$1+\frac{3}{1!}+\frac{5}{2!}+\frac{7}{3!}.....$ ধারাটির যোগফল বের কর। (Find the sum of the series $1+\frac{3}{1!}+\frac{5}{2!}+\frac{7}{3!}.....$)

প্রদত্ত ধারাটি হলো:

\(S = 1 + \frac{3}{1!} + \frac{5}{2!} + \frac{7}{3!} + \dots\)

ধারাটির সাধারণ পদ (general term) হলো \(T_{n+1} = \frac{2n+1}{n!}\), যেখানে \(n=0, 1, 2, \dots\)।

সুতরাং, ধারাটির যোগফল হলো:

\(S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n+1}{n!}\)

যোগফলটিকে দুটি অংশে ভাগ করা যায়:

\(S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\)

আমরা জানি, ঘাত ধারার (power series) ই (e) এর সংজ্ঞা হলো:

\(e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots\)

সুতরাং, যোগফলের দ্বিতীয় অংশটি হলো \(e\)।

এখন, প্রথম অংশটি নির্ণয় করি: \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n}{n!}\)

যখন \(n=0\), পদটি হলো \(\frac{2 \times 0}{0!} = 0\)।

যখন \(n \ge 1\), তখন আমরা জানি \(n! = n \times (n-1)!\)।

অতএব, \(\frac{2n}{n!} = \frac{2n}{n(n-1)!} = \frac{2}{(n-1)!}\)

সুতরাং, প্রথম অংশটি হয়:

\(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n}{n!} = 0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n-1)!}\)

এখানে, \(k = n-1\) প্রতিস্থাপন করলে, যখন \(n=1\), তখন \(k=0\)।

তাহলে, \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n-1)!} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 2e\)

এখন, \(S\) এর মান নির্ণয়ের জন্য উভয় অংশ যোগ করি:

\(S = 2e + e\)

\(S = 3e\)