দৃশ্যকল্প : $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 = 0 . . . . . . . (i)$
$x^{2} + y^{2} + 16 x + 3 = 0 . . . . . . . (i i)$

Created: 11 months ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

(ক)

(-3.1) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্র (h, k) = (-3, 1)

যেহেতু বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে, সেহেতু বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে কেন্দ্রের x-স্থানাঙ্কের পরম মান।

অতএব, ব্যাসার্ধ, r = |-3| = 3 একক।

আমরা জানি, (h, k) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং r ব্যাসার্ধের বৃত্তের সমীকরণ হলো:

\[(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\]

এখানে h = -3, k = 1 এবং r = 3। মান বসিয়ে পাই,

\[(x - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 3^2\]

\[(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 9\]

সূত্রের সাহায্যে সম্প্রসারিত করে পাই,

\[x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 + y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = 9\]

\[x^2 + 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 9\]

পদগুলো সাজিয়ে এবং সরল করে পাই,

\[x^2 + y^2 + 6x - 2y + 10 - 9 = 0\]

\[x^2 + y^2 + 6x - 2y + 1 = 0\]

অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ হলো $x^2 + y^2 + 6x - 2y + 1 = 0$।

Satt AI

2 days ago

(খ)

একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার কেন্দ্র (ii) নং বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক এবং (i) নং বৃত্ত ও x = 4 রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে যায়।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2 + y^2 + 16x + 3 = 0 \quad ... (ii)$

সাধারণ বৃত্তের সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$2g = 16 \Rightarrow g = 8$

$2f = 0 \Rightarrow f = 0$

সুতরাং, (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র $(-g, -f) = (-8, 0)$

প্রশ্নানুসারে, নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র (ii) নং বৃত্তের সাথে এককেন্দ্রিক।

অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র $(-8, 0)$।

দেওয়া আছে, প্রথম বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2 + y^2 - 6x - 8 = 0 \quad ... (i)$

(i) নং বৃত্ত এবং $x = 4$ রেখার ছেদবিন্দু নির্ণয় করি।

$x = 4$ কে (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$(4)^2 + y^2 - 6(4) - 8 = 0$

$16 + y^2 - 24 - 8 = 0$

$y^2 - 16 = 0$

$y^2 = 16$

$y = \pm 4$

সুতরাং, (i) নং বৃত্ত এবং $x = 4$ রেখার ছেদবিন্দু দুইটি হলো $(4, 4)$ এবং $(4, -4)$।

নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র $(-8, 0)$ এবং এটি $(4, 4)$ বিন্দু দিয়ে যায়।

নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ হলে,

$r^2 = (4 - (-8))^2 + (4 - 0)^2$

$r^2 = (4 + 8)^2 + (4)^2$

$r^2 = (12)^2 + 16$

$r^2 = 144 + 16$

$r^2 = 160$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ যেখানে $(h, k) = (-8, 0)$ এবং $r^2 = 160$।

$(x - (-8))^2 + (y - 0)^2 = 160$

$(x + 8)^2 + y^2 = 160$

$x^2 + 16x + 64 + y^2 = 160$

$x^2 + y^2 + 16x + 64 - 160 = 0$

$x^2 + y^2 + 16x - 96 = 0$

অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ হলো $x^2 + y^2 + 16x - 96 = 0$।

Satt AI

2 days ago

(গ)

বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যাকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

প্রদত্ত বৃত্ত দুইটির সমীকরণ:

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 = 0 . . . . . . . . (i)$

$x^{2} + y^{2} + 16 x + 3 = 0 . . . . . . . . (i i)$

১. সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ নির্ণয়:

বৃত্ত দুইটির সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ হলো (i) - (ii) = 0

$ (x^2 + y^2 - 6x - 8) - (x^2 + y^2 + 16x + 3) = 0 $

$ x^2 + y^2 - 6x - 8 - x^2 - y^2 - 16x - 3 = 0 $

$ -22x - 11 = 0 $

$ 22x + 11 = 0 $

$ 11(2x + 1) = 0 $

$ 2x + 1 = 0 $

$ x = -\frac{1}{2} $

এটিই সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।

২. সাধারণ জ্যা-এর ছেদবিন্দু নির্ণয় (যা নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু):

সাধারণ জ্যা $x = -\frac{1}{2}$ রেখাটি বৃত্ত (i)-কে যে বিন্দুতে ছেদ করে, তা হলো সাধারণ জ্যা-এর প্রান্তবিন্দু।

বৃত্ত (i)-এর সমীকরণে $x = -\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই:

$ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 - 6\left(-\frac{1}{2}\right) - 8 = 0 $

$ \frac{1}{4} + y^2 + 3 - 8 = 0 $

$ y^2 - 5 + \frac{1}{4} = 0 $

$ y^2 = 5 - \frac{1}{4} $

$ y^2 = \frac{20 - 1}{4} $

$ y^2 = \frac{19}{4} $

$ y = \pm \frac{\sqrt{19}}{2} $

সুতরাং, সাধারণ জ্যা-এর প্রান্তবিন্দু দুইটি হলো $\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{19}}{2}\right)$ এবং $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{19}}{2}\right)$। এই বিন্দু দুইটিই নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু।

৩. নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:

আমরা জানি, যদি একটি বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দু $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ হয়, তাহলে বৃত্তের সমীকরণ হলো $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$।

এখানে, $x_1 = -\frac{1}{2}$, $y_1 = \frac{\sqrt{19}}{2}$

এবং $x_2 = -\frac{1}{2}$, $y_2 = -\frac{\sqrt{19}}{2}$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:

$ \left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) + \left(y - \frac{\sqrt{19}}{2}\right)\left(y - \left(-\frac{\sqrt{19}}{2}\right)\right) = 0 $

$ \left(x + \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right) + \left(y - \frac{\sqrt{19}}{2}\right)\left(y + \frac{\sqrt{19}}{2}\right) = 0 $

$ \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y^2 - \left(\frac{\sqrt{19}}{2}\right)^2\right) = 0 $

$ x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 - \frac{19}{4} = 0 $

$ x^2 + x + \frac{1}{4} + y^2 - \frac{19}{4} = 0 $

$ x^2 + y^2 + x + \frac{1 - 19}{4} = 0 $

$ x^2 + y^2 + x - \frac{18}{4} = 0 $

$ x^2 + y^2 + x - \frac{9}{2} = 0 $

সমীকরণটিকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:

$ 2x^2 + 2y^2 + 2x - 9 = 0 $

এটিই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।

Satt AI

2 days ago

MCQ: 6.1k

Practice

Related Question

View All

(ক)

A = (1 2 3) এবং $B = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ হলে (AB)^t নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

620

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ম্যাট্রিক্স A = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $ এবং B = $ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $। প্রথমে AB নির্ণয় করা যাক। ম্যাট্রিক্স A এর ক্রম 1x3 এবং B এর ক্রম 3x1। যেহেতু প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা (3) এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা (3) সমান, তাই তাদের গুণফল একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।

অতএব, AB = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3) + (2 \times 2) + (3 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

এখন, (AB)^t নির্ণয় করতে হবে। যেকোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (Transposed Matrix) হলো তার সারিগুলোকে কলামে এবং কলামগুলোকে সারিতে রূপান্তর করা। যেহেতু AB একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স যা শুধুমাত্র একটি উপাদান নিয়ে গঠিত, তাই এর ট্রান্সপোজ করলে ম্যাট্রিক্সটি নিজেই অপরিবর্তিত থাকে।

সুতরাং, (AB)^t = $ \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} ^t = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

Satt AI

1 week ago

620

(খ)

দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর ।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

611

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট:

$x + y + z = 1 \quad \ldots(1)$

$x + 2y + z = 2 \quad \ldots(2)$

$x + y + 2z = 0 \quad \ldots(3)$

নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধানের জন্য, সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $D$ নির্ণয় করি:

\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2)$

$= 1(3) - 1(1) + 1(-1)$

$= 3 - 1 - 1$

$= 1$

এখন, $x$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_x$ নির্ণয় করি (প্রথম কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(2 \times 2 - 1 \times 0) + 1(2 \times 1 - 2 \times 0)$

$= 1(4 - 1) - 1(4 - 0) + 1(2 - 0)$

$= 1(3) - 1(4) + 1(2)$

$= 3 - 4 + 2$

$= 1$

$\therefore x = \frac{D_x}{D} = \frac{1}{1} = 1$

এরপর, $y$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_y$ নির্ণয় করি (দ্বিতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 0) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 0 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 0) - 1(2 - 1) + 1(0 - 2)$

$= 1(4) - 1(1) + 1(-2)$

$= 4 - 1 - 2$

$= 1$

$\therefore y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{1} = 1$

সবশেষে, $z$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_z$ নির্ণয় করি (তৃতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 0 - 2 \times 1) - 1(1 \times 0 - 2 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(0 - 2) - 1(0 - 2) + 1(1 - 2)$

$= 1(-2) - 1(-2) + 1(-1)$

$= -2 + 2 - 1$

$= -1$

$\therefore z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{1} = -1$

অতএব, নির্ণয় সমাধান: $x = 1, y = 1, z = -1$

Satt AI

1 week ago

611

(গ)

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, D = S³ যেখানে S = p+q+r.

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

704

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এবং S = p+q+r

বামপক্ষ,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারির উপাদানগুলোকে পুনরায় সাজাই:

$p-q-r = p+q+r - 2q - 2r = S - 2(q+r)$

$q-r-p = p+q+r - 2r - 2p = S - 2(r+p)$

$r-p-q = p+q+r - 2p - 2q = S - 2(p+q)$

এখন, ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিতে $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ প্রয়োগ করে পাই:

$R_1 = \left( \frac{p-q-r}{2} + q + r, \ p + \frac{q-r-p}{2} + r, \ p + q + \frac{r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p-q-r+2q+2r}{2}, \ \frac{2p+q-r-p+2r}{2}, \ \frac{2p+2q+r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2} \right)$

সুতরাং, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{S}{2} & \frac{S}{2} & \frac{S}{2} \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারি থেকে $\frac{S}{2}$ কমন নিয়ে পাই:

D = $8 \cdot \frac{S}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এখন, $C_2 \to C_2 - C_1$ এবং $C_3 \to C_3 - C_1$ কলাম অপারেশন প্রয়োগ করি:

$C_2' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ \frac{q-r-p}{2} - q \\ r-r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{q-r-p-2q}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-q-r-p}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{S}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

$C_3' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ q-q \\ \frac{r-p-q}{2} - r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{r-p-q-2r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{-p-q-r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{S}{2} \end{pmatrix}$

অতএব, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ q & -\frac{S}{2} & 0 \\ r & 0 & -\frac{S}{2} \end{vmatrix}$

এটি একটি নিম্ন ত্রিভুজাকার নির্ণায়ক, যার মান প্রধান কর্ণ বরাবর উপাদানগুলোর গুণফলের সমান:

D = $4S \left( 1 \cdot (-\frac{S}{2}) \cdot (-\frac{S}{2}) \right)$

D = $4S \left( \frac{S^2}{4} \right)$

D = $S^3$

সুতরাং, D = S³ (প্রমাণিত)।

Satt AI

1 week ago

704

(ক)

P + Q ম্যাট্রিক্সের ট্রেস নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

604

Add Explanation

604

(খ)

প্রমাণ কর যে, ${(P Q)}^{t} = Q^{t} P^{t}$

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

497

Add Explanation

497

(গ)

PR = RP = I হলে R ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর। যেখানে I একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

816

Add Explanation

816

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

দৃশ্যকল্প : x2 + y2 - 6x – 8 = 0 .......(i)x2+y2+ 16x + 3 = 0 .......(ii)

Related Question

Related Question

Promotion

দৃশ্যকল্প : $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 = 0 . . . . . . . (i)$
$x^{2} + y^{2} + 16 x + 3 = 0 . . . . . . . (i i)$