সাধারণ হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশে প্রকাশ কর

নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলোঃ $\frac{x^2}{xy},\frac{y^2}{yz},\frac{z^2}{zx}$

$$\begin{gathered} xy,yz zx =xyz\therefore \frac{x^2}{xy}=\frac{x^2\times z}{xy\times z}=\frac{x^{2}z}{xyz}\therefore \frac{y^2}{yz}=\frac{y^2\times x}{yz\times x}=\frac{x{y}^2}{xyz}\therefore \frac{z^2}{zx}=\frac{z^2\times y}{zx\times y}=\frac{y{z}^2}{xyz} \\ \therefore \frac{x^{2}z}{xyz},\frac{x{y}^2}{xyz}\frac{y{z}^2}{xyz} \end{gathered}$$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো $\frac{x-y}{xy},\frac{y-z}{yz},\frac{z-x}{zx}$

এখানে, হর xy, yz এবং zx এর ল. সা. গু. = xyz

অতএব, ১ম ভগ্নাংশ= $\frac{x-y}{xy}=\frac{(x-y)z}{xyz}=\frac{z(x-y)}{xyz}$

২য় ভগ্নাংশ = $\frac{y-z}{yz}=\frac{(y-z)x}{yzx}=\frac{x(y-z)}{xyz}$

৩য় ভগ্নাংশ = $\frac{z-x}{zx}=\frac{(z-x)y}{zxy}= \frac{y(z-x)}{xyz}$

$\therefore$ নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো= $\frac{z(x-y)}{xyz}$,$\frac{x(y-z)}{xyz}$,$\frac{y(z-x)}{xyz}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো = $\frac{x}{x-y},\frac{y}{x+y},\frac{z}{x(x+y)}$

এখানে, হর  x - y, x+y, x(x + y) এর ল.সা.গু. x(x−y) (x+y)

অতএব, ১ম ভগ্নাংশ= $\frac{x}{x-y}=\frac{x.x(x+y)}{(x-y)x(x+y)}= \frac{x^2(x+y)}{x(x^2-y^2)}$

২য় ভগ্নাংশ = $\frac{y}{x+y}= \frac{y.x(x-y)}{(x+y)x(x-y)}= \frac{xy(x-y)}{x(x^2-y^2)}$

৩য় ভগ্নাংশ = $\frac{z}{x(x+y)}=\frac{z(x-y)}{x(x+y)(x-y)}= \frac{z(x-y)}{x(x^2-y^2)}$

.:. নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো $\frac{x^2(x+y)}{x(x^2-y^2)}$,$\frac{xy(x-y)}{x(x^2-y^2)}$,$\frac{z(x-y)}{x(x^2-y^2)}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো = $\frac{x+y}{{(x-y)}^2},\frac{x-y}{x^3+y^3},\frac{y-z}{x^2-y^2}$

এখানে, ১ম ভগ্নাংশের  হর = (x - y)²

২য় ভগ্নাংশের হর =$=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

এবং ৩য় ভগ্নাংশের হর= $=x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

ভগ্নাংশের হরগুলোর লসাগু = $(x-y{)}^2 (x+y\left)\right(x^2-xy+y^2)$

১ম ভগ্নাংশ  $\frac{x+y}{{(x-y)}^2}= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{{(x-y)}^2(x^3+y^3)}=\frac{(x+y)(x^3+y^3)}{{(x-y)}^2(x^3+y^3)}$

২য় ভগ্নাংশ =$\frac{x-y}{x^3+y^3}=\frac{(x-y){(x-y)}^2}{(x^3+y^3){(x-y)}^2}=\frac{{(x-y)}^3}{(x-y)2(x^3+y^3)}$

এবং ৩য়  ভগ্নাংশ =

$$\begin{gathered} \frac{(y-z)}{x^2-y^2}=\frac{(y-z)(x-y)(x^2-xy+y^2)}{{(x-y)}^2(x-y)(x^2-xy+y^2)} \\ =\frac{(y-z)(x-y) (x^2-xy+y^2)}{{(x-y)}^2(x^3+y^3)} \end{gathered}$$

নির্নেয় ভগ্নাংশ= $\frac{(x+y)(x^3+y^3)}{{(x-y)}^2(x^3+y^3)}, \frac{{(x-y)}^3}{{(x-y)}^2(x^3+y^3)}$ এবং $\frac{(y-z)(x-y)(x^2-xy+y^2)}{{(x-y)}^2(x^3+y^3)}$.

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো $\frac{a}{a^3+b^3}, \frac{b}{(a^2+ab+b^2)},\frac{c}{a^3-b^3}$

এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর = a³ + b³ = (a + 5)(a² - ab + b²)

২য় ভগ্নাংশের হর   = a² + ab + b²

৩য় ভগ্নাংশের হর  = a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

$\therefore$ ভগ্নাংশের হরগুলোর ল.সা.গু. $=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)$

                                                         $=(a^3+b^3)(a^3-b^3)$

১ম ভগ্নাংশ = $\frac{a}{a^3+b^3}=\frac{a(a^3-b^3)}{(a^3+b^3)(a^3-b^3)} = \frac{a(a^3-b^3)}{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}$

২য়  ভগ্নাংশ = $$\begin{gathered} \frac{b}{a^2+ab+b^2}=\frac{b(a-b)(a^3+b^3)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)} \\ =\frac{b(a-b)(a^3+b^3)}{(a^3+b^3)(a^3-b^3)} \end{gathered}$$

এবং ৩য় ভগ্নাংশ= $\frac{c}{a^3-b^3}=\frac{c(a^3+b^3)}{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}=\frac{c(a^3+b^3)}{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}$

নির্ণেয় ভগ্নাংশ = $\frac{a(a^3-b^3)}{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}$,$\frac{b(a-b)(a^3+b^3)}{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}$,$\frac{c(a^3+b^3)}{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো $a/(a^3+b^3),b/(a^2+ab+b^2),c/(a^3-b^3)$

এখানে, ১ম ভগ্নাংশের হর  $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2$

২য় ভগ্নাংশের হর $a^2+ab+b^2$

৩য় ভগ্নাংশের হর $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

ভগ্নাংশগুলোর হরগুলোর ল.সা.গু.  $(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a^3+b^3)(a^3-b^3)$

২য় ভগ্নাংশঃ $\frac{b}{a^2+ab+b^2}=\frac{b(a-b)(a^3+b^3)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)}=\frac{b(a-b)(a^3+b^3)}{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}$

এবং ৩য় ভগ্নাংশ = $\frac{c}{(a^3-b^3)=c(a^3+b^3)}$

নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো  $a(a^3-b^3)/\left(\right(a^3+b^3\left)\right(a^3-b^3\left)\right),b(a-b)(a^3+b^3)/\left(\right(a^3+b^3\left)\right(a^3-b^3\left)\right)এবংc(a^3+b^3)/\left(\right(a^3+b^3\left)\right(a^3-b^3\left)\right)$

প্রদত্ত ভগ্নাংশ গুলো $\frac{a-b}{a^2{b}^2},\frac{b-c}{b^2{c}^2},\frac{c-a}{c^2{a}^2}$

এখানে, হর a² b² ,b⁷ c² এবং c²a² এর লসাগু  = a² b² c2

১ম ভগ্নাংশ = $\frac{a-b}{a^2{b}^2}=\frac{c^2(a-b)}{c^2.a^2{b}^2}=\frac{c^2(a-b)}{a^2{b}^2{c}^2}$

২য় ভগ্নাংশ = $\frac{b-c}{b^2{c}^2}=\frac{a^2(b-c)}{a^2{b}^2{c}^2}=\frac{a^2(b-c)}{a^2{b}^2{c}^2}$

এবং ৩য় ভগ্নাংশ = $\frac{c-a}{c^2{a}^2}= \frac{b^2(c-a)}{b^2{c}^2{a}^2}=\frac{b^2(c-a)}{a^2{b}^2{c}^2}$

নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো $\frac{c^2(a-b)}{a^2{b}^2{c}^2}$,$\frac{a^2(b-c)}{a^2{b}^2{c}^2}$,$\frac{b^2(c-a)}{a^2{b}^2{c}^2}$

প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো: $\frac{x-y}{x+y},\frac{y-z}{y+z},\frac{z-x}{z+x}$

[এখানে, হর (x+y), (y + z) এবং (z+x) এর ল.সা.গু. = (x+y) (y+z) (z+x)]

$\therefore$১ম ভগ্নাংশ = $\frac{x-y}{x+y}= \frac{(x-y).(y+z)(z+x)}{(x+y).(y+z)(z+x)}$

২য় ভগ্নাংশ= $\frac{y-z}{y+z}= \frac{(y-z)(x+y)(z+x)}{(y+z).(x+y) (z+x)}=\frac{(y-2)(x+y)(z+x)}{(y-2)(x+y)(z+x)}$

এবং ৩য় ভগ্নাংশ = $\frac{z-x}{z+x}=\frac{(z-x)(x+y)(y+z)}{(z+x).(x+y)(y+z) }=\frac{(z-x)(x+y)(y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

নির্ণেয় ভগ্নাংশগুলো: $\frac{(x-y).(y+z)(z+x)}{(x+y).(y+z)(z+x)}$,$\frac{(y-2)(x+y)(z+x)}{(y-2)(x+y)(z+x)}$,$\frac{(z-x)(x+y)(y+z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$