Academy
এসএসসি
উচ্চতর গণিত
AB এর বিস্তৃতিত…

$A = {(1 + x)}^{7}, B = {(1 - x)}^{8}$ এবং $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ একটি ফাংশন।

AB এর বিস্তৃতিতে $x^{7}$ এর সহগ নির্ণয় কর।
(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

Created: 7 months ago | Updated: 7 months ago

Updated: 7 months ago

183

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $A = (1 + x)^{7}$ এবং $B = (1 - x)^{8}$

তাহলে, $A B = (1 + x)^{7} (1 - x)^{8}$

$= (1 - x) (1 - x)^{7} {(1 + x)}^{7} = (1 - x) (1 - x^{2})^{7}$

$= (1 - x) [(\frac{7}{0}) {(- x^{2})}^{0} + (\frac{7}{1}) {(- x^{2})}^{1} + (\frac{7}{2}) {(- x^{2})}^{2} + (\frac{7}{3}) {(- x^{2})}^{3} + (\frac{7}{4}) {(- x^{2})}^{4} + . . . . . .]$ $= (1 - x) [1 - 7 x^{2} + 21 x^{4} - 35 x^{6} + 35 x^{8} - . . . . . . . .]$

$= (1 - 7 x^{2} + 21 x^{4} - 35 x^{6} + 35 x^{8} + . . . .)$

$+ (- x + 7 x^{3} - 21 x^{5} + 35 x^{7} - 35 x^{9} + . . . . . .)$

$= 1 - x - 7 x^{2} + 7 x^{3} + 21 x^{4} - 21 x^{5} - 35 x^{6} + 35 x^{7} + 35 x^{8} - . . . . . .$

AB এর বিস্তৃতিতে $x^{7}$ এর সহগ 35

নির্ণেয় $x^{7}$ এর সহগ 35.

SATT Team

7 months ago

183

CQ: 20

দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

দুইটি পদের সমন্বয়ে গঠিত বীজগণিতীয় রাশিকে দ্বিপদী রাশি (Binomials) বলা হয়। $a + b, x - y, 1 + x, 1 - x^{2}, a^{2} - b^{2}$ ইত্যাদি দ্বিপদী রাশি। আমরা প্রথমেই একটি দ্বিপদী রাশি $(1 + y)$ চিহ্নিত করি। এখন $(1 + y)$ কে যদি ক্রমাগত $(1 + y)$ দ্বারা গুণ করতে থাকি তাহলে আমরা পাব ${(1 + y)}^{2}, {(1 + y)}^{3}, {(1 + y)}^{4}, {(1 + y)}^{5}, . . . . . . . . .$ ইত্যাদি। আমরা জানি,

${(1 + y)}^{2} = 1 + 2 y + y^{2}$

${(1 + y)}^{3} = (1 + y) {(1 + y)}^{2} = (1 + y) (1 + 2 y + y^{2}) = 1 + 3 y + 3 y^{2} + y^{3}$

অনুরূপভাবে দীর্ঘ গুণন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে ${(1 + y)}^{4}, {(1 + y)}^{5}, . . . . . . .$ ইত্যাদি গুণফল নির্ণয় সম্ভব। কিন্তু $(1 + y)$ এর ঘাত বা শক্তি যত বাড়তে থাকবে গুণফল তত দীর্ঘ ও সময়সাপেক্ষ হবে। তাই এমন একটি সহজ পদ্ধতি বের করতে হবে যাতে $(1 + y)$ এর যেকোনো ঘাত (ধরি $n$ ) বা শক্তির জন্য ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি সহজেই নির্ণয় করা সম্ভব হবে। $n$ এর মান $0, 1, 2, 3, 4, . . . . .$ অর্থাৎ অঋণাত্মক মানের জন্য এই অংশে আলোচনা সীমাবদ্ধ থাকবে। এখন প্রক্রিয়াটি আমরা ভালভাবে লক্ষ করি।

$n$ এর মান		প্যাসকেল ত্রিভুজ	পদসংখ্যা
$n = 0$	${(1 + y)}^{0}$ =	1	1
$n = 1$	${(1 + y)}^{1}$ =	$1 + y$	2
$n = 2$	${(1 + y)}^{2}$ =	$1 + 2 y + y^{2}$	3
$n = 3$	${(1 + y)}^{3}$ =	$1 + 3 y + 3 y^{2} + y^{3}$	4
$n = 4$	${(1 + y)}^{4}$ =	$1 + 4 y + 6 y^{2} + 4 y^{3} + y^{4}$	5
$n = 5$	${(1 + y)}^{5}$ =	$1 + 5 y + 10 y^{2} + 10 y^{3} + 5 y^{4} + y^{5}$	6

উপরের বিস্তৃতিসমূহকে ভিত্তি করে আমরা ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি সম্পর্কে নিম্নোক্ত সিদ্ধান্তে আসতে পারি।

ক) ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতিতে $(n - 1)$ সংখ্যক পদ আছে। অর্থাৎ ঘাত বা শক্তির চেয়ে পদসংখ্যা একটি বেশি।

খ) $y$ এর ঘাত শূন্য থেকে শুরু হয়ে 1, 2, 3, পর্যন্ত বৃদ্ধি পাবে। অর্থাৎ $y$ এর ঘাত ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধি পেয়ে $n$ পর্যন্ত পৌঁছাবে।

Related Question

View All

(ক)

$2^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{1}{y}} = 6^{\frac{1}{z}}$ হলে দেখাও যে, $x + y = z .$

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

105

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $2^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{1}{y}} = 6^{\frac{1}{z}}$

এখন, $2^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{1}{y}}$ বা, $2 = 3^{\frac{x}{y}}$

এবং $3^{\frac{x}{y}} = 6^{\frac{1}{z}}$

বা, $3^{\frac{1}{y}} = {(2.3)}^{\frac{1}{z}} = 2^{\frac{1}{z}} . 3^{\frac{1}{z}}$

বা, $3^{\frac{1}{y}} = {(3^{\frac{x}{y}})}^{\frac{1}{z}} . 3^{\frac{1}{z}}$

বা, $3^{\frac{1}{y}} = 3^{\frac{x}{y z}} . 3^{\frac{1}{z}} = 3^{\frac{x}{y z} + \frac{1}{z}} = 3^{\frac{x + y}{y z}}$

বা, $\frac{1}{y} = \frac{x + y}{y z}$

বা, $1 = \frac{x + y}{z}$

$∴$ $x + y = z$ (দেখানো হলো)

SATT Team

7 months ago

105

(গ)

ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

142

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

ধরি, $y = f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

x এর কয়েকটি মান নিয়ে সংশ্লিষ্ট y এর মান নিচের ছকে দেখানো হলো:

x	2	1	0	-1	-2	-3	-4	-5
y	0.25	0.5	1	2	4	8	16	32

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু । x -অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গঘর = 1 একক এবং y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গঘর = 1 একক ধরে (x, y) বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)

এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো-

এখন, x এর সকল বাস্তব মানের জন্য প্রদত্ত ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত।

$∴$ ফাংশনের ডোমেন, $D_{f} = ℝ$

এবং x যখন $- \infty$ এর কাছাকাছি হয় তখন f(x) এর মান অসীমের কাছাকাছি হয় এবং x এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে f(x) হ্রাস পায়।

$∴$ ফাংশনের রেঞ্জ $R_{f} = (0, \infty)$

SATT Team

7 months ago

142

(ক)

${(1 - 4 x)}^{4}$ কে প্রথম চার পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

$(1 - 4 x)^{4} = 1 +^{4} C_{1} (- 4 x) +^{4} C_{2} (- 4 x)^{2} +^{4} C_{3} (- 4 x)^{3} + . . . . . . . . . .$

$= 1 - 16 x + 96 x^{2} - 256 x^{3} + . . . . . . . .$

SATT Team

7 months ago

(খ)

প্রমাণ কর যে, দ্বিপদীটির মান $1 - 11 x + 26 x^{2}$

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (1+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে $(1 + x)^{5} (1 - 4 x)^{4}$ কে বিস্তৃতি করে পাই,

$(1 + x)^{5} (1 - 4 x)^{4} = (1 + 5 x + 10 x^{2} + 10 x^{3} + . . . . . .)$

$\{1 + 4 (- 4 x) + 6 (- 4 x)^{2} + 4 (- 4 x)^{3} + . . . . . . .\}$

$= (1 + 5 x + 10 x^{2} + 10 x^{3} + . . . . . .) (1 - 16 x + 96 x^{2} - 256 x^{3} + . . . . .)$

$= (1 - 16 x + 96 x^{2} - 256 x^{3} + . . . .) + (5 x - 80 x^{2} + 480 x^{3} - . . . .) + (10 x^{2} - 160 x^{3} + . . . . .) + 10 x^{3} + . . . . . .$ $= 1 - 11 x + 26 x^{2} + 74 x^{3} + . . . . . . . . .$