সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

দুইটি ভিন্ন রশ্মি একটি বিন্দুতে মিলিত হলে ঐ বিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে বলে ধরা হয়। আবার দুইটি অসমান্তরাল সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে অর্থাৎ ছেদ বিন্দুর অন্তঃস্থ ও বহিঃস্থ উভয়দিকে কোণ উৎপন্ন হয়। একে জ্যামিতিক কোণ বলে। জ্যামিতিক কোণ 0° হতে 360° এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে।

ত্রিকোণমিতিতে একটি রশ্মি অবিরাম ঘূর্ণনের ফলে যেকোনো মানের কোণ উৎপন্ন করে। একটি রশ্মি তার আদি অবস্থান থেকে ঘুরে নির্দিষ্ট অবস্থানে পৌছাতে যে পরিমাণ আবর্তিত হয়, তা ঐ রশ্মি দ্বারা উৎপন্ন কোণের পরিমাণ নির্দেশ করে। এগুলো হলো ত্রিকোণমিতিক কোণ। ত্রিকোণমিতিক কোণ যেকোনো পরিমাপের হতে পারে।

XY সমতলে XOX' ও YOY' সরলরেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করায় যে চারটি সমকোণ উৎপন্ন করে তাদের প্রত্যেকটির অভ্যন্তরকে একটি চতুর্ভাগ বলে। OX রেখা থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরতে থাকলে প্রথম সমকোণের অভ্যন্তরকে প্রথম চতুর্ভাগ এবং এবইভাবে ঘুরতে থাকলে দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ সমকোণের অভ্যন্তরসমূহকে যথাক্রমে দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ চতুর্ভাগ বলে।

একটি স্থির রশ্মির সাপেক্ষে কোনো ঘূর্ণায়মান রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘুরালে উৎপন্ন কোণকে ধনাত্মক কোণ বলা হয় এবং ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরালে উৎপন্ন কোণকে ঋণাত্মক কোণ বলে।

$- 315°=-270°-45°=-3\times 90°-45°$

$- 315°$কোণটি একটি ঋণাত্মক কোণ এবং কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে ও সমকোণ, ঘুরার পর একই দিকে আরও 45° ঘুরতে হয়েছে। সুতরাং,- 315° কোণটির অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে।

$$\begin{gathered} -1465°=-1440°-25° \\ =-16\times 90°-25° \end{gathered}$$

-1465° একটি ঋণাত্মক কোণ। - 1465° কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে চারবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো 25° ঘুরে; চতুর্থ চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে।
সুতরাং – 1465° কোণটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত।

- 840°-9$\times$90°-30°

- 840° একটি ঋণাত্মক কোণ এবং-840° কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে দুইবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো এক -সমকোণ বা 90° এবং 30° ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে।

সুতরাং,- 840° কোণটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

-330°=-270°-60°=-3$\times$90°-60°

-330° কোণটি একটি ঋণাত্মক কোণ এবং কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে 3 সমকোণ ঘুরার পর একই দিকে আরও 60° ঘুরতে হয়েছে। সুতরাং - 330° কোণটির অবস্থান প্রথম চতুর্ভাগে।

$650° = 630° +20°= 90° \times 7 +20°$, $650°$ কোণটি একটি ধনাত্মক কোণ এবং 7 সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তর কিন্তু ৪ সমকোণ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। 650° কোণটি উৎপন্ন করতে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে কোনো রশ্মিকে 7 সমকোণের চেয়ে 20° বেশি বা একবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো 3 সমকোণ ঘুরার পর আরও 20° ঘুরে চতুর্থ চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে।

সুতরাং, 650° কোণটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করবে।

915° = 900° +15° 90° $\times$ 10+15°

915° কোণটি ধনাত্মক কোণ এবং 10 সমকোণ অপেক্ষা বৃহত্তম কিন্তু 11 সমকোণ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। তাই 915° কোণ উৎপন্ন করতে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে কোনো রশ্মিকে 10 সমকোণের চেয়ে 15° বেশি বা সম্পূর্ণ দুই বার ঘুরে একই দিকে আরো 2 সমকোণের চেয়ে 15° বেশি ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করবে।

সুতরাং 915° তৃতীয় চতুর্ভাগে দেখানো হলো।

কোনো কোণের পরিমাণ নির্ণয়ে সাধারণত দুইটি পদ্ধতি ব্যবহার হয়। যথা: (ক) ষাটমূলক পদ্ধতি এবং (খ) বৃত্তীয় পদ্ধতি।

ষাটমূলক পদ্ধতিতে 'সমকোণকে কোণ পরিমাপের একক ধরা হয়। এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে সমান 90 ভাগে বিভক্ত করে প্রতি ভাগকে এক ডিগ্রি ধরা হয়। এক ডিগ্রিকে সমান 60 ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক মিনিট এবং প্রতি মিনিটকে সমান 60 ভাগ করে প্রতি ভাগকে এক সেকেন্ড ধরা হয়।

রেডিয়ান: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

চিত্রে PQR বৃত্তের কেন্দ্র O, বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP=r এবং ব্যাসার্ধের সমান চাপ PQI PQ চাপ কেন্দ্র O তে ∠POQ উৎপন্ন করেছে।

উক্ত কোণের পরিমাণই এক রেডিয়ান। অর্থাৎ, ∠POQ এক রেডিয়ান।

আমরা জানি, যেকোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত সব সময় সমান ও একই ধ্রুব সংখ্যা। এই ধ্রুব সংখ্যাটিকে গ্রিক বর্ণ $\mathrm{\pi }$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সুতরাং,  পরিধি/ব্যাস = $\mathrm{\pi }$

বা, পরিধি=$\mathrm{\pi }\times$ ব্যাস = $\mathrm{\pi }\times$2r [ব্যাস = 2r]

$=2\mathrm{\pi r}$

$\therefore$ r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট যেকোনো বৃত্তের পরিধি $2\mathrm{\pi r}$ (দেখানো হলো)

মনে করি, ABC বৃত্তের কেন্দ্র ০ এবং ব্যাসার্ধ OB। P বৃত্তের উপর অন্য একটি বিন্দু। ফলে BP বৃত্তের একটি চাপ এবং ∠POB বৃত্তের 'একটি কেন্দ্রস্থ কোণ। তাহলে, কেন্দ্রস্থ ∠POB, চাপ BP এর সমানুপাতিক হবে। অর্থাৎ, কেন্দ্রস্থ ∠POB ∝ চাপ BP.

সুতরাং, বৃত্তের কোনো চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ বৃত্তচাপের সমানুপাতিক।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে ∠AOB একটি রেডিয়ান কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB একটি ধ্রুব কোণ।

অঙ্কন: OA রেখাংশের (ব্যাসার্ধের) উপর OP লম্ব আঁকি।

প্রমাণ: OP লম্ব বৃত্তের পরিধিকে P বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে চাপ AP = পরিধির এক-চতুর্থাংশ$=\frac{1}{4}2\mathrm{\pi r}=\frac{\mathrm{\pi r}}{2}$ এবং চাপ AB = ব্যাসার্ধ [∠AOB = 1 রেডিয়ান]\

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ বৃত্তচাপের সমাণুপাতিক।

$=\frac{r}{{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi r}}{2}}}\times$এক সমকোণ [OA ব্যাসার্ধ এবং OP এর উপর লম্ব]

$=\frac{2}{\mathrm{\pi }}$সমকোণ

যেহেতু সমকোণ ও $\mathrm{\pi }$ ধ্রুবক, সেহেতু $\angle$AOB একটি ধ্রুব কোণ। (প্রমাণিত)

আমরা জানি, রেডিয়ান কোণ একটি ধ্রুব কোণ। যেখানে

1 রেডিয়ান=$\frac{2}{\mathrm{\pi }}$সমকোণ

অর্থাৎ, $1°=\frac{2}{\mathrm{\pi }}$সমকোণ [1 রেডিয়ান = 1°]

1 সমকোণ $={\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{°}$

$90°={\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}^{°}$

$1°={\left(\frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)}^{°}$

$1°={\left(\frac{180}{\mathrm{\pi }}\right)}^{°}$

$20°12\text{'} 36\text{'}\text{'}$$=20°{\left(12\frac{36}{60}\right)}^{\text{'}}$$=20°{\left(12\frac{3}{5}\right)}^{\text{'}}$

$=20°{\left(\frac{63}{5}\right)}^{\text{'}}$$=20°{\left(\frac{63}{5\times 60}\right)}^{°}$$={\left(\frac{2021}{100}\right)}^{°}$

$=\frac{2021}{100}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$ রেডিয়ান

$=\frac{2021\times 3.1416}{100\times 180}$রেডিয়ান

=0.3527 রেডিয়ান (প্রায়)

15'7'' $={\left(15\frac{7}{60}\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{907}{60}\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{907}{60\times 60}\right)}^{°}$

$=\frac{907}{3600}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$রেডিয়ান

= 0.004397 রেডিয়ান (প্রায়)

$15\text{'}7\text{'}\text{'}=0.004397$রেডিয়ান (প্রায়)।

20°24′35″ $=20°{\left(24\frac{35}{60}\right)}^{\text{'}}$

$=20°{\left(24\frac{7}{12}\right)}^{\text{'}}$

$=20°{\left(\frac{295}{12}\right)}^{\text{'}}$

$=20°{\left(\frac{295}{12\times 60}\right)}^{°}$

$={\left(20\frac{59}{144}\right)}^{°}$

$={\left(\frac{2939}{144}\right)}^{°}$

$=\frac{2939}{144}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$রেডিয়ান

= 0. 3562 রেডিয়ান (প্রায়)

20°24′35"=0.3562 রেডিয়ান (প্রায়)।

40° 21'20"= $={\left(40+\frac{21}{60}+\frac{20}{60\times 60}\right)}^{°}=40.36°$ (প্রায়)

আমরা জানি, $1°=\frac{\mathrm{\pi }}{180}$ রেডিয়ান

$40.36°=\left(\frac{\mathrm{\pi }}{180}\times 40.36\right)$ রেডিয়ান

$= 0.7044$ রেডিয়ান (প্রায়)

$40°21\prime 20″ =0.7044$ রেডিয়ান (প্রায়)।

1.532 রেডিয়ান=$1.532\times \frac{180}{\mathrm{\pi }}$ডিগ্রি

$= 87.7769$ ডিগ্রি

$$\begin{gathered} = 87°(.7769\times 60)\text{'} \\ =87° (46.614)\text{'} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} = 87°46\prime (.614 x 60)" \\ =87°46\prime 36.8" \end{gathered}$$

$\frac{5\mathrm{\pi }}{13}$রেডিয়ান=$\left(\frac{5\mathrm{\pi }}{13}\times \frac{180}{\mathrm{\pi }}\right)$ ডিগ্রি

=$\frac{900}{13}$ডিগ্রি

=$69.23076923$

=$69°13\text{'}50.77\text{'}\text{'}$ [ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে।]

$33°12\text{'}36\text{'}\text{'}=33°{\left(12\frac{36}{60}\right)}^{\text{'}}=33°{\left(12\frac{3}{5}\right)}^{\text{'}}=33°{\left(12\frac{63}{5}\right)}^{\text{'}}$

$={\left(33\frac{63}{5\times 60}\right)}^{°}={\left(33\frac{21}{100}\right)}^{°}={\left(\frac{3321}{100}\right)}^{°}$

$=\frac{3321}{100}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$রেডিয়ান

$=\frac{3321\times 3.1416}{100\times 180}$রেডিয়ান

= 0.5796 রেডিয়ান (প্রায়)

35°29′37''

$=35°{\left(29\frac{37}{60}\right)}^{\text{'}}$

$=35°{\left(\frac{1777}{60}\right)}^{\text{'}}$

$={\left(35\frac{1777}{60\times 60}\right)}^{°}$

$={\left(\frac{127777}{3600}\right)}^{°}$

$=\left(\frac{127777}{3600}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$

$=\frac{127777\times 3.1416}{3600\times 180}$রেডিয়ান

= 0.6195 রেডিয়ান (প্রায়)

40°55′54''$=40°{\left(55\frac{54}{60}\right)}^{\text{'}}$

$=40°\left(\frac{559}{10}\right)\text{'}$

$=40°\left(\frac{559}{10\times 60}\right)\text{'}$

$={\left(\frac{24559}{600}\right)}^{°}$

$=\frac{24559}{600}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$

= 0.714 রেডিয়ান (প্রায়)

$45°{30}^{\text{'}}={\left(45\frac{30}{60}\right)}^{°}={\left(45\frac{1}{2}\right)}^{°}={\left(\frac{91}{2}\right)}^{°}$

$=\frac{91}{2}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$ রেডিয়ান

= 0.7941 রেডিয়ান (প্রায়)

$\frac{2\mathrm{\pi }}{9}$রেডিয়ান$=\frac{2\mathrm{\pi }}{9}\times \frac{180}{\mathrm{\pi }}$ডিগ্রি

= 40 ডিগ্রি

18°33′45''=$18°{\left(33\frac{45}{60}\right)}^{\text{'}}$

$$\begin{gathered} =18°{\left(33\frac{3}{4}\right)}^{\text{'}} \\ =18°{\left(\frac{135}{4}\right)}^{\text{'}} \\ ={\left(18\frac{135}{4\times 60}\right)}^{°} \\ ={\left(18\frac{9}{16}\right)}^{°} \\ ={\left(\frac{297}{16}\right)}^{°} \\ =\frac{297}{16}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180} \end{gathered}$$

= 0.324 রেডিয়ান (প্রায়)

$30°15\text{'}36\text{'}\text{'}=30°{\left(15\frac{36}{60}\right)}^{\text{'}}$

$=30° {\left(15\frac{3}{5}\right)}^{\text{'}}$

$=30° {\left(\frac{78}{5}\right)}^{\text{'}}$

$= {\left(30\frac{78}{5\times 60}\right)}^{°}$

$= \left(\frac{1513}{50}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

= 0.52813 রেডিয়ান (প্রায়)

0.5273 রেডিয়ান

$={\left(0.5273 \times \frac{180}{\mathrm{\pi }}\right)}^{°}$

$= 30.21°$

$=30(.21\times 60)\text{'}=30°(12.6)\text{'}=30°12\text{'}{\left(.6\times 60\right)}^{\text{'}\text{'}}=30°12\text{'}36\text{'}\text{'}$

0.5273 রেডিয়ান = $30°12\text{'}36\text{'}\text{'}$

$36\text{'}9\text{'}\text{'}={\left(36\frac{9}{60}\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{2169}{60}\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{2169}{60\times 60}\right)}^{°}$

$$\begin{gathered} ={\left(\frac{2169}{3600}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)}^{°} \\ ={\left(\frac{241}{400}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)}^{°} \end{gathered}$$

= 0.0105156$°$ (প্রায়)।

$32\text{'}4\text{'}\text{'}={\left(32\frac{4}{60}\right)}^{\text{'}}$

$={\left(\frac{1924}{60}\right)}^{\text{'}}$

$={\left(\frac{1924}{60\times 60}\right)}^{\text{'}}$

$={\left(\frac{1924}{3600}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)}^C$

=0.009328^C (প্রায়).

$45°15\text{'}30\text{'}\text{'}=45°{\left(15\frac{30}{60}\right)}^{\text{'}}=45°{\left(15\frac{1}{2}\right)}^{\text{'}}$

$=45°{\left(\frac{31}{2}\right)}^{\text{'}}$$={\left(45\frac{31}{2\times 60}\right)}^{°}$

$={\left(45\frac{31}{120}\right)}^{°}$

$={\left(\frac{5431}{120}\right)}^{°}$

$=\frac{5431}{120}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$ রেডিয়ান

$= 0.7899$ রেডিয়ান (প্রায়)

70°30′ =

$$\begin{gathered} =70°{\left(\frac{30}{60}\right)}^{°} \\ ={\left(70+\frac{1}{2}\right)}^{°} \\ ={\left(\frac{141}{2}\right)}^{°} \\ =\left(\frac{141}{2}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right) \end{gathered}$$

=1.23 রেডিয়ান (প্রায়)।

64°53′52″=$64°53\prime {\left(\frac{52}{60}\right)}^{\text{'}}=64°{\left(53+\frac{13}{15}\right)}^{\text{'}}$

$=64°{\left(\frac{808}{15}\right)}^{\text{'}}=64°{\left(\frac{808}{15}\times \frac{1}{60}\right)}^{°}$

$={\left(\frac{14602}{225}\right)}^{°}=\left(\frac{14602}{225}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

= 1.133 রেডিয়ান (প্রায়)

ধরি, কোণ তিনটি যথাক্রমে 3x^c,5x^c,7x^c

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি =${\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

শর্তমতে, $2{\mathrm{x}}^{\mathrm{c}}+5{\mathrm{c}}^{\mathrm{c}}+7{\mathrm{x}}^{\mathrm{c}}={\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

বা, $15{\mathrm{x}}^{\mathrm{c}}={\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

$\therefore$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{15}$

$\therefore$বৃহত্তম কোণ= $7{\mathrm{x}}^{\mathrm{c}}=7\times \frac{\mathrm{\pi }}{15}$রেডিয়ান

=$\frac{7\mathrm{\pi }}{15}$ রেডিয়ান

বৃহত্তম কোণের বৃত্তীয় মান $\frac{7\mathrm{\pi }}{15}$রেডিয়ান।

ধরি, কোণ তিনটি যথাক্রমে  $2x^c,5x^c,8x^c$

শর্তমতে, $2x^c+5x^c+8x^c={\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$ [ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ ]

বা, $15x^c={\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{15}$

$\therefore$বৃহত্তম কোণ = $8x^c=\left(8\times \frac{\mathrm{\pi }}{15}\right)$ রেডিয়ান

$=\frac{8\mathrm{\pi }}{15}$রেডিয়ান

বৃহত্তম কোণের বৃত্তীয় মান $\frac{8\mathrm{\pi }}{15}$ রেডিয়ান

এখানে, ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 5 : 2 : 7

ধরি, ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে 5x^c,2x^c,7x^c ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি= ${\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

অর্থাৎ 5x^c+2x^c+7x^c=${\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

বা, 14x^c=${\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

$\therefore \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{14}$

$\therefore$বৃহত্তম কোণের বৃত্তীয় মান $=7{\mathrm{x}}^{\mathrm{c}}=7\times \frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}}{14}=\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}}{2}$

ধরি, কোণ তিনটি যথাক্রমে, $5x^c, 6x^c,7x^c$

প্রশ্নমতে,  $5x^c+ 6x^c+7x^c={\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$ [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ]

বা, $18x^c={\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

বা, $x=\frac{\mathrm{\pi }}{18}$

$\therefore$ ক্ষুদ্রতম কোণ $=5x^c=\left(5\times \frac{\mathrm{\pi }}{18}\right)=\frac{5\mathrm{\pi }}{18}$ রেডিয়ান

এখানে, ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত= 2 : 4 : 6= 1 : 2 : 3

মনে করি, কোণ তিনটির বৃত্তীয় মান যথাক্রমে  $x^c,2x^c,3x^c$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের বৃত্তীয় মানের সমষ্টি  ${\mathrm{\pi }}^c$

প্রশ্নমতে, $x^c+2x^c+3x^c={\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

বা $6x^c={\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}$

$x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

বৃহত্তম কোণটি $3x^c=3\times \frac{\mathrm{\pi }}{6}$রেডিয়ান =  $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$রেডিয়ান

বৃহত্তম কোণের বৃত্তীয় মান $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$রেডিয়ান।

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস= 10 সে.মি

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r=\frac{10}{2}$ সে.মি

= 5 সে.মি

বৃত্তের চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, $\theta =32°$

$=\left(32\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

$=\frac{8\mathrm{\pi }}{45}$রেডিয়ান

ধরি, বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য = s

আমরা জানি,  $s=r\theta =5\times \frac{8\mathrm{\pi }}{45}$

=$\frac{8\mathrm{\pi }}{9}$

$=2.79$ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় বৃত্তের চাপের দৈর্ঘ্য 2.79 সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি, AB পাহাড়টির পাদবিন্দু A থেকে 10.5.কি.মি. দূরে O বিন্দুতে পাহাড়টি 20° কোণ উৎপন্ন করে।

তাহলে, ব্যাসার্ধ, r = OA = 10 কি.মি.

কেন্দ্রস্থ কোণ, $\theta =\angle AOB=20°$

$=\left(\frac{20\times \mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

$=\frac{\mathrm{\pi }}{9}$ রেডিয়ান

পাহাড়টির উচ্চতা= চাপ AB

=s কি.মি

আমরা জানি, s $=r\theta$

$=10.5\times \frac{\mathrm{\pi }}{9}$

$$\begin{gathered} =\frac{10.5\times 3.1416}{9} \\ =3.67 \end{gathered}$$

পাহাড়টির উচ্চতা 3.67 কি.মি. (প্রায়)।

দেওয়া আছে,

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 10 সে.মি.

এবং $\theta$ = 30°

$=\left(30\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

$=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$ রেডিয়ান

বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, AB =S=r$\theta$

$=10\times \frac{\mathrm{\pi }}{6}=5.236$ সে.মি

নির্ণেয় চাপের দৈর্ঘ্য 5.236 সে.মি. (প্রায়)।

ব্যাসার্ধ= r=6440

পৃথিবীর কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ  $\theta =2°=2\times \frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}}{180}=\frac{\mathrm{\pi }}{90}$

s = চাপের দৈর্ঘ্য = ঢাকা ও জামালপুরের দূরত্ব

$=r\theta =6440\times \frac{\mathrm{\pi }}{90}$ কি.মি

$=\frac{644\mathrm{\pi }}{9}$

= 224.8 কি.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় দূরত্ব 224.8 কি.মি. (প্রায়)।

ধরি, চাকার ব্যাসার্ধ =r মিটার

$\therefore$ চাকার পরিধি = 2 $\mathrm{\pi }$r মিটার [যেখানে $\mathrm{\pi }$= 3.1416]

আমরা জানি, চাকাটি একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

$\therefore$ 40 বার ঘুরায় চাকাটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব

$=40\times 2\mathrm{\pi r}$ মিটার

$=80\mathrm{\pi r}$ মিটার

প্রশ্নমতে, $80\mathrm{\pi r}$=175

বা, $r=\frac{175}{80\mathrm{\pi }}=\frac{175}{80\times 3.1416}$

= 0.696 মিটার (প্রায়)

$\therefore$ চাকার ব্যাসার্ধ 0.696 মিটার (প্রায়)।

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r=OA = 5 সে. মি.

বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ $\theta$ = 60°

$=\left(60\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

$=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ রেডিয়ান

মনে করি, চাপের দৈর্ঘ্য S = AB

আমরা জানি, S = $r\theta$

বা, $S=5\times \frac{\mathrm{\pi }}{3}=5\times \frac{3.1416}{3}$

= 5.236 সে.মি

নির্ণেয় চাপের দৈর্ঘ্য 5.236 সে.মি.।

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস = 10 সেমি

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = OA = 5 সেমি

বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ $\theta =60°$

$=\left(60\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

$=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ রেডিয়ান

মনে করি, চাপের দৈর্ঘ্য S = AB

আমরা জানি, $S=r\theta$

বা,  $S=5\times \frac{\mathrm{\pi }}{3}=5\times \frac{3.1416}{3}=5.236$ সেমি

নির্ণেয় চাপের দৈর্ঘ্য 5.236 সেমি।

আমরা জানি, একঘর কেন্দ্রে $\frac{360°}{60}=6°$কোণ উৎপন্ন করে।

8:30 টায় ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে ব্যবধান $\left(10+2\frac{1}{2}\right)$ ঘর বা  $12\frac{1}{2}$ঘর

এখন, 1 ঘর কেন্দ্রে উৎপন্ন করে 6°

$12\frac{1}{2}$বা $\frac{25}{2}$ঘর কেন্দ্রে উৎপন্ন করে $\frac{25}{2}\times 6°=75°$

সকাল ৪:30 টায় ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার অন্তর্গত কোণ 75°.

$75°30\text{'}={\left(75\frac{30}{60}\right)}^{°}={\left(75\frac{1}{2}\right)}^{°}={\left(\frac{151}{2}\right)}^{°}$

$=\frac{151}{2}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$রেডিয়ান

$=\frac{151\mathrm{\pi }}{360}$রেডিয়ান

= 1.3177 রেডিয়ান (প্রায়)

$20°30\text{'}40\text{'}\text{'}=20°{\left(30\frac{40}{60}\right)}^{\text{'}}=20°{\left(30\frac{2}{3}\right)}^{\text{'}}=20°{\left(\frac{92}{3}\right)}^{\text{'}}$

$={\left(20\frac{92}{3\times 60}\right)}^{°}={\left(20\frac{23}{45}\right)}^{°}$

$={\left(\frac{923}{45}\right)}^{°}$$=\frac{923}{45}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$রেডিয়ান

= 0.358 রেডিয়ান (প্রায়)

45°20' 10"= $45°20\text{'}{\left(\frac{10}{60}\right)}^{\text{'}}=45°{\left(20+\frac{1}{6}\right)}^{\text{'}}$

$45°{\left(\frac{121}{6}\right)}^{\text{'}}=45°{\left(\frac{121}{6}\times \frac{1}{60}\right)}^{\text{'}}$

$=45°{\left(\frac{121}{360}\right)}^{°}={\left(\frac{16321}{360}\right)}^{°}$

$=\left(\frac{16321}{360}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

= 0.79 রেডিয়ান (প্রায়)

দেওয়া আছে, ∠A=75°50′25" = $75°50\prime {\left(\frac{25}{60}\right)}^{\text{'}}$

$=75° {\left(50+\frac{25}{60}\right)}^{\text{'}}=75° {\left(\frac{3025}{60}\right)}^{\text{'}}$

$= {\left(75+\frac{3025}{3600}\right)}^{°}= {\left(75\times \frac{121}{144}\right)}^{°}$

$= {\left(\frac{10921}{144}\right)}^{°}=\left(\frac{10921}{144}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

= 1.32 রেডিয়ান (প্রায়)

নির্ণেয় ∠A এর বৃত্তীয় মান 1.32 রেডিয়ান (প্রায়)।

জ্যামিতিক কোণ ও ত্রিকোণমিতিক কোণের মধ্যে দুইটি পার্থক্য হলো:

আমরা জানি, $1°=\frac{\mathrm{\pi }}{180}$ রেডিয়ান

বা, $D°= \frac{D\times \mathrm{\pi }}{180}$

প্রশ্নমতে, $\frac{D\times \mathrm{\pi }}{180}=R$

$\therefore$ $\frac{D}{180}=\frac{R}{\mathrm{\pi }}$ (প্রমাণিত)

ধরি, চাকার ব্যাসার্ধ,

r = 2 মিটার 3. সে.মি.

$= (2 \times 100)$ সে.মি. + 3 সে.মি.

= (200 + 3) সে.মি. 203 সে.মি.

$\therefore$ চাকার পরিধি = $2\mathrm{\pi r}$ সে.মি.

$= 2 \times 3.1416 \times 203$ সে.মি.

=1275.4896 সে.মি. = 12.754896 মিটার

= 12.7549 মিটার (প্রায়) [চার দশমিক স্থান পর্যন্ত]

$\therefore$ চাকার পরিধি 42.7549 মিটার (প্রায়)।

মনে করি, চাকার ব্যাস 2r = 0.84 মিটার

$\therefore$ চাকার পরিধি =$2\mathrm{\pi r}$ মিটার

আমরা জানি, চাকা একবার ঘুরে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

$\therefore$ 6 বার ঘুরায় ঢাকাটির মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব

$=6\times 2\mathrm{\pi }$ মিটার = $6\times 2r\times \mathrm{\pi }$ মিটার

= $6 \times 0.84 \times 3.1416$ মিটার

= 15.8337 মিটার

অতএব, চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে যায় 15.8337 মিটার

আবার, আমরা জানি, 1 ঘণ্টা = 3600 সেকেন্ড।

$\therefore$ চাকাটি 1 ঘণ্টা বা 3600 সেকেন্ডে যায়

$= 15.8337 \times 3600$ মিটার= 57001.32 মিটার

= 57.00132 কি.মি. = 57 কিলোমিটার (প্রায়)

$\therefore$ গাড়িটির গতিবেগ 57 কিলোমিটার/ঘণ্টা (প্রায়)।

মনে করি, কোণ তিনটির বৃত্তীয় মান যথাক্রমে $2x^c,5x^c ও\hspace{0.17em}3x^c$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের বৃত্তীয় মানের সমষ্টি $\mathrm{\pi }$ .

প্রশ্নমতে,  $2x^c+5x^c +\hspace{0.17em}3x^c =\mathrm{\pi }$

বা, $10x^c=\mathrm{\pi }$

বা, $x^c=\frac{\mathrm{\pi }}{10}$

ক্ষুদ্রতম কোণ = $2x^c=2\times \frac{\mathrm{\pi }}{10}=\frac{\mathrm{\pi }}{5}$ রেডিয়ান

বৃহত্তম কোণ $5x^c=5\times \frac{\mathrm{\pi }}{10}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ রেডিয়ান

ক্ষুদ্রতম কোণ =$\frac{\mathrm{\pi }}{5}$ রেডিয়ান এবং বৃহত্তম কোণ =$\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ রেডিয়ান।

মনে করি, ক্ষুদ্রতম কোণটি x এবং বৃহত্তম কোণ= 2x.

যেহেতু কোণ তিনটি সমান্তর শ্রেণিভুক্ত।

তৃতীয় কোণ $= \frac{1}{2} (x + 2x) =\frac{3x}{2}$

প্রশ্নমতে, $x+\frac{3x}{2 }+ 2x = \mathrm{\pi }$

বা, $\frac{2x + 3x + 4x}{2}= \mathrm{\pi }$

বা, $\frac{9x}{2}=\mathrm{\pi }$

$\therefore$ $x = \frac{2\mathrm{\pi }}{9}$

ক্ষুদ্রতম কোণ  $\frac{2\mathrm{\pi }}{9}$ এবং বৃহত্তম কোণ $= 2x = 2 \times \frac{2\mathrm{\pi }}{9}=\frac{4\mathrm{\pi }}{9}$

এবং অপর কোণটি $=\frac{3}{2}\times \frac{2\mathrm{\pi }}{9} = \frac{\mathrm{\pi }}{3}$

মনে করি, ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব AB কিলোমিটার। A ও B থেকে 6440 কিলোমিটার দূরে পৃথিবীর কেন্দ্রে O বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ AOB = 5° ।

তাহলে, AO = r = ব্যাসার্ধ = 6440 কি.মি.

কেন্দ্রস্থ কোণ AOB = $\theta$  

= 5° = $\left(\frac{5\times \mathrm{\pi }}{180}\right)$ = 0.0873 রেডিয়ান

ধরি, চাপ AB ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব = S কি.মি.

আমরা জানি, $S\text{'}= r \theta = (6440 \times 0.0873)$ কি.মি. = 562 কি.মি. (প্রায়)

$\therefore$ ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব 562 কি.মি. (প্রায়)।

মনে করি, টেকনাফ থেকে তেতুলিয়ার দূরত্ব AB কিলোমিটার। A ও B থেকে 6440 কিলোমিটার দূরে পৃথিবীর কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ AOB = 10°6'3" ।

তাহলে, AO = r = ব্যাসার্ধ = 6440 কি.মি.

কেন্দ্রস্থ কোণ $\theta$ = $\angle$AOB

= 10°6'3"

$=10° {\left(6 \frac{3}{60}\right)}^{\text{'}}$

$=10° {\left(6 \frac{1}{20}\right)}^{\text{'}}$

$=10° {\left(6 \frac{121}{20}\right)}^{\text{'}}$

$={\left(10 \times \frac{121}{20\times 60}\right)}^{°}$

$={\left(10 \times \frac{121}{1200}\right)}^{°}$

$={\left(\frac{12121}{1200}\right)}^{°}$

$=\left(\frac{12121}{1200}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান $\left[\because 1°=\frac{\mathrm{\pi }}{180}\right]$

$=\left(\frac{12121\times 3.1416}{1200\times 180}\right)$ রেডিয়ান

= 0.17629 রেডিয়ান

মনে করি, চাপ AB টেকনাফ থেকে তেতুলিয়ার দূরত্ব = S কি.মি.।

আমরা জানি, $S = \theta r = 6440 \times 0.17629$ কি.মি.

= 1135.3076 কি.মি. (প্রায়)

টেকনাফ থেকে তেতুলিয়ার দূরত্ব 1135.3076 কিলোমিটার (প্রায়)।

মনে করি, শাহেদ একটি সাইকেলে চড়ে ABC বৃত্তাকার পথে 1 .

সেকেন্ডে, AB = S বৃত্তচাপ অতিক্রম করে। বৃত্তচাপটি বৃত্তের কেন্দ্র O বিন্দুতে $\angle$AOB = 30° কোণ উৎপন্ন করে।

এখানে, বৃত্তের ব্যাস, 2r = 201 মিটার

বা,  $r=\frac{201}{2}$ মিটার

কেন্দ্রস্থ কোণ, $\theta =30°= \frac{30{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{c}}}{180}$

= $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$ রেডিয়ান

চাপ AB = অতিক্রান্ত দূরত্ব = S কি.মি.

আমরা জানি, $S = r \theta = \frac{201}{2}\times \frac{\mathrm{\pi }}{6}$ মিটার

$=\frac{201 \times 3.1416}{12}=52.622$ মিটার

$\therefore$ শাহেদ 11 সেকেন্ডে সাইকেল চালিয়ে যায় 52.622 মিটার।

$\therefore$ শাহেদ 1 সেকেন্ডে সাইকেল চালিয়ে যায়  $\frac{52.622}{11}$ মি. = 4.78মি. (প্রায়)

$\therefore$ শাহেদের গতিবেগ 4.78 মি./সে. (প্রায়)।

মনে করি, পৃথিবীর Q কেন্দ্রে A ও B স্থান দুইটি 32" কোণ উৎপন্ন করেছে।

$\therefore$ OB = 6440 কি. মি.

এবং AB = স্থান দুইটির দূরত্ব।

এখন, চাপ / ব্যাসার্ধ  = কোণের বৃত্তীয় পরিমাপ

বা, $\frac{AB}{OB}={32}^{\text{'}\text{'}}$

বা, $\frac{AB}{6440}={32}^{\text{'}\text{'}}=\frac{32\times \mathrm{\pi }}{60\times 60\times 180}$

বা, $AB=\frac{32 \times 3.1416 \times 6440}{60 \times 60 \times 180}$ কি. মি. $=\frac{647420.928}{648000}$ কি. মি.

= 0.9991063 কি. মি. [ হিসেবে ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে]

= 1 কি. মি. (প্রায়)।

সুতরাং স্থান দুইটির দূরত্ব 1 কি. মি. (প্রায়)।

আমরা জানি, প্রতি সেকেন্ডে উৎপন্ন ঘর ঘড়ির কেন্দ্রে ${\left(\frac{360}{60}\right)}^{°}$ বা 6° কোণ উৎপন্ন করে।

9 : 30 টায় ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ও ঘণ্টার কাঁটার মধ্যে ব্যবধান $\left(15+2\frac{1}{2}\right)= 17\frac{1}{2}$ ঘর

$\frac{35}{2}$ ঘর দ্বারা উৎপন্ন কোণ = ${\left(17\frac{1}{2}\times 6\right)}^{°}$

$={\left(\frac{35}{2}\times 6\right)}^{°}= (35 \times 3)° = 105°$

$= 105 \times \frac{\mathrm{\pi }}{180}$ রেডিয়ান

$=\frac{105 \times 3.1416}{180}$ রেডিয়ান

= $\frac{329.868}{180}$ = 1.833 রেডিয়ান (প্রায়)

নির্ণেয় উৎপন্ন কোণ 1.833 রেডিয়ান (প্রায়)।

মনে করি, একজন ব্যক্তি ABC বৃত্তের A বিন্দু থেকে 6 কি. মি. বেগে যাত্রা করে 36 সেকেন্ড পরে পরিধির উপর B বিন্দুতে পৌঁছে। AB চাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে।

তাহলে, ধরি বৃত্তের ব্যাসার্ধ, OA = r

কেন্দ্রস্থ কোণ $\theta$ = 60°

চাপ $AB= s=\left(\frac{6}{3600}\times 36\right)$ কি. মি.

$=\frac{6 \times 1000}{100}$ মিটার

= 60 মিটার

আমরা জানি, s = r $\theta$

বা, $r= \frac{s}{\theta }$ মিটার $= \frac{60}{60°}= \frac{60}{{\displaystyle \frac{60\mathrm{\pi }}{180}}}$মি.

$=60\times \frac{180}{60\mathrm{\pi }}$ মি.  $=\frac{180}{\mathrm{\pi }}$ মি.  $=\frac{180}{3.1416}$ মি.

= 57.2956 মি.

$\therefore$ বৃত্তের ব্যাস = 2r মিটার

$= 2 \times 57.2956$ মিটার = 114.59 মিটার (প্রায়)

অতএব, বৃত্তের ব্যাস 114.59 মিটার (প্রায়)।

মনে করি, AB পাহাড়ের পাদবিন্দু A থেকে 750 কিলোমিটার দূরে O বিন্দুতে পাহাড়টি 8' কোণ উৎপন্ন করে।

তাহলে, AO = r = ব্যাসার্ধ = 750 কি. মি.।

কেন্দ্রস্থ কোণ AOB = $8^x$ = ${\left(\frac{8}{60}\right)}^{°}$

$= \left(\frac{2}{15}\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}\right)$ রেডিয়ান

$=\frac{\mathrm{\pi }}{1350}$ রেডিয়ান

চাপ AB পাহাড়ের উচ্চতা = s কি. মি.

আমরা জানি, $s = r \theta = 750 \times \frac{\theta }{1350}$ কি. মি.

$=\frac{750 \times 3.1416}{1350}$ কি. মি. (প্রায়)

= 1.745 কিলোমিটার (প্রায়)

$= 1.745 \times 1000$ মি.

= 1745 মি. (প্রায়)

পাহাড়টির উচ্চতা 1.745 কি. মি. (প্রায়) বা 1745 মি. (প্রায়)।