আমরা এ পর্যন্ত${\left(1+y\right)}^n$ এর বিস্তৃতি নিয়ে আলোচনা করেছি। এই পর্যায়ে আমরা দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ আকার ${\left(x+y\right)}^n$ নিয়ে আলোচনা করব যেখানে $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ${\left(x+y\right)}^n$ এর বিস্তৃতি সাধারণভাবে দ্বিপদী উপপাদ্য নামে পরিচিত।

আমরা জানি,

${\left(1+y\right)}^n=1+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)y+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)y^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)y^3+............+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)y^n$

এখন, ${\left(x+y\right)}^n={\left[x\left(1+\frac{y}{x}\right)\right]}^n=x^n{\left(1+\frac{y}{x}\right)}^n$

$$\begin{gathered} \therefore {\left(x+y\right)}^n=x^n\left[1+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)\left(\frac{y}{x}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right){\left(\frac{y}{x}\right)}^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right){\left(\frac{y}{x}\right)}^3+...........+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right){\left(\frac{y}{x}\right)}^n\right] \\ \therefore {\left(x+y\right)}^n=x^n\left[1+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)\left(\frac{y}{x}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)\frac{y^2}{x^2}+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)\frac{y^3}{x^3}+......+\frac{y^n}{x^n}\right] \left[\because \left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)=1\right] \\ =x^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)\left(x^n.\frac{y}{x}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)\left(x^n.\frac{y^n}{x^2}\right)+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)\left(x^n.\frac{y^3}{x^3}\right)+......+x^n.\frac{y^n}{x^n} \\ {\left(x+y\right)}^n=x^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}y+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}{y}^2+\left(\begin{array}{c}n\\ 3\end{array}\right)x^{n-3}{y}^3+........+y^n \end{gathered}$$

এটিই হচ্ছে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাধারণ আকার। লক্ষণীয় এই বিস্তৃতি${\left(1+y\right)}^n$ এর অনুরূপ। এখানে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে 0 পর্যন্ত যোগ করা হয়েছে। আরো লক্ষণীয়, প্রতি পদে $x$ ও $y$ এর ঘাতের যোগফল দ্বিপদীর ঘাতের সমান। প্রথম পদে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে শুরু হয়ে সর্বশেষ পদে শূন্য। ঠিক বিপরীতভাবে $y$ এর ঘাত প্রথম পদে শূন্য থেকে শুরু হয়ে শেষ পদে $n$ হয়েছে।

উদাহরণ ৩. ${\left(x+y\right)}^5$ কে বিস্তৃত কর এবং উহা হইতে ${\left(3+2x\right)}^5$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান:

$$\begin{gathered} {\left(x+y\right)}^5=x^5+\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)x^{4}y+\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)x^3{y}^2+\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)x^2{y}^3+\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)x{y}^4+y^5 \\ =x^5+5x^{4}y+\frac{5.4}{1.2}{x}^3{y}^2+\frac{5.4.3}{1.2.3}{x}^2{y}^3+\frac{5.4.3.1}{1.2.3.4}x{y}^4+y^5 \\ =x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5 \end{gathered}$$

$\therefore$নির্ণেয় বিস্তৃতি ${\left(x+y\right)}^5=x^5+5x^{4}y+10x^3{y}^2+10x^2{y}^3+5x{y}^4+y^5$

এখন $x=3$ এবং $y=2x$ বসাই

$$\begin{gathered} {\left(3+2x\right)}^5=3^5+5.3^4\left(2x\right)+10.3^3.{\left(2x\right)}^2+10.3^2{\left(2x\right)}^3+5.3\left(2x\right)+{\left(2x\right)}^5 \\ =243+810x+1080x^2+720x^3+240x^4+32x^5 \\ \therefore {\left(3+2x\right)}^5=243+810x+1080x^2+720x^3+240x^4+32x^5 \end{gathered}$$

 উদাহরণ ৪. ${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$ কে $x$ এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং $\mathrm{x}$ মুক্ত পদটি শনাক্ত কর।
 

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$$\begin{gathered} {\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6=x^6+\left(\begin{array}{c}6\\ 1\end{array}\right)x^5\left(\frac{1}{x^2}\right)+\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)x^4{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^2+\left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)x^3{\left(\frac{1}{x^2}\right)}^3+....... \\ =x^6+6x^3+\frac{6.5}{1.2}{x}^4\frac{1}{x^4}+\frac{6.5.4}{1.2.3}{x}^3\frac{1}{x^6}+...... \\ =x^6+6x^3+15+20\frac{1}{x^3}+....... \end{gathered}$$
$\therefore$নির্ণেয় বিস্তৃতি $x^6+6x^3+15+20\frac{1}{x^3}+......$ এবং $x$ মুক্ত পদ $15$