সরল করুনঃ $\frac{1}{{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(1+\sqrt{5}\right)}^2}$

প্রদত্ত রাশি,

\[ \frac{1}{(1-\sqrt{5})^2} + \frac{1}{(1+\sqrt{5})^2} \]

প্রথমে, হরের পদগুলো সরল করি:

আমরা জানি, \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) এবং \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

সুতরাং, প্রথম হরের জন্য:

\[ (1-\sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \]

\[ = 1 - 2\sqrt{5} + 5 \]

\[ = 6 - 2\sqrt{5} \]

এবং দ্বিতীয় হরের জন্য:

\[ (1+\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \]

\[ = 1 + 2\sqrt{5} + 5 \]

\[ = 6 + 2\sqrt{5} \]

এখন, প্রদত্ত রাশিটি হবে:

\[ \frac{1}{6 - 2\sqrt{5}} + \frac{1}{6 + 2\sqrt{5}} \]

ভগ্নাংশ দুটি যোগ করার জন্য, ল.সা.গু. (LCM) করি। ল.সা.গু. হলো \((6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5})\)

\[ = \frac{(6 + 2\sqrt{5}) + (6 - 2\sqrt{5})}{(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5})} \]

লবকে সরল করি:

\[ 6 + 2\sqrt{5} + 6 - 2\sqrt{5} = 12 \]

হরকে সরল করি। আমরা জানি, \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)

সুতরাং, \( (6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 \)

\[ = 36 - (2^2 \cdot (\sqrt{5})^2) \]

\[ = 36 - (4 \cdot 5) \]

\[ = 36 - 20 \]

\[ = 16 \]

সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়:

\[ \frac{12}{16} \]

ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করি:

\[ \frac{12 \div 4}{16 \div 4} = \frac{3}{4} \]

সরলীকরণের এই পদ্ধতিটি মূলত বীজগাণিতিক সূত্র \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) এবং \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) এর প্রয়োগের উপর নির্ভরশীল। দুটি ভগ্নাংশের যোগফল নির্ণয়ের জন্য তাদের হরগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) ব্যবহার করা হয়। এখানে, \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\) সূত্রটি হরকে মূলদ সংখ্যায় রূপান্তর করতে সাহায্য করে। এই ধরণের গাণিতিক সমস্যাগুলি সাধারণত জব এক্সাম (Job Exam) এবং উচ্চতর শ্রেণীর গণিত পরীক্ষায় আসে, যেখানে বীজগাণিতিক সূত্র এবং ভগ্নাংশের সরলীকরণ দক্ষতা যাচাই করা হয়।