সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

দেওয়া আছে, ভূমি = 5 সে.মি., লম্ব = 12 সে.মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² +(ভূমি)² =( অতিভূজ)²

অতিভূজ=

$$\begin{gathered} \sqrt{{12}^2+5^2} \\ =\sqrt{169} \\ =13 \end{gathered}$$

নির্ণেয় অতিভুজ 13 সে.মি.।

দেওয়া আছে, ভূমি= 3 সে.মি., অতিভুজ = 5 সে.মি.

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²

$$\begin{gathered} \sqrt{5^2}-3^2 \\ =\sqrt{16} \\ =4 \\ =4 cm \end{gathered}$$
নির্ণেয় লম্ব 4 সে.মি.।

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে $\angle$B = 90$°$. AB = 12 সে.মি. এবং AC = 13 সে.মি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

$$\begin{gathered} B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2 \\ =(13{)}^2-(12{)}^2=169-144=25 \\ BC =\sqrt{25}=5 \end{gathered}$$

নির্ণেয় BC এর মান 5 সে.মি.।

রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ: কোনো রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে কোনো রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলে উক্ত লম্বদ্বয়ের পাদবিন্দুর সংযোগ রেখাংশই বা মধ্যবর্তী দূরত্বই হলো ঐ রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

এখানে, AB রেখাংশের প্রান্তবিন্দুদ্বয় A ও B। এখন A ও B বিন্দু থেকে XY রেখার উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে AA' ও BB'। AA' লম্বের পাদবিন্দু A' এবং BB' লম্বের পাদবিন্দু B'। এই A'B' রেখাংশই হচ্ছে XY রেখার উপর AB রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ।

বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর কোনো বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ বলতে সেই বিন্দু থেকে উক্ত নির্দিষ্ট রেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুকে বুঝায়।

মনে করি, XY একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং P যেকোনো-বিন্দু। P বিন্দু থেকে XY রেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব PP' এবং এই লম্বের পাদবিন্দু P'। সুতরাং P' বিন্দু XY রেখার ওপর P বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপ।

এখানে, $∆$PQR এ PQ = PR এবং QR = 7 সে.মি.।

PQ এর P বিন্দু থেকে QR রেখার ওপর PT লম্ব আঁকি যা QR কে T বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, QR বাহুতে PQ এর লম্ব অভিক্ষেপ QT

আবার,

$$\begin{gathered} QT=\frac{1}{2}QR \\ =\frac{1}{2}\times 7 \\ =3.5 \end{gathered}$$

নির্ণেয় লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য 3.5 সে.মি.।

দেওয়া আছে, PS= 4 সে.মি., PR= 5 সে.মি.

$∆PRS$ সমকোণী ত্রিভুজে

$$\begin{gathered} RS= \sqrt{P{R}^2-P{S}^2} \\ =\sqrt{5^2-4^2} \\ =3 \end{gathered}$$

$QS = 3RS = 3 \times 3 =9 cm.$

$∆PQS$ সমকোণী ত্রিভুজে

$$\begin{gathered} PQ=\sqrt{P{S}^2+Q{S}^2} \\ =\sqrt{4^2+9^2} \\ =\sqrt{97} \\ =9.85 cm \end{gathered}$$

নির্ণেয় PQ এর দৈর্ঘ্য 9.85 সে.মি. (প্রায়)।

চিত্রে, AB $\perp$ BC হওয়ায় AB এর উপর BC এর লম্ব অভিক্ষেপ হবে 0.

AB এর উপর BC এর লম্ব অভিক্ষেপ = 0.

$∆$ ABC সমকোণী এবং $\angle$ABC =$45°$ হওয়ায় ABC একটি সমদ্বিবাহু সম.ে ত্রিভুজ।

AC= BC

BC এর উপর AB এর লম্ব অভিক্ষেপ BC.

$∆ACD$ হতে পাই,

$$\begin{gathered} AC=\sqrt{A{D}^2-C{D}^2} \\ =\sqrt{5^2-3^2} \\ =4 \end{gathered}$$

BC এর উপর AB এর লম্ব অভিক্ষেপ 4 সে.মি.।

স্থূলকোণী ত্রিভুজের উপপাদ্য: স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ কোণের সন্নিহিত অন্য দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফল এবং ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান।

চিত্রে, $∆$ABC ত্রিভুজে $\angle$ACB স্থূলকোণ এবং BC এর বর্ধিতাংশের উপর AC এর লম্ব অভিক্ষেপ CD.

$A{B}^2= A{C}^2+ B{C}^2+2.BC.CD$

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের উপপাদ্য: যেকোনো ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই নাতুর যেকোনো একটি ও তার উপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ পরিমাণ কম।

$∆$ ABC ত্রিভুজে ∠ACB সূক্ষ্মকোণ এবং BC এর উপর AC এর লম্ব অভিক্ষেপ CD.

$A{B}^2 -A{C}^2+B{C}^2-2.BC.CD.$

এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য: ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখন্ডক মধ্যমার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ।

চিত্রে, △ ABC এর AD মধ্যমা BC বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করেছে।

AB²+AC²-2 (AD²+ BD²).

দেওয়া আছে,

ABC স্থুলকোণী ত্রিভুজের AB = 7 সে.মি., AC = 5 সে.মি., BC = 2 সে.মি.

△ABC স্থুলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2+2.BC.CD$

$7^2=5^2+4^2+2.2.CD$

$CD=\frac{7^2-5^2-4^2}{4}=\frac{49-41}{4}=2$

CD এর মান 2 সে.মি.।

দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজে AC4 সে.মি., BC = 3 সে.মি. এবং CD = 267.67 ABC সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে,

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2. BC.CD$

$$\begin{gathered} =A{B}^2- 4^2+3^2-2.3.2 \\ =A{B}^2-16+9-12 \\ =A{B}^2-13 \\ AB=\sqrt{13} \\ =3.60 \end{gathered}$$

নির্ণেয় AB = 3.60 সে.মি. (প্রায়)

ধরি,$∆$ABC ত্রিভুজে, AB = c, AC = b,  BC = a এবং AD = d

D, BC এর মধ্যবিন্দু

$BD = CD =\frac{1}{2} a$

এখন, এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য হতে পাই,

$A{B}^2+A{C}^2=2(A{D}^2+B{D}^2)$

$c^2+b^2=2.d^2+2.(\frac{1}{2}a{)}^2$

$b^2+c^2=2d^2+\frac{a^2}{2}$

$2d^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2)}{2}$

$d^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}$

ইহাই নির্ণেয় সম্পর্ক।

দেওয়া আছে, একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 5,6 ও 7 একক।

ত্রিভুজটির মধ্যমাত্রয়ের বর্গের সমষ্টি

$\frac{3}{4}\times$(বাহু তিনটির বর্ণের সমষ্টি) বর্গ একক

$\frac{3}{4}\times (5^2+6^2+7^2)$ বর্গ একক

$\frac{3}{4}\times (25+36+49)$ বর্গ একক

$\frac{3}{4}\times 110$ বর্গ একক

=82.5 বর্গ একক

নির্ণেয় সমষ্টি 82. 5 বর্গ একক।

এখানে, $∆$PQM এ PQ-6 সে.মি., QM= 4 সে.মি. এবং PM = 5 সে.মি.।

QM এর মধ্যবিন্দু  L

P, L যোগ করি।

PL মধ্যমা QM বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করেছে।

$$\begin{gathered} QL=LM \\ =\frac{1}{2}\times 4 \\ =2 CM \end{gathered}$$

এখানে,$∆$PRD - 9 , PE = 4 সে.মি. DR = 6 সে.মি. এবং PE, DR এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক।

RE = DE

$$\begin{gathered} RE=\frac{1}{2}DR \\ =\frac{1}{2}\times 6 \\ =3 \end{gathered}$$

এখন, $∆$PER - এ ,$\angle$ PER = 90$°$ এবং অতিভুজ PR

$$\begin{gathered} P{R}^2=P{E}^2+R{E}^2=4^2+3^2=16+9=25 \\ PR=\sqrt{25 } \\ =5 \end{gathered}$$

নির্ণেয় PR = 5 সে.মি

ধরি, সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে d = 5 সে.মি., e = 6 সে.মি. f = 7 সে.মি. এবং অতিভুজ= c সে.মি.

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণের সমান।

অর্থাৎ, $3c^2=2(d^2+e^2+f^2)$

$$\begin{gathered} 3c^2=2(5^2+6^2+7^2 \\ =2(25+36+49) \\ =2\times 110 \\ =220 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} c^2=\frac{220}{3} \\ c=\sqrt{\frac{220}{3}} \\ c=8.56 \end{gathered}$$

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৪.56 সে.মি. (প্রায়)।

মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে d = 3 সে.মি., c = 4 সে.মি. ও f = 5 সে.মি. এবং অতিভুজ = c সে.মি.।

$2(d^2+e^2+f^2)=3c^2$

[$\therefore$সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণের সমান]

$$\begin{gathered} c^2=\frac{2}{3} (d^2+c^2+f^2) \\ = \frac{2}{3} (3^2+4^2+5^2) \\ = \frac{2}{3} (9+16+25) \\ =\frac{100}{3} \\ C=\sqrt{\frac{100}{3}} \\ =5.57 \end{gathered}$$

অতিভুজের দৈঘ্য 5.57 সেমি

এখানে, সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, a = 3 সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাসমূহের বর্গের সমষ্টি

$$\begin{gathered} =\frac{3}{2}{a}^2 \\ =\frac{3}{2}\times 3^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} =\frac{3}{2}\times 9 \\ =13.5 \end{gathered}$$

সমকোণী ত্রিভুজটির মধ্যমাসমূহের বর্গের সমষ্টি 13.5 বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের বর্গের সমন্টি 54 বর্গ একক।
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য হলে,
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রেসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণের সমান।

$3c^2=2\times$মধ্যমাত্রয়ের বর্গের সমষ্টি= $2\times 54$

বা, $c^2=\frac{2\times 54}{3}=36$

C=$\sqrt{36}$

c = 6 একক

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 6 একক।

মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যথাক্রমে d = 3 সে.মি., c = 4 সে.মি.  f = 6 সে.মি. এবং অতিভুজ = c সে.মি

$2(d^2+e^2+f^2)=3c^2$

[সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির দ্বিগুণ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তিনগুণের সমান]

$$\begin{gathered} c^2=\frac{2}{3} (d^2+c^2+f^2) \\ =\frac{2}{3} (3^2+4^2+6^2) \\ =\frac{2}{3} (9+16+36) \\ =\frac{122}{3} \\ c=\sqrt{\frac{122}{3}} \\ =6.37 \end{gathered}$$

সে.মি. (প্রায়)

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ AC = 2 সে.মি.

ABC সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাসমূহের বর্গের সমষ্টি

$=\frac{3}{2} A{C}^2$ বর্গ একক

=$\frac{3}{2}\times 2^2$ বর্গ একক

= 6 বর্গ একক

ABC সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যমাসমূহের বর্গের সমষ্টি 6 বর্গ সে.মি.।

চিত্রে, AB= 5 সে.মি., AC = 6 সে.মি., BC=৪ সে.মি.

D, BC এর মধ্যবিন্দু। তাহলে, BD=$\frac{1}{2}$BC=4 সে.মি

△ ABC এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে

AB² + AC²- 2(AD² + BD²)

বা, 5²+6²=2(AD²+4²)

বা, AD²= $\frac{25+36}{2}-16$

AD= 3.81 (প্রায়)।

AD মধ্যমার দৈর্ঘ্য 3.81 সে.মি. (প্রায়)।