স্থির চাপে তাপমাত্রা বনাম আয়তন লেখচিত্র হতে পরমশূন্য তাপমাত্রা চিহ্নিত কর। (অনুধাবন)

গড় মুক্ত পথ (\(\lambda\)) হলো একটি গ্যাসের অণু দ্বারা পরপর দুটি সংঘর্ষের মধ্যবর্তী সময়ে অতিক্রান্ত গড় দূরত্ব। যখন শুধুমাত্র একটি অণুকে গতিশীল বিবেচনা করা হয় এবং অন্যান্য অণু স্থির থাকে, তখন গড় মুক্ত পথ নির্ণয়ের জন্য ব্যবহৃত সূত্রটি হলো:

\(\lambda = \frac{1}{\pi d^2 n}\)

এখানে, \(\lambda\) হলো গড় মুক্ত পথ, \(d\) হলো অণুর ব্যাস এবং \(n\) হলো প্রতি একক আয়তনে অণুর সংখ্যা (সংখ্যা ঘনত্ব)।

উদ্দীপক থেকে প্রাপ্ত তথ্যানুসারে, সিলিন্ডারের ব্যাস (AB) = 5 cm এবং দৈর্ঘ্য (BC) = 15 cm।

সুতরাং, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ \(r = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm} = 0.025 \text{ m}\)।

সিলিন্ডারের আয়তন \(V = \pi r^2 L = \pi (0.025 \text{ m})^2 (0.15 \text{ m})\)

\(V = 3.14159 \times 0.000625 \text{ m}^2 \times 0.15 \text{ m}\)

\(V \approx 2.9452 \times 10^{-4} \text{ m}^3\)

সিলিন্ডারটিতে অণুর সংখ্যা \(N = 10^4\) টি।

অতএব, সংখ্যা ঘনত্ব \(n = \frac{N}{V} = \frac{10^4}{2.9452 \times 10^{-4} \text{ m}^3} \approx 3.3953 \times 10^7 \text{ molecules/m}^3\)।

নাইট্রোজেন (\(N_2\)) অণুর আনুমানিক ব্যাস \(d = 3.75 \times 10^{-10} \text{ m}\) (এটি একটি আদর্শ মান হিসেবে ধরে নেওয়া হলো)।

এখন, গড় মুক্ত পথের সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

\(\lambda = \frac{1}{\pi d^2 n}\)

\(\lambda = \frac{1}{3.14159 \times (3.75 \times 10^{-10} \text{ m})^2 \times 3.3953 \times 10^7 \text{ m}^{-3}}\)

\(\lambda = \frac{1}{3.14159 \times 14.0625 \times 10^{-20} \text{ m}^2 \times 3.3953 \times 10^7 \text{ m}^{-3}}\)

\(\lambda = \frac{1}{1.4977 \times 10^{-11}}\)

\(\lambda \approx 6.68 \times 10^{10} \text{ m}\)

সুতরাং, উদ্দীপকের তথ্যানুসারে, শুধুমাত্র একটি অণুকে গতিশীল বিবেচনা করে গড় মুক্ত পথের মান হবে \(6.68 \times 10^{10} \text{ m}\)। এই অত্যন্ত বৃহৎ গড় মুক্ত পথ নির্দেশ করে যে প্রদত্ত সিলিন্ডারে গ্যাসটি অত্যন্ত বিরল অবস্থায় রয়েছে, যেখানে অণুগুলো একে অপরের সাথে সংঘর্ষে লিপ্ত হওয়ার আগে অনেক দীর্ঘ পথ অতিক্রম করতে পারে।

গ্যাসের অণুর মূলগড় বর্গবেগ (Root Mean Square Velocity) সরাসরি গ্যাসের পরম তাপমাত্রা এবং আণবিক ভরের উপর নির্ভরশীল। সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করে এর আয়তন হ্রাস করা হলেও, যদি গ্যাসের তাপমাত্রা অপরিবর্তিত থাকে, তবে অণুগুলোর মূলগড় বর্গবেগ দ্বিগুণ হবে না।

উদ্দীপকে প্রদত্ত সিলিন্ডারটির দৈর্ঘ্য (BC) হলো 15 cm এবং এর তাপমাত্রা 12°C। প্রশ্নানুসারে, সিলিন্ডারটির দৈর্ঘ্য এক-তৃতীয়াংশ হ্রাস করা হলে নতুন দৈর্ঘ্য হবে \(15 - \frac{1}{3} \times 15 = 15 - 5 = 10\) cm। এতে সিলিন্ডারের আয়তন হ্রাস পাবে, ফলে গ্যাসের অণুগুলো কম জায়গায় বিচরণ করবে এবং তাদের মধ্যে সংঘর্ষের হার বাড়বে। তবে, গ্যাসের অণুসমূহের গড় গতিশক্তি শুধুমাত্র তাপমাত্রার উপর নির্ভরশীল। যদি তাপমাত্রা অপরিবর্তিত থাকে, তবে অণুগুলোর গড় গতিশক্তি এবং ফলস্বরূপ মূলগড় বর্গবেগও অপরিবর্তিত থাকবে।

গ্যাসের অণুর মূলগড় বর্গবেগের সূত্রটি হলো:

যেখানে,

    
• \(R\) = সার্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক (Universal Gas Constant), একটি ধ্রুবক।
    
• \(T\) = গ্যাসের পরম তাপমাত্রা (Absolute Temperature)।
    
• \(M\) = গ্যাসের আণবিক ভর (Molar Mass)।

এই সূত্র থেকে দেখা যায়, মূলগড় বর্গবেগ \(v_{rms}\) কেবল গ্যাসের পরম তাপমাত্রা \(T\) এবং আণবিক ভর \(M\) এর উপর নির্ভরশীল। উদ্দীপকে তাপমাত্রার পরিবর্তনের কথা বলা হয়নি, শুধুমাত্র সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য হ্রাস করার কথা বলা হয়েছে। যদি তাপমাত্রা 12°C-এ অপরিবর্তিত থাকে, তবে \(T\) এবং \(M\) উভয়ই ধ্রুবক থাকবে। ফলস্বরূপ, গ্যাসের অণুর মূলগড় বর্গবেগও অপরিবর্তিত থাকবে।

সুতরাং, গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে এটি স্পষ্ট যে, উদ্দীপকের সিলিন্ডারটির দৈর্ঘ্য এক-তৃতীয়াংশ হ্রাস পেলেও গ্যাসের অণুর মূলগড় বর্গবেগ দ্বিগুণ হবে না, বরং অপরিবর্তিত থাকবে, কারণ এর জন্য তাপমাত্রার পরিবর্তন প্রয়োজন।