সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন

প্রদত্ত রাশি:  ${\left(2-\frac{1}{3x}\right)}^5$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${\left(2-\frac{1}{3x}\right)}^5=2^5{+}^5{C}_1{2}^{5-1}{\left(-\frac{1}{3x}\right)}^1{+}^5{C}_2{2}^{5-2}{\left(-\frac{1}{3x}\right)}^2{+}^5{C}_3{2}^{5-3}{\left(-\frac{1}{3x}\right)}^3{+}^5{C}_4{2}^{5-4}{\left(-\frac{1}{3x}\right)}^4{+}^5{C}_5{2}^{5-5}{\left(-\frac{1}{3x}\right)}^5$

$=32+5\times 2^4\times \frac{-1}{3x}+10\times 2^3\times \frac{1}{9x^2}+10\times 2^2\times \frac{-1}{27x^3}+5\times 2^1\times \frac{1}{81x^4}+1\times 2^0\times \frac{-1}{243\times x^5}$

$=32-\frac{80}{3x}+\frac{80}{9x^2}-\frac{80}{27x^3}+\frac{10}{81x^4}-\frac{-1}{243x^5}$

নির্ণেয় বিস্তৃতি:  $32-\frac{80}{3x}+\frac{80}{9x^2}-\frac{80}{27x^3}+\frac{10}{81x^4}-\frac{-1}{243x^5}$

প্রদত্ত রাশি:  ${\left(y-\frac{1}{y^2}\right)}^5$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${\left(y-\frac{1}{y^2}\right)}^5=y^5 +{ }^5{C}_1{y}^{5-1}{\left(-\frac{1}{y^2}\right)}^1{+}^5{C}_2{y}^{5-2}{\left(-\frac{1}{y^2}\right)}^2{+}^5{C}_3{y}^{5-3}{\left(-\frac{1}{y^2}\right)}^3{+}^5{C}_4{y}^{5-4}{\left(-\frac{1}{y^2}\right)}^4{+}^5{C}_5{y}^{5-5}{\left(-\frac{1}{y^2}\right)}^5$

$=y^5 + 5y^4. \frac{1}{y^2}+{\frac{5.4}{1.2}}^2{y}^3.\frac{1}{y^4}-\frac{5.43}{1.2.3}{y}^2.\frac{1}{y^4}-\frac{5.4.3}{1.2.3}{y}^2.\frac{1}{y^6}-\frac{5.4.3.2}{1.2.3.4}y.\frac{1}{y^x}-\frac{1}{y^{10}}$

$=y^5-5y^2+ \frac{10}{y}-{\frac{10}{y^4}}^2+.\frac{5}{y^7}-\frac{1}{y^{10}}$

নির্ণেয় বিস্তৃতি  $=y^5-5y^2+ \frac{10}{y}-{\frac{10}{y^4}}^2+.\frac{5}{y^7}-\frac{1}{y^{10}}$

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^4=x^6+\left(\frac{6}{1}\right)x^5\left(\frac{1}{x^2}\right)+\left(\frac{6}{2}\right)x^4{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^2+\left(\frac{6}{3}\right)x^3{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^3+......$

$=x^6+6x^3+\frac{6.5}{1.2}{x}^4 \frac{1}{x^4}+\frac{6.5.4}{1.2.3}{x}^3\frac{1}{x^6}+......$

$=x^6+6x^3+15+20\frac{1}{x^3}+......$

নির্ণেয় বিস্তৃতি : $x^6+6x^3+15+20\frac{1}{x^3}+......$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে,

${\left(2x^2-\frac{1}{x^2} \right)}^8={\left(2x^2\right)}^8+{ }^8{C}_1{\left(2x^2\right)}^7 \left(-\frac{1}{x^2}\right){+}^8{C}_2{\left(2x^2\right)}^6 {\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^2{+}^8{C}_3{\left(2x^2\right)}^5 {\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^3+.....$

$=2^8.x^{16}-8.2^7.x^{14}.\frac{1}{x^2}+\frac{8.7}{1.2}.2^6.x^{12}.\frac{1}{x^4}-\frac{8.7.6}{1.2.3}.2^5.x^{10}.\frac{1}{x^6}+.....$

$=256x^{16}-1024x^{12}+1792x^8-1792x^4+.....$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $256x^{16}-1024x^{12}+1792x^8-1792x^4+.....$

k = 1 হলে, বীজগাণিতিক রাশিটি ${\left(1-\frac{x}{3}\right)}^7$

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${\left(1-\frac{x}{3}\right)}^7{=}^7{C}_{0 }{\left(-\frac{x}{3}\right)}^0{+}^7{C}_{1 }{\left(-\frac{x}{3}\right)}^1{+}^7{C}_{2 }{\left(-\frac{x}{3}\right)}^2{+}^7{C}_{3 }{\left(-\frac{x}{3}\right)}^3+...$

$=1-7.\frac{x}{3}+\frac{7.6}{1.2}.\frac{x^2}{9}-\frac{7.6.5}{1.2.3}.\frac{x^3}{27}+...$

$=1-\frac{7x}{3}+\frac{7x^2}{3}-\frac{35x^3}{27}+......$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $1-\frac{7x}{3}+\frac{7x^2}{3}-\frac{35x^3}{27}+......$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${\left(P+\frac{x}{2}\right)}^6=P^6+{ }^6{C}_1{P}^{6-1} {\left(\frac{x}{2}\right)}^1+{ }^6{C}_2{P}^{6-2} {\left(\frac{x}{2}\right)}^2+......$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

${\left(5+\frac{y}{3}\right)}^7=5^7 {+}^7{C}_1{5}^{7-1}{\left(\frac{y}{3}\right)}^1{+}^7{C}_2{5}^{7-2}{\left(\frac{y}{3}\right)}^2{+}^7{C}_3{5}^{7-3}{\left(\frac{y}{3}\right)}^3+......$

$=78125+7\times 5^6\times \frac{y}{3}+21\times 5^5\times \frac{y^2}{9}+35\times 5^4\times \frac{y^3}{27}+.....$

$=78125+\frac{109375}{3}y+\frac{21875}{3}{y}^2+\frac{21875}{3}{y}^3+.....$

নির্ণেয় বিস্তৃতি :  $78125+\frac{109375}{3}y+\frac{21875}{3}{y}^2+\frac{21875}{3}{y}^3+.....$

প্রদত্ত রাশি= ${\left(3+\frac{a}{2}\right)}^6$

দ্বিপদী উপপাদ্যের করে পাই,

$3^6{+}^6{C}_1{5}^{6-1}{\left(\frac{a}{2}\right)}^1{+}^6{C}_2{5}^{6-2}{\left(\frac{a}{2}\right)}^2{+}^6{C}_3{5}^{6-3}{\left(\frac{a}{2}\right)}^3+......$

$=729+6\times 3^5\times \frac{a}{2}+15\times 3^4\times \frac{a^2}{2^2}+20\times 3^3\times \frac{a^3}{2^3} +......$

$=729+729a+\frac{1215}{4}{a}^2+\frac{135}{2}{a}^3 +......$

নির্ণেয় বিস্তৃতি $729+729a+\frac{1215}{4}{a}^2+\frac{135}{2}{a}^3 +......$

$(2.9{)}^4=(2+0.9{)}^4$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে,

$(2+0.9{)}^4$$=2^4 {+}^4{C}_1{2}^{4-1}{\left(0.90\right)}^1{+}^4{C}_{2 }{2}^{4-2}{\left(0.90\right)}^2{+}^4{C}_{3 }{2}^{4-3}{\left(0.90\right)}^3{+}^4{C}_4{2}^{4-4}{\left(0.90\right)}^4$

$= 16 + (4\times 8\times 0.9) + (6\times 4\times 0.81) + (4\times 2\times 0.729) + (1\times 1\times 0.6561)$

$= 16 + 28.8 + 19.44 + 5.832 + 0.6561$

$= 70.728$ (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)

নির্ণেয় মান $70.728$ (তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত)।

${(x^2+\frac{2}{x})}^6$ এর বিস্তৃতিতে,

(r + 1) তম পদ= ${}^6{C}_{r }{\left(x^2\right)}^{6-r }{\left(\frac{2}{x}\right)}^r{=}^6{C}_{r }{x}^{12-2r }.2^r.x^{-r}$

${=}^6{C}_{r }.2^r.x^{12-2r-r}$ ${=}^6{C}_{r }.2^r.x^{12-3r}$

(r + 1) তম পদ 12 - 3r = 0;  3r = 12 $\therefore$  r = 4

নির্ণেয় মান: r = 4

ধরি, $(x^2+\frac{1}{x^2}){ }^4$ এর বিস্তৃতিতে (r + 1) তম পদ x মুক্ত।

$\therefore$  $T_{r+1}=\left(\frac{4}{r}\right){\left(x^2\right)}^{4-r}{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^r$

$=\left(\frac{4}{r}\right) x^{8-2r} .\frac{1}{x^{2r}}$$=\left(\frac{4}{r}\right) x^{8-2r-2r}$ $=\left(\frac{4}{r}\right) x^{8-4r}$

প্রশ্নমতে, 8 - 4r = 0 বা, 4r = 8 বা $r=\frac{8}{4}=2$

$\therefore$ x মুক্ত পদের মান $=\left(\frac{4}{2}\right) =\frac{4.3}{1.2}=6$

নির্ণেয় মান: 6

মনে করি, ${\left(y-\frac{1}{y}\right)}^6$এর বিস্তৃতিতে (r + y) তম পদ y বর্জিত

$T_{r+1}=\left(\frac{6}{r}\right)y^{6-r}{\left(-\frac{1}{y}\right)}^r=\left(\frac{6}{r}\right)y^{6-r} \frac{{\left(-1\right)}^r}{y^r}=\left(\frac{6}{r}\right)y^{6-2r}{(-1)}^r$

প্রশ্নমতে, 6-2r=0 বা, 6 = 2r $\therefore$ r=3

$\therefore$ y বর্জিত পদ$=\left(\frac{6}{3}\right){\left(-1\right)}^3={\frac{6.5.4}{1.2.3}}^r\left(-1\right)=-20$

${\left(y+\frac{1}{y}\right)}^4$ এর বিস্তৃতিতে (r + 1) তম পদ

${=}^4{C}_{r }{y}^{4-r} {\left(\frac{1}{y}\right)}^r{=}^4{C}_{r }{y}^{4-r} .y^{-r}{=}^4{C}_{r }{y}^{4-2r}$

শর্তমতে 4 - 2r = 0 বা, r - 2

$\therefore$ y বর্জিত পদ ${=}^4{C}_2$= 6

নির্ণেয় y বর্জিত পদের মান 6.

${\left(x+\frac{1}{x^3}\right)}^6$ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা

$= n + 1$

$= 6+ 1=7$ যা বিজোড় সংখ্যা।

$\therefore$ এর মধ্যপদ ১টি এবং তা $\frac{6}{2}+1$ বা 4 তম পদ

$\therefore$ 4 তম বা 3 + 1 তম পদ $={ }^6{C}_3 x^{6-3}{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^3=20.x^3.\frac{1}{x^6}=\frac{20}{x^3}$

${\left(x-\frac{k}{3}\right)}^4=x^4+\left(\frac{4}{1}\right)x^3\left(-\frac{k}{3}\right)+......$

$=x^4+\frac{4}{3}k{x}^3+......$

এখানে, $x^3$ এর সহগ = $-\frac{4}{3}k$

শর্তমতে,  $-\frac{4}{3}k=-12$

বা,  $k=\frac{12\times 3}{4}$

$\therefore$ k = 9

$\therefore$k এর মান 9.

         উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

${\left(2y+\frac{3}{y^2}\right)}^6={\left(2y\right)}^6+6.{\left(2y\right)}^{6-1}.\frac{3}{y^2}+\frac{6.\left(6-1\right)}{2}{\left(2y\right)}^{6-2}.{\left(\frac{3}{y^2}\right)}^2+......$

$=64y^6+6.32.y^5.\frac{3}{y^2}+\frac{6.5}{2}.16 y^4.\frac{9}{y^4}+......$

$=64y^6+576y^3+2160+......$

$\therefore$ y মুক্ত পদ = 2160

নির্ণেয় মান 2160.

${\left(y^3+\frac{1}{y^3}\right)}^6$ এর বিস্তৃতিতে (r+1) তম-পদ y মুক্ত পদ

$\therefore$  $\left(r+1\right)$ তম পদ = ${}^6{C}_{r }{\left(y^3\right)}^{6-r }{\left(\frac{1}{y^3}\right)}^t$

${=}^6{C}_{r }{y}^{18-3r-3r }{=}^6{C}_{r }{y}^{18-3r-3r}{=}^6{C}_{r }{y}^{18-6r}$

শর্তমতে, 18-6r=0 বা r = 3

$\therefore$ y মুক্ত পদের মান ${=}^6{C}_{3 }=20$

নির্ণেয় পদ 20.

প্রদত্ত রাশি= ${\left(2x^2-\frac{1}{x^2}\right)}^8$

$\therefore$ r + 1 তম পদে= ${}^8{C}_{r }{\left(2x^2\right)}^{8-r}. {\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^r$

${=}^8{C}_{r }{2}^{8-r}.x^{16-2r} .{\left(-1\right)}^r.x^{-2r}$

$={\left(-1\right)}^r{.}^8{C}_{r }{2}^{8-4}.x^{16-4r}$

x বর্জিত পদের জন্য, 16 - 4r = 0

বা, 4r = 16 $\therefore$ r = 4

$\therefore$ x বর্জিত পদ$={\left(-1\right)}^4{.}^8{C}_{4 }.2^{8-4}{=}^8{C}_{4 }{2}^4 =70\times 16=1120$

নির্ণেয় পদ 1120.

${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$এর বিস্তৃতিতে r + 1 তম পদ

${=}^6{C}_r{x}^{6-r}.{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^r{=}^6{C}_r{x}^{6-x}.x^{-2r}{=}^6{C}_r{x}^{6-3r}$

x মুক্ত পদের জন্য, 6 - 3r = 0

বা, 3r = 6

$\therefore$ r = 2

$\therefore$ x মুক্ত পদ= ${}^6{C}_2$=15

নির্ণেয় পদের মান 15.

${\left(2x^2+\frac{1}{2x^2}\right)}^6$ এর বিস্তৃতিতে

(r + 1) তম পদ ${=}^6{C}_r {\left(2x^2\right)}^{6-r }{\left(-\frac{1}{2x^2}\right)}^r$

${=}^6{C}_r 2^{6-r }.x^{12-2r}.{\left(-1\right)}^r.2^{-r}.x^{-2r}$

${=}^6{C}_r 2^{6-2r }.x^{12-4r}.{\left(-1\right)}^r$

পদটি x মুক্ত হলে, 12 - 4r = 0

বা. 4r = 12

$\therefore$ $r = 3$

$\therefore$ (3+1) বা 4 তম পদ x মুক্ত।

ধরি,

${\left(3x^2+\frac{1}{3x^2}\right)}^4$-এর বিস্তৃতিতে (r + 1) তম পদটি x বর্জিত

(r + 1) তম পদ${=}^4{C}_{r }{\left(3x^2\right)}^{4-r}{\left(-\frac{1}{3x^2}\right)}^r$

$=(-1{)}^r .{ }^4{C}_r 3^{4-2r }.x^{8-4r}$

পদটি x বর্জিত বলে, 8 - 4r = 0

বা, 4r =8

$\therefore$ r=2

$\therefore$ x বর্জিত পদের মান$=(-1{)}^r .{ }^4{C}_r 3^{4-2r}$

$=(-1{)}^2 .{ }^4{C}_2 3^{4-4}$

$=1 .\frac{4.3}{1.2}.3^0=6$

নির্ণেয় মান 6.

${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$ এর বিস্তৃতিতে r + 1 তম পদ x বর্জিত

${=}^6{C}_r{x}^{6-r}{x}^{-2r}$

${=}^6{C}_r{x}^{6-3r}$

$6 - 3r = 0$ বা, $3r=6$ $\therefore$ $r=2$

$\therefore$(2+1) বা 3 তম পদ x বর্জিত।

${\left(2y^2+\frac{1}{y}\right)}^{12}$এর বিস্তৃতিতে r + 1  তম পদ

${=}^{12}{C}_{r }{\left(2y^2\right)}^{12-r}. {\left(-\frac{1}{y}\right)}^r$

${=}^{12}{C}_{r }{\left(-1\right)}^{r }. 2^{12-r}.y^{24-2r-r}$

${=}^{12}{C}_{r }{\left(-1\right)}^r .2^{12-r}.y^{24-3r}$

y মুক্ত পদের জন্য 24 - 3r = 0

বা, r = 8

$\therefore$ (8 + 1)তম বা 9তম পদ y মুক্ত।

প্রদত্ত দ্বিপদী রাশি= $(x-3y{)}^6$

দ্বিপদী রাশিটির ঘাত, n = 6 যা একটি জোড় সংখ্যা।

$\therefore$ দ্বিপদী রাশির মধ্যপদ $=\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম পদ $=\left(\frac{6}{2}+1\right)$ তম পদ

= (3 + 1) তম পদ = 4 তম পদ

রাশিটির বিস্তৃতিতে 4 তম বা (3+1) তম পদ$=6C_3{x}^{6-3}{\left(-3y\right)}^3$

$=20x^3.\left(-27y^3\right)$

$=-540x^3{y}^3$

নির্ণেয় মধ্যপদ$=-540x^3{y}^3$

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{10}$ এর বিস্তৃতিতে  n = 10 যা জোড় সংখ্যা

মধ্যপদ হবে  $\left(\frac{n}{2}+1\right)$ তম বা $\left(\frac{10}{2}+1\right)$ বা 6 তম পদ

6 তম পদ বা (5+1) তম পদ ${=}^{10 }{C}_{5 }{x}^{10-5}{\left(\frac{1}{x}\right)}^5$

${=}^{10 }{C}_{5 }{x}^5. \frac{1}{x^5}$

${=}^{10 }{C}_5$

নির্ণেয় মধ্যপদ ${}^{10 }{C}_5$ বা $252.$

প্রদত্ত রাশি= ${\left(3x-\frac{1}{4x}\right)}^{2n}$

এখানে, 2n একটি জোড় সংখ্যা হওয়ায় রাশিটির বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হবে বিজোড় সংখ্যক। তাই মধ্যপদ থাকবে 1 টি।

এবং মধ্যপদটি হলো $\left(\frac{2n}{2}+1\right)$ তম পদ = (n + 1) তম পদ

$\therefore$ মধ্যপদ 1 টি এবং তা (n+1) তম পদ।

প্রদত্ত রাশি $={\left(x-\frac{1}{x^2}\right)}^{21}$

এখানে, n = 21 একটি বিজোড় সংখ্যা

রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ হবে ২টি। মধ্যপদ হবে $\left(\frac{n+1}{2}\right)$ তম

পদ  $\left(\frac{21+1}{2}\right)$ তম পদ বা 11 তম পদ

এবং  $\left(\frac{n+3}{2}\right)$ তম পদ

বা, $\left(\frac{21+3}{2}\right)$ তম পদ বা 12 তম পদ

$\therefore$ মধ্যপদ 2 টি এবং তা 11 তম পদ ও 12 তম পদ।

প্রদত্ত রাশি $=(8-12x^{-1}+6x^{-2}-x^{-3}{)}^3$

$=(8-\frac{12}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x^3}{)}^3$

$={\left\{{\left(2\right)}^3-3.{\left(2\right)}^2.\frac{1}{x}+3.2.{\left(\frac{1}{x}\right)}^2-{\left(\frac{1}{x}\right)}^3\right\}}^3$

$={\left\{{\left(2-\frac{1}{x}\right)}^3\right\}}^3={\left(2-\frac{1}{x}\right)}^9$

এখানে, n = 9 বিজোড় বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা হবে জোড় । এক্ষেত্রে মধ্যপদ থাকবে 2 টি।

$\therefore$ মধ্যপদ 2টি।

প্রদত্ত রাশি$={\left(x^2+x^{-2}+2\right)}^{2n}$

$={\left\{{\left(x\right)}^2+2.x^2.\frac{1}{x^2}+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2\right\}}^{2n}$

$$\begin{gathered} ={\left\{{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2\right\}}^{2n} \\ ={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{4n} \end{gathered}$$

শর্তমতে, $4n + 1 = 17$

বা, $4n = 17 - 1$

বা, $4n = 16$

$\therefore$ $n = 4$

নির্ণেয় n এর মান 4.

প্রদত্ত রাশি: $(2+3x{)}^6$

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,

$(2+3x{)}^6=2^6{+}^6{C}_1{2}^{6-1}\left(3x\right){+}^6{C}_{2 }{2}^{6-2}{\left(3x\right)}^2{+}^6{C}_{3 }{2}^{6-3}{\left(3x\right)}^3+......$$=64+6.2^5\left(3x\right)+\frac{6.5}{1.2}.2^4{\left(3x\right)}^2+\frac{6.5.4}{1.2.3}.2^3{\left(3x\right)}^3+.....$

$=64+576x+2160x^2+4320x^3+.....$

$\therefore$ x³ এর সহগ = 4320.

${\left(x-\frac{k}{3}\right)}^4$

$$\begin{gathered} =x^4+\left(\frac{4}{1}\right)x^3\left(-\frac{k}{3}\right)+.... \\ =x^4-\frac{4}{1}k{x}^3+..... \end{gathered}$$

এখানে, x³ এর সহগ = $-\frac{4}{3}k$

শর্তমতে,  $-\frac{4}{3}k=-12$

বা, $k=\frac{12\times 3}{4}$

$\therefore$ $k = 9$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)}^5={\left(x^3\right)}^5+\left(\frac{5}{1}\right){\left(x^3\right)}^4 \left(-\frac{1}{x^3}\right)+\left(\frac{5}{2}\right){\left(x^3\right)}^3 .{\left(-\frac{1}{x^3}\right)}^2+........$

$=x^{15}+5.x^{12} \left(-\frac{1}{x^3}\right)+\frac{5.4}{1.2}{x}^9 .{\frac{1}{x^6}}^2+........$

$=x^{15}+5x^9+10x^{3 }+.....$

$\therefore$ $x^3$ এর সহগ = 10

নির্ণেয় $x^3$এর সহগ 10.

$(2-4x{)}^4=2^4+\left(\frac{4}{1}\right)2^3\left(-4x\right)+\left(\frac{4}{2}\right)2^2{\left(-4x\right)}^2+.....$

$=16+4.8(-4x)+\frac{4.3}{1.2}.4\times 16x^2+.......$

$=16-128x+384x^2+......$

$\therefore$ $x^2$ এর সহগ = 384.

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${\left(x-\frac{a}{4}\right)}^6=x^6+\left(\frac{6}{1}\right)x^5 \left(-\frac{a}{4}\right)+\left(\frac{6}{2}\right)x^4 {\left(-\frac{a}{4}\right)}^2+\left(\frac{6}{3}\right)x^3 {\left(-\frac{a}{4}\right)}^3+....$

$x^3$ এর সহগ $=\left(\frac{6}{3}\right) {\left(-\frac{a}{4}\right)}^3=20\times \frac{-a^3}{64}=\frac{-5a^3}{16}$

$\frac{-5a^3}{16}=-540$

$\therefore$ $a^3=1728={12}^3$

বা $a =12$

নির্ণেয় মান 12

$(a+2b{)}^5=a^5{+}^5{C}_{1 }{a}^{5-1}{\left(2b\right)}^1{+}^5{C}_{1 }{a}^{5-2}{\left(2b\right)}^2+.....$

$=a^5{+}^5{C}_{1 }.a^{4}2b{+}^5{C}_2 a^3 {2^{2}b}^2+.....$

$a^3{b}^2$ এর সহগ ${=}^5{C}_2\times 2^2=40$

নির্ণেয় সহগ 40.

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

$(x+y{)}^4=x^4+\left(\frac{4}{1}\right)x^{4-1}{y}^1+\left(\frac{4}{2}\right)x^{4-2}{y}^2+\left(\frac{4}{3}\right)x^{4-3}{y}^3+\left(\frac{4}{4}\right)x^{4-4}{y}^4$

$=x^4+4\times x^{3}y+6\times x^2{y}^2+4\times x{y}^3+1\times x^0\times y^4$

$=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4$

$\therefore$ সহগগুলোর যোগফল = 1+4+6+4+1=16

নির্ণেয় যোগফল 16.

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

${(5 + 3y)}^3 = 5^3 {+}^3{C}_1 5^{3-1} {\left(3y\right)}^1{+}^3{C}_2 5^{3-2} {\left(3y\right)}^2+{ }^3{C}_3 5^{3-3} .{\left(3y\right)}^3$

$=125+3\times 25\times 3y+3\times 5\times 9y^2+1\times 5^0\times 27y^3$

$=125+225y+135y^2+27y^3$

শর্তমতে, $225y = 1125$

বা,  $y = \frac{1125}{225}$

$\therefore y = 5$

নির্ণেয় মান 5

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

$\left(h+\frac{1}{h^2}\right)=h^6{+}^6{C}_1{h}^{6-1}{\left(\frac{1}{h^2}\right)}^1{+}^6{C}_2{h}^{6-2}{\left(\frac{1}{h^2}\right)}^2{+}^6{C}_3{h}^{6-3}{\left(\frac{1}{h^2}\right)}^3+.....$

$=h^6+6h^{5 }\times \frac{1}{h^2}+15h^4{\frac{1}{h^4}}^2+20\times h^3\times \frac{1}{h^6}+.....$

$=h^6+6h^3+15+\frac{20}{h^3}+.....$

শর্তমতে, $\frac{20}{h^3}=0.02$

বা, $h^3=\frac{20}{0.02}$

বা, $h^3=1000$

$\therefore$ $h=10$

নির্ণেয় মান 10.

আমরা জানি, ${}^n{C}_n=1$

বা, $\frac{n!}{n! (n-n)!}=1$

বা, $\frac{n!}{n! \times 0!}=1$

বা, $\frac{1}{0!}=1$

$\therefore$ $0!=1$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\left(\frac{n}{2}\right)=\left(\frac{n}{3}\right)$

বা, $\frac{n\left(n-1\right)}{1.2}=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{1.2.3}$

বা, $1=\frac{n-2}{3}$

বা, $n - 2 = 3$

$\therefore$ $n = 3 + 2 = 5$

নির্ণেয় মান: n = 5

দেওয়া আছে, ${}^n{C}_4{=}^n{C}_3$

বা, $\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{1.2.3.4}=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{1.2.3}$

বা, $\frac{n-3}{4}=1$

বা, $n - 3 = 4$

বা, $n = 4 + 3$

$\therefore$ $n = 7$

নির্ণেয় মান $7$.

দেওয়া আছে, r = 0

এখন, ${}^n{C}_r{=}^n{C}_0=\frac{n!}{0! (n-0)!}=\frac{n!}{1\times n!}$

$=\frac{n!}{n!}=1$

$\therefore$${}^n{C}_r=1$ যখন r = 0

প্রদত্ত রাশি = $\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{n\left(n-1\right)!}=\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)!}{n\left(n-1\right)\left(n-2\right) !}=\frac{1}{n}$

নির্ণেয় মান: $\frac{1}{n}$

প্রদত্ত রাশি${=}^7{C}_1{+}^7{C}_6=\frac{7!}{1!\left(7-1\right)!}+\frac{7!}{6!\left(7-6\right)!}$

$=\frac{7!}{1!.6!}+\frac{7!}{6!.1!}$

$=\frac{7.6!}{1.6!}+\frac{7.6!}{6!.1}$

$=7+7=14$

নির্ণেয় মান: 14

দেওয়া আছে,  $\left(\frac{n}{2}\right)=\left(\frac{n}{3}\right)$

বা,$\frac{n\left(n-1\right)}{1.2}=\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{1.2.3}$

বা, $1=\frac{n\left(n-1\right)}{3}$

বা, $n-2=3$

$\therefore$$n = 3 + 2 = 5$