(4, 5) বিন্দুগামী ও উদ্দীপকের সরলরেখাটির সাথে 45^০ কোণ উৎপন্নকারী রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

দেওয়া আছে, উদ্দীপকের সরলরেখাটির সমীকরণ:

\(4x + 3y - 12 = 0\)

এই সরলরেখাটির ঢাল \(m_1\) নির্ণয় করি। রেখাটিকে \(y = mx + c\) আকারে প্রকাশ করে পাই,

\(3y = -4x + 12\)

\(y = -\frac{4}{3}x + \frac{12}{3}\)

\(y = -\frac{4}{3}x + 4\)

সুতরাং, উদ্দীপকের সরলরেখাটির ঢাল \(m_1 = -\frac{4}{3}\)

ধরি, নির্ণেয় সরলরেখাটির ঢাল \(m_2\)।

দেওয়া আছে, নির্ণেয় সরলরেখাটি উদ্দীপকের সরলরেখাটির সাথে 45^০ কোণ উৎপন্ন করে। দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে, তাদের ঢাল \(m_1\) ও \(m_2\) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো:

\(\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\)

এখানে, \(\theta = 45^\circ\), \(m_1 = -\frac{4}{3}\)

\(\tan 45^\circ = \left|\frac{-\frac{4}{3} - m_2}{1 + (-\frac{4}{3})m_2}\right|\)

\(1 = \left|\frac{-\frac{4}{3} - m_2}{1 - \frac{4}{3}m_2}\right|\)

এই সমীকরণ থেকে দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্র বিবেচনা করা যায়:

ক্ষেত্র ১: ধনাত্মক মান নিয়ে

\(1 = \frac{-\frac{4}{3} - m_2}{1 - \frac{4}{3}m_2}\)

\(1 - \frac{4}{3}m_2 = -\frac{4}{3} - m_2\)

\(1 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}m_2 - m_2\)

\(\frac{3+4}{3} = \frac{4m_2 - 3m_2}{3}\)

\(\frac{7}{3} = \frac{m_2}{3}\)

\(m_2 = 7\)

এই ক্ষেত্রে, \(m_2 = 7\) এবং বিন্দু \((4, 5)\) দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখার সমীকরণ হলো:

\(y - y_1 = m_2(x - x_1)\)

\(y - 5 = 7(x - 4)\)

\(y - 5 = 7x - 28\)

\(7x - y - 28 + 5 = 0\)

\(7x - y - 23 = 0\)

ক্ষেত্র ২: ঋণাত্মক মান নিয়ে

\(-1 = \frac{-\frac{4}{3} - m_2}{1 - \frac{4}{3}m_2}\)

\(-1 \left(1 - \frac{4}{3}m_2\right) = -\frac{4}{3} - m_2\)

\(-1 + \frac{4}{3}m_2 = -\frac{4}{3} - m_2\)

\(\frac{4}{3}m_2 + m_2 = - \frac{4}{3} + 1\)

\(\frac{4m_2 + 3m_2}{3} = \frac{-4 + 3}{3}\)

\(\frac{7m_2}{3} = -\frac{1}{3}\)

\(7m_2 = -1\)

\(m_2 = -\frac{1}{7}\)

এই ক্ষেত্রে, \(m_2 = -\frac{1}{7}\) এবং বিন্দু \((4, 5)\) দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখার সমীকরণ হলো:

\(y - y_1 = m_2(x - x_1)\)

\(y - 5 = -\frac{1}{7}(x - 4)\)

\(7(y - 5) = -1(x - 4)\)

\(7y - 35 = -x + 4\)

\(x + 7y - 35 - 4 = 0\)

\(x + 7y - 39 = 0\)

সুতরাং, নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ হলো \(7x - y - 23 = 0\) এবং \(x + 7y - 39 = 0\)।