণ = কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ/ ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা

$\frac{360°}{1}=360°$

অর্থাৎ, এক মাত্রার ঘূর্ণন প্রতিসমতার ঘূর্ণন কোণ 360°.

চিত্র: সমবাহু ত্রিভুজের ঘূর্ণন

চিত্র হতে পাই, সমবাহু ত্রিভুজের ঘূর্ণন কোণ 120°.

$\therefore$ ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা = $\frac{360°}{120°}=3$

$\therefore$ সমবাহু ত্রিভুজের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা 3 এবং ঘূর্ণন কোণ 120°.

চিত্র: সুষম ষড়ভুজের ঘূর্ণন

চিত্র হতে পাই, সুষম ষড়ভুজের ঘূর্ণন কোণ 60°.

$\therefore$ সুষম ষড়ভুজের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা =  $\frac{360°}{60°}=6$

$\therefore$ সুষম ষড়ভুজের ঘূর্ণন কোণ 60° এবং ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা 6

চিত্র: সুষম পঞ্চভুজের ঘূর্ণন

চিত্র হতে পাই, সুষম ষড়ভুজের ঘূর্ণন কোণ 72 deg

সুষম পঞ্চভুজের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা=$\frac{360°}{72°}=5$

সুষম পঞ্চভুজের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা 5 এবং ঘূর্ণন কোণ $72°$

ঘূর্ণন কেন্দ্র O
ঘূর্ণন প্রতিসমতা আছে
ঘূর্ণন কোণ 90°

ঘূর্ণনের দিক ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা 4.

চিত্র: রম্বসের ঘূর্ণন কোণ

চিত্র হতে পাই, রম্বসের ঘূর্ণন কোণ 180°

নির্ণেয় রম্বসের ঘূর্ণন কোণ 180°.

চিত্র: অর্ধবৃত্তের ঘূর্ণন কোণ

নির্ণেয় অর্ধবৃত্তের ঘূর্ণন কোণ 360°

বৃত্ত একটি আদর্শ প্রতিসম চিত্র। বৃত্তকে এর কেন্দ্রের সাপেক্ষে যেকোনো কোণে ও যেকোনো দিকে ঘুরালে এর অবস্থানের পরিবর্তন লক্ষ করা যায় না। অতএব, বৃত্তের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা অসীম। একই সময় বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো রেখা এর প্রতিসাম্য রেখা। সুতরাং, বৃত্তের অসংখ্য প্রতিসাম্য রেখা রয়েছে।

ইংরেজি বর্ণ Z, B ও O এর প্রতিসাম্য রেখার সংখ্যা, ঘূর্ণন কোণ ও ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা দেওয়া হলো:

প্রিজম ত্রিভুজ আকৃতির।

প্রতিসাম্য রেখা তিনটি।

প্রিজমের প্রতিসমতার মাত্রা 3.

ঘূর্ণন কোণ = 360° + 3 = 120°

নির্ণেয় প্রতিসাম্য রেখা ওটি, প্রতিসমতার মাত্রা 3 এবং ঘূর্ণন কোণ 120°.

রুবিক্স কিউব বর্গাকার।

$\therefore$এর প্রতিসাম্য রেখা চারটি।

$\therefore$ রুবিক্স কিউব এর প্রতিসাম্যতার মাত্রা 4.

ঘূর্ণন কোণ 360° + 4 = 90°

$\therefore$ রুবিক্স কিউব 90° কোণে ঘুরানোর পরে অপরিবর্তিত থাকবে।

নির্ণেয় প্রতিসাম্য রেখা 4টি, প্রতিসমতার মাত্রা 4 এবং ঘূর্ণন কোণ 90°.

ইটের আকার আয়ত আকৃতি।

$\therefore$ এর প্রতিসাম্য রেখা দুইটি।

$\therefore$ প্রতিসমতার মাত্রা 2

$\therefore$ ঘূর্ণন কোণ = 360° $÷$2

= 180°

নির্ণেয় ঘূর্ণন কোণ 180°.