(-3.1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ,

\(x^2 + y^2 + 16x + 3 = 0 \quad ... (ii)\)

সাধারণ বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই,

\(2g = 16 \Rightarrow g = 8\)

\(2f = 0 \Rightarrow f = 0\)

সুতরাং, (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f) = (-8, 0)\)

প্রশ্নানুসারে, নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র (ii) নং বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক।

অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \((-8, 0)\)।

দেওয়া আছে, প্রথম বৃত্তের সমীকরণ,

\(x^2 + y^2 - 6x - 8 = 0 \quad ... (i)\)

(i) নং বৃত্ত এবং \(x = 4\) রেখার ছেদবিন্দু নির্ণয় করি।

\(x = 4\) কে (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\((4)^2 + y^2 - 6(4) - 8 = 0\)

\(16 + y^2 - 24 - 8 = 0\)

\(y^2 - 16 = 0\)

\(y^2 = 16\)

\(y = \pm 4\)

সুতরাং, (i) নং বৃত্ত এবং \(x = 4\) রেখার ছেদবিন্দু দুইটি হলো \((4, 4)\) এবং \((4, -4)\)।

নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র \((-8, 0)\) এবং এটি \((4, 4)\) বিন্দু দিয়ে যায়।

নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\) হলে,

\(r^2 = (4 - (-8))^2 + (4 - 0)^2\)

\(r^2 = (4 + 8)^2 + (4)^2\)

\(r^2 = (12)^2 + 16\)

\(r^2 = 144 + 16\)

\(r^2 = 160\)

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) যেখানে \((h, k) = (-8, 0)\) এবং \(r^2 = 160\)।

\((x - (-8))^2 + (y - 0)^2 = 160\)

\((x + 8)^2 + y^2 = 160\)

\(x^2 + 16x + 64 + y^2 = 160\)

\(x^2 + y^2 + 16x + 64 - 160 = 0\)

\(x^2 + y^2 + 16x - 96 = 0\)

অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ হলো \(x^2 + y^2 + 16x - 96 = 0\)।

প্রদত্ত বৃত্ত দুইটির সমীকরণ:

    $x^2 + y^2 - 6x – 8 = 0 ........\left(i\right)$

    $x^2+y^2+ 16x + 3 = 0 ........\left(ii\right)$

১. সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয়:

বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ হলো (i) - (ii) = 0

    \( (x^2 + y^2 - 6x - 8) - (x^2 + y^2 + 16x + 3) = 0 \)

    \( x^2 + y^2 - 6x - 8 - x^2 - y^2 - 16x - 3 = 0 \)

    \( -22x - 11 = 0 \)

    \( 22x + 11 = 0 \)

    \( 11(2x + 1) = 0 \)

    \( 2x + 1 = 0 \)

    \( x = -\frac{1}{2} \)

এটিই সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।

২. সাধারণ জ্যা-এর ছেদবিন্দু নির্ণয় (যা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু):

সাধারণ জ্যা \(x = -\frac{1}{2}\) রেখাটি বৃত্ত (i)-কে যে বিন্দুতে ছেদ করে, তা হলো সাধারণ জ্যা-এর প্রান্তবিন্দু।

বৃত্ত (i)-এর সমীকরণে \(x = -\frac{1}{2}\) বসিয়ে পাই:

    \( \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 - 6\left(-\frac{1}{2}\right) - 8 = 0 \)

    \( \frac{1}{4} + y^2 + 3 - 8 = 0 \)

    \( y^2 - 5 + \frac{1}{4} = 0 \)

    \( y^2 = 5 - \frac{1}{4} \)

    \( y^2 = \frac{20 - 1}{4} \)

    \( y^2 = \frac{19}{4} \)

    \( y = \pm \frac{\sqrt{19}}{2} \)

সুতরাং, সাধারণ জ্যা-এর প্রান্তবিন্দু দুইটি হলো \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{19}}{2}\right)\) এবং \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{19}}{2}\right)\)। এই বিন্দু দুইটিই নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু।

৩. নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:

আমরা জানি, যদি একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু \((x_1, y_1)\) এবং \((x_2, y_2)\) হয়, তাহলে বৃত্তের সমীকরণ হলো \((x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0\)।

এখানে, \(x_1 = -\frac{1}{2}\), \(y_1 = \frac{\sqrt{19}}{2}\)

এবং \(x_2 = -\frac{1}{2}\), \(y_2 = -\frac{\sqrt{19}}{2}\)

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:

    \( \left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) + \left(y - \frac{\sqrt{19}}{2}\right)\left(y - \left(-\frac{\sqrt{19}}{2}\right)\right) = 0 \)

    \( \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right) + \left(y - \frac{\sqrt{19}}{2}\right)\left(y + \frac{\sqrt{19}}{2}\right) = 0 \)

    \( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y^2 - \left(\frac{\sqrt{19}}{2}\right)^2\right) = 0 \)

    \( x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 - \frac{19}{4} = 0 \)

    \( x^2 + x + \frac{1}{4} + y^2 - \frac{19}{4} = 0 \)

    \( x^2 + y^2 + x + \frac{1 - 19}{4} = 0 \)

    \( x^2 + y^2 + x - \frac{18}{4} = 0 \)

    \( x^2 + y^2 + x - \frac{9}{2} = 0 \)

সমীকরণটিকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

    \( 2x^2 + 2y^2 + 2x - 9 = 0 \)

এটিই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।