$(1.1{)}^5\times (0.6{)}^4$ এর মান নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

দেওয়া আছে, $2^{\frac{1}{x}}=3^{\frac{1}{y}}=6^{\frac{1}{z}}$

এখন,  $2^{\frac{1}{x}}=3^{\frac{1}{y}}$  বা, $2=3^{\frac{x}{y}}$

এবং $3^{\frac{x}{y}}=6^{\frac{1}{z}}$

বা, $3^{\frac{1}{y}}={\left(2.3\right)}^{\frac{1}{z}}=2^{\frac{1}{z}}.3^{\frac{1}{z}}$

বা, $3^{\frac{1}{y}}={\left(3^{\frac{x}{y}}\right)}^{\frac{1}{z}}.3^{\frac{1}{z}}$

বা, $3^{\frac{1}{y}}=3^{\frac{x}{yz} }.3^{\frac{1}{z}}=3^{\frac{x}{yz}+\frac{1}{z}}=3^{\frac{x+y}{yz}}$

বা, $\frac{1}{y}=\frac{x+y}{yz}$

বা, $1=\frac{x+y}{z}$

$\therefore$ $x + y = z$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $A=(1+x{)}^7$এবং $B=(1-x{)}^8$

তাহলে, $AB=(1+x{)}^7 (1-x{)}^8$

$=(1-x)(1-x{)}^7{(1+x)}^7=(1-x) (1-x^2{)}^7$

$=(1-x)\left[\left(\frac{7}{0}\right){\left(-x^2\right)}^0+\left(\frac{7}{1}\right){\left(-x^2\right)}^1+\left(\frac{7}{2}\right){\left(-x^2\right)}^2+\left(\frac{7}{3}\right){\left(-x^2\right)}^3+\left(\frac{7}{4}\right){\left(-x^2\right)}^4+......\right]$$=(1-x) [1-7x^2+21x^4-35x^6+35x^8-........]$

$=(1-7x^2+21x^4-35x^6+35x^8+....)$

                                                         $+(-x+7x^3-21x^5+35x^7-35x^9+......)$

$=1-x-7x^2+7x^3+21x^4-21x^5-35x^6+35x^7+35x^8-......$

AB এর বিস্তৃতিতে $x^7$এর সহগ 35

নির্ণেয় $x^7$এর সহগ 35.

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

ধরি, $y=f\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

x এর কয়েকটি মান নিয়ে সংশ্লিষ্ট y এর মান নিচের ছকে দেখানো হলো:

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু । x -অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গঘর = 1 একক এবং y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গঘর = 1 একক ধরে (x, y) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)

এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো-

এখন, x এর সকল বাস্তব মানের জন্য প্রদত্ত ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত।

$\therefore$ ফাংশনের ডোমেন, $D_f=\mathrm{ℝ}$

এবং x যখন $-\infty$এর কাছাকাছি হয় তখন f(x) এর মান অসীমের কাছাকাছি হয় এবং x এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে f(x) হ্রাস পায়।

$\therefore$ ফাংশনের রেঞ্জ $R_f= (0,\infty )$

$(1-4x{)}^4=1{+}^4{C}_1(-4x\left){+}^4{C}_2\right(-4x{)}^2{+}^4{C}_3(-4x{)}^3+..........$

$=1-16x+96x^2-256x^3+........$

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে $(1+x{)}^5 (1-4x{)}^4$ কে বিস্তৃতি করে পাই,

$(1+x{)}^5 (1-4x{)}^4=(1+5x+10x^2+10x^3+......)$

$\left\{1+4(-4x)+6(-4x{)}^2+4(-4x{)}^3+.......\right\}$

$=(1+5x+10x^2+10x^3+......)(1-16x+96x^2-256x^3+.....)$

$=(1-16x+96x^2-256x^3+....)+(5x-80x^2+480x^3-....) +(10x^2-160x^3+.....)+10x^3+......$$=1-11x+26x^2+74x^3+.........$

x এর মান যথেষ্ট ছোট হওয়ায় $x^3$ এবং তার উর্ধ্বঘাতের মান উপেক্ষা করা যায়।

$\therefore$ $(1+x{)}^5 (1-4x{)}^4-1-11x+26x^2$ (প্রমাণিত)

দুইটি পদের সমন্বয়ে গঠিত বীজগণিতীয় রাশিকে দ্বিপদী রাশি বলে। যেমন $1+x, 1-x^2, a^2-b^2$ ইত্যাদি দ্বিপদী রাশি।