12x-1+12x-12+12x-13+.... একটি ধারা এবং k-x3 একটি দ্বিপদী রাশি।

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে- (1+x2) =1+8(x2) +28(x2)2+ 56(x2)3+70(x2)4+ 56(x2)5+28(x2)6+8(x2)7+(x2)8=1+8x2+28x4+56x6+ 70x8+ 56x10+ 28x12+ 8x14+ x16 প্রদত্ত ধারা, 12x-1+12x-12+12x-13+......ধারাটির ১ম পদ, a=12x-1সাধারণ অনুপাত, r=12x-12+12x-1+12x-1প্রদত্ত

$\frac{1}{2 x - 1} + \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}} + . . . .$ একটি ধারা এবং $(k - \frac{x}{3})$ একটি দ্বিপদী রাশি।

Created: 4 months ago | Updated: 4 months ago

Updated: 4 months ago

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

(ক)

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে $(1 + x^{2})^{8}$ কে বিস্তৃতি কর।

উত্তরঃ

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে-

$(1 + x^{2}) = 1 + 8 (x^{2}) + 28 {(x^{2})}^{2} + 56 {(x^{2})}^{3} + 70 {(x^{2})}^{4} + 56 {(x^{2})}^{5} + 28 {(x^{2})}^{6} + 8 {(x^{2})}^{7} + {(x^{2})}^{8}$ $= 1 + 8 x^{2} + 28 x^{4} + 56 x^{6} + 70 x^{8} + 56 x^{10} + 28 x^{12} + 8 x^{14} + x^{16}$

Affan Ahmed

4 months ago

(খ)

"x" এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

প্রদত্ত ধারা, $\frac{1}{2 x - 1} + \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(2 x - 1)}^{3}} + . . . . . .$

ধারাটির ১ম পদ, $a = \frac{1}{2 x - 1}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(2 x - 1)} + \frac{1}{2 x - 1}$

প্রদত্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি

$- 1 < r < 1$ হয় বা, $- 1 < \frac{1}{2 x - 1} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{2 x - 1}$ আবার, $\frac{1}{2 x - 1} < 1$

বা, $2 x - 1 < - 1$ বা, $2 x - 1 < 1$

বা, $2 x < 0$ বা, $2 x > 2$

$∴$ $x < 0$ $∴$ $x > 1$

$∴$ প্রদত্ত ধারার অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty}$ $= \frac{a}{1 - r}$

$= \frac{\frac{1}{2 x - 1}}{1 - \frac{1}{2 x - 1}} = \frac{\frac{1}{2 x - 1}}{\frac{2 x - 1 - 1}{2 x - 1}} = \frac{1}{2 x - 2} = \frac{1}{2 (x - 1)}$

নির্ণেয় শর্ত : $x < 0$ অথবা $x > 1$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{2 (x - 1)}$

Affan Ahmed

4 months ago

(গ)

দ্বিতীয় রাশির বিস্তৃতিতে $x^{3}$ এর সহগ $x^{5}$ এর সহগের 15 গুণ হলে ৮ এর মান নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

${(k - \frac{x}{3})}^{7} = k^{7} +^{7} C_{1} k^{7 - 1} {(- \frac{x}{3})}^{1} +^{7} C_{2} k^{7 - 2} {(- \frac{x}{3})}^{2} +^{7} C_{3} k^{7 - 3} {(- \frac{x}{3})}^{3} +^{7} C_{4} k^{7 - 4} {(- \frac{x}{3})}^{4} +^{7} C_{5} k^{7 - 5} {(- \frac{x}{3})}^{5} + . . . . . .$ $= k^{7} - \frac{7}{3} x k^{6} + \frac{7}{3} x^{2} k^{5} - \frac{35}{27} x^{3} k^{4} + \frac{35}{81} x^{4} k^{3} - \frac{7}{81} x^{5} k^{2} + . . . .$

এখানে, $x^{3}$ এর সহগ $= - \frac{35}{27} k^{4}$ এবং $x^{5}$ এর সহগ $= - \frac{7}{81} k^{2}$

প্রশ্নমতে, $- \frac{35}{27} k^{4} = - \frac{7}{81} k^{2} \times 15$

বা, $k^{2} = \frac{7 \times 15 \times 27}{81 \times 35} k^{2} = 1$

$∴$ $k = \pm 1$

নির্ণেয় k এর মান $\pm 1$

Affan Ahmed

4 months ago

CQ: 63

ডাউনলোড করুন স্যাট একাডেমি অ্যাপ

দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি টপিকের বিষয়বস্তুঃ

আমরা এ পর্যন্ত ${(1 + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি নিয়ে আলোচনা করেছি। এই পর্যায়ে আমরা দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ আকার ${(x + y)}^{n}$ নিয়ে আলোচনা করব যেখানে $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। ${(x + y)}^{n}$ এর বিস্তৃতি সাধারণভাবে দ্বিপদী উপপাদ্য নামে পরিচিত।

আমরা জানি,

${(1 + y)}^{n} = 1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) y^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) y^{3} + . . . . . . . . . . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) y^{n}$

এখন, ${(x + y)}^{n} = {[x (1 + \frac{y}{x})]}^{n} = x^{n} {(1 + \frac{y}{x})}^{n}$

$∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} [1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (\frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{3} + . . . . . . . . . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) {(\frac{y}{x})}^{n}] ∴ {(x + y)}^{n} = x^{n} [1 + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (\frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) \frac{y^{2}}{x^{2}} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) \frac{y^{3}}{x^{3}} + . . . . . . + \frac{y^{n}}{x^{n}}] [∵ (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) = 1] = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y}{x}) + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y^{n}}{x^{2}}) + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) (x^{n} . \frac{y^{3}}{x^{3}}) + . . . . . . + x^{n} . \frac{y^{n}}{x^{n}} {(x + y)}^{n} = x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} y + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} y^{2} + (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) x^{n - 3} y^{3} + . . . . . . . . + y^{n}$

এটিই হচ্ছে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাধারণ আকার। লক্ষণীয় এই বিস্তৃতি ${(1 + y)}^{n}$ এর অনুরূপ। এখানে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে 0 পর্যন্ত যোগ করা হয়েছে। আরো লক্ষণীয়, প্রতি পদে $x$ ও $y$ এর ঘাতের যোগফল দ্বিপদীর ঘাতের সমান। প্রথম পদে $x$ এর ঘাত $n$ থেকে শুরু হয়ে সর্বশেষ পদে শূন্য। ঠিক বিপরীতভাবে $y$ এর ঘাত প্রথম পদে শূন্য থেকে শুরু হয়ে শেষ পদে $n$ হয়েছে।

উদাহরণ ৩. ${(x + y)}^{5}$ কে বিস্তৃত কর এবং উহা হইতে ${(3 + 2 x)}^{5}$ এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান:

${(x + y)}^{5} = x^{5} + (\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) x^{4} y + (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) x^{3} y^{2} + (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix}) x^{2} y^{3} + (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) x y^{4} + y^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + \frac{5.4}{1.2} x^{3} y^{2} + \frac{5.4.3}{1.2.3} x^{2} y^{3} + \frac{5.4.3.1}{1.2.3.4} x y^{4} + y^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}$

$∴$ নির্ণেয় বিস্তৃতি ${(x + y)}^{5} = x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}$

এখন $x = 3$ এবং $y = 2 x$ বসাই

${(3 + 2 x)}^{5} = 3^{5} + 5 . 3^{4} (2 x) + 10 . 3^{3} . {(2 x)}^{2} + 10 . 3^{2} {(2 x)}^{3} + 5.3 (2 x) + {(2 x)}^{5} = 243 + 810 x + 1080 x^{2} + 720 x^{3} + 240 x^{4} + 32 x^{5} ∴ {(3 + 2 x)}^{5} = 243 + 810 x + 1080 x^{2} + 720 x^{3} + 240 x^{4} + 32 x^{5}$

উদাহরণ ৪. ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ কে $x$ এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর এবং $x$ মুক্ত পদটি শনাক্ত কর।

সমাধান: দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6} = x^{6} + (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) x^{5} (\frac{1}{x^{2}}) + (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) x^{4} {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} + (\begin{matrix} 6 \\ 3 \end{matrix}) x^{3} {(\frac{1}{x^{2}})}^{3} + . . . . . . . = x^{6} + 6 x^{3} + \frac{6.5}{1.2} x^{4} \frac{1}{x^{4}} + \frac{6.5.4}{1.2.3} x^{3} \frac{1}{x^{6}} + . . . . . . = x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . . .$
$∴$ নির্ণেয় বিস্তৃতি $x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . .$ এবং $x$ মুক্ত পদ $15$

Related Question

View All

(১)

${(2 - \frac{1}{3 x})}^{5}$ এর বিস্তৃতি কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশি: ${(2 - \frac{1}{3 x})}^{5}$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${(2 - \frac{1}{3 x})}^{5} = 2^{5} +^{5} C_{1} 2^{5 - 1} {(- \frac{1}{3 x})}^{1} +^{5} C_{2} 2^{5 - 2} {(- \frac{1}{3 x})}^{2} +^{5} C_{3} 2^{5 - 3} {(- \frac{1}{3 x})}^{3} +^{5} C_{4} 2^{5 - 4} {(- \frac{1}{3 x})}^{4} +^{5} C_{5} 2^{5 - 5} {(- \frac{1}{3 x})}^{5}$

$= 32 + 5 \times 2^{4} \times \frac{- 1}{3 x} + 10 \times 2^{3} \times \frac{1}{9 x^{2}} + 10 \times 2^{2} \times \frac{- 1}{27 x^{3}} + 5 \times 2^{1} \times \frac{1}{81 x^{4}} + 1 \times 2^{0} \times \frac{- 1}{243 \times x^{5}}$

$= 32 - \frac{80}{3 x} + \frac{80}{9 x^{2}} - \frac{80}{27 x^{3}} + \frac{10}{81 x^{4}} - \frac{- 1}{243 x^{5}}$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $32 - \frac{80}{3 x} + \frac{80}{9 x^{2}} - \frac{80}{27 x^{3}} + \frac{10}{81 x^{4}} - \frac{- 1}{243 x^{5}}$

Affan Ahmed

4 months ago

(২)

${(y - \frac{1}{y^{2}})}^{5}$ কে বিস্তৃত কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

প্রদত্ত রাশি: ${(y - \frac{1}{y^{2}})}^{5}$

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${(y - \frac{1}{y^{2}})}^{5} = y^{5} +^{5} C_{1} y^{5 - 1} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{1} +^{5} C_{2} y^{5 - 2} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{2} +^{5} C_{3} y^{5 - 3} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{3} +^{5} C_{4} y^{5 - 4} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{4} +^{5} C_{5} y^{5 - 5} {(- \frac{1}{y^{2}})}^{5}$

$= y^{5} + 5 y^{4} . \frac{1}{y^{2}} + {\frac{5.4}{1.2}}^{2} y^{3} . \frac{1}{y^{4}} - \frac{5.43}{1.2.3} y^{2} . \frac{1}{y^{4}} - \frac{5.4.3}{1.2.3} y^{2} . \frac{1}{y^{6}} - \frac{5.4.3.2}{1.2.3.4} y . \frac{1}{y^{x}} - \frac{1}{y^{10}}$

$= y^{5} - 5 y^{2} + \frac{10}{y} - {\frac{10}{y^{4}}}^{2} + . \frac{5}{y^{7}} - \frac{1}{y^{10}}$

নির্ণেয় বিস্তৃতি $= y^{5} - 5 y^{2} + \frac{10}{y} - {\frac{10}{y^{4}}}^{2} + . \frac{5}{y^{7}} - \frac{1}{y^{10}}$

Affan Ahmed

4 months ago

(৩)

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ কে এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃত কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{4} = x^{6} + (\frac{6}{1}) x^{5} (\frac{1}{x^{2}}) + (\frac{6}{2}) x^{4} {(\frac{1}{x^{2}})}^{2} + (\frac{6}{3}) x^{3} {(\frac{1}{x^{2}})}^{3} + . . . . . .$

$= x^{6} + 6 x^{3} + \frac{6.5}{1.2} x^{4} \frac{1}{x^{4}} + \frac{6.5.4}{1.2.3} x^{3} \frac{1}{x^{6}} + . . . . . .$

$= x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . .$

নির্ণেয় বিস্তৃতি : $x^{6} + 6 x^{3} + 15 + 20 \frac{1}{x^{3}} + . . . . . .$

Affan Ahmed

4 months ago

(৪)

${(2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}})}^{8}$ এর বিস্তৃতির প্রথম চারটি পদ নির্ণয় কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে,

${(2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}})}^{8} = {(2 x^{2})}^{8} +^{8} C_{1} {(2 x^{2})}^{7} (- \frac{1}{x^{2}}) +^{8} C_{2} {(2 x^{2})}^{6} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{2} +^{8} C_{3} {(2 x^{2})}^{5} {(- \frac{1}{x^{2}})}^{3} + . . . . .$

$= 2^{8} . x^{16} - 8 . 2^{7} . x^{14} . \frac{1}{x^{2}} + \frac{8.7}{1.2} . 2^{6} . x^{12} . \frac{1}{x^{4}} - \frac{8.7.6}{1.2.3} . 2^{5} . x^{10} . \frac{1}{x^{6}} + . . . . .$

$= 256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1792 x^{8} - 1792 x^{4} + . . . . .$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $256 x^{16} - 1024 x^{12} + 1792 x^{8} - 1792 x^{4} + . . . . .$

Affan Ahmed

4 months ago

(৫)

k=1 হলে, ${(k + \frac{x}{3})}^{7}$ রাশিটির চতুর্থ পদ পর্যন্ত বিস্তৃতি কর।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

k = 1 হলে, বীজগাণিতিক রাশিটি ${(1 - \frac{x}{3})}^{7}$

দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে পাই,

${(1 - \frac{x}{3})}^{7} =^{7} C_{0} {(- \frac{x}{3})}^{0} +^{7} C_{1} {(- \frac{x}{3})}^{1} +^{7} C_{2} {(- \frac{x}{3})}^{2} +^{7} C_{3} {(- \frac{x}{3})}^{3} + . . .$

$= 1 - 7 . \frac{x}{3} + \frac{7.6}{1.2} . \frac{x^{2}}{9} - \frac{7.6.5}{1.2.3} . \frac{x^{3}}{27} + . . .$

$= 1 - \frac{7 x}{3} + \frac{7 x^{2}}{3} - \frac{35 x^{3}}{27} + . . . . . .$

নির্ণেয় বিস্তৃতি: $1 - \frac{7 x}{3} + \frac{7 x^{2}}{3} - \frac{35 x^{3}}{27} + . . . . . .$

Affan Ahmed

4 months ago

(৬)

${(P + \frac{x}{2})}^{6} = 64 + 96 x + . . . . . .$ হলে, P = কত?

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

এসএসসি উচ্চতর গণিত দ্বিপদী (x+y)^n এর বিস্তৃতি

উত্তরঃ

দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে বিস্তৃতি করে পাই,

${(P + \frac{x}{2})}^{6} = P^{6} +^{6} C_{1} P^{6 - 1} {(\frac{x}{2})}^{1} +^{6} C_{2} P^{6 - 2} {(\frac{x}{2})}^{2} + . . . . . .$

Affan Ahmed

4 months ago

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র