উদ্দীপক: 4x + 3y - 12 = 0

Created: 11 months ago | Updated: 11 months ago

Updated: 11 months ago

উদ্দীপকের সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

Add Explanation

(\frac{11}{2}, 5)

বিন্দুটির প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

উদ্দীপকে প্রদত্ত সরলরেখাটির সাপেক্ষে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করার জন্য, জ্যামিতির সূত্র প্রয়োগ করতে হবে। প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ এবং বিন্দুর স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা সম্ভব।

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ: $4x + 3y - 12 = 0$

প্রদত্ত বিন্দুর স্থানাঙ্ক: $\left(x_1, y_1\right) = \left(\frac{11}{2}, 5\right)$

কোনো বিন্দু $(x_1, y_1)$ থেকে $ax + by + c = 0$ সরলরেখার সাপেক্ষে এর প্রতিবিম্ব বিন্দু $(x_2, y_2)$ নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

\[\frac{x_2 - x_1}{a} = \frac{y_2 - y_1}{b} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}\]

এখানে, $a = 4, b = 3, c = -12$।

প্রথমে $ax_1 + by_1 + c$ এর মান নির্ণয় করি:

\[ax_1 + by_1 + c = 4\left(\frac{11}{2}\right) + 3(5) - 12\] \[= 2 \times 11 + 15 - 12\] \[= 22 + 15 - 12\] \[= 37 - 12\] \[= 25\]

এবার $a^2 + b^2$ এর মান নির্ণয় করি:

\[a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2\] \[= 16 + 9\] \[= 25\]

এখন, সূত্রটিতে মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[\frac{x_2 - \frac{11}{2}}{4} = \frac{y_2 - 5}{3} = -2 \frac{25}{25}\] \[\frac{x_2 - \frac{11}{2}}{4} = \frac{y_2 - 5}{3} = -2\]

প্রথম অংশ থেকে $x_2$ এর মান পাই:

\[\frac{x_2 - \frac{11}{2}}{4} = -2\] \[x_2 - \frac{11}{2} = -8\] \[x_2 = -8 + \frac{11}{2}\] \[x_2 = \frac{-16 + 11}{2}\] \[x_2 = -\frac{5}{2}\]

দ্বিতীয় অংশ থেকে $y_2$ এর মান পাই:

\[\frac{y_2 - 5}{3} = -2\] \[y_2 - 5 = -6\] \[y_2 = -6 + 5\] \[y_2 = -1\]

অতএব, উদ্দীপকের সরলরেখাটির সাপেক্ষে $\left(\frac{11}{2}, 5\right)$ বিন্দুটির প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক হলো $\left(-\frac{5}{2}, -1\right)$।

Satt AI

2 weeks ago

(গ)

(4, 5) বিন্দুগামী ও উদ্দীপকের সরলরেখাটির সাথে 45^০ কোণ উৎপন্নকারী রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, উদ্দীপকের সরলরেখাটির সমীকরণ:

$4x + 3y - 12 = 0$

এই সরলরেখাটির ঢাল $m_1$ নির্ণয় করি। রেখাটিকে $y = mx + c$ আকারে প্রকাশ করে পাই,

$3y = -4x + 12$

$y = -\frac{4}{3}x + \frac{12}{3}$

$y = -\frac{4}{3}x + 4$

সুতরাং, উদ্দীপকের সরলরেখাটির ঢাল $m_1 = -\frac{4}{3}$

ধরি, নির্ণেয় সরলরেখাটির ঢাল $m_2$।

দেওয়া আছে, নির্ণেয় সরলরেখাটি উদ্দীপকের সরলরেখাটির সাথে 45^০ কোণ উৎপন্ন করে। দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, তাদের ঢাল $m_1$ ও $m_2$ এর মধ্যে সম্পর্ক হলো:

$\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$

এখানে, $\theta = 45^\circ$, $m_1 = -\frac{4}{3}$

$\tan 45^\circ = \left|\frac{-\frac{4}{3} - m_2}{1 + (-\frac{4}{3})m_2}\right|$

$1 = \left|\frac{-\frac{4}{3} - m_2}{1 - \frac{4}{3}m_2}\right|$

এই সমীকরণ থেকে দুটি সম্ভাব্য ক্ষেত্র বিবেচনা করা যায়:

ক্ষেত্র ১: ধনাত্মক মান নিয়ে

$1 = \frac{-\frac{4}{3} - m_2}{1 - \frac{4}{3}m_2}$

$1 - \frac{4}{3}m_2 = -\frac{4}{3} - m_2$

$1 + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}m_2 - m_2$

$\frac{3+4}{3} = \frac{4m_2 - 3m_2}{3}$

$\frac{7}{3} = \frac{m_2}{3}$

$m_2 = 7$

এই ক্ষেত্রে, $m_2 = 7$ এবং বিন্দু $(4, 5)$ দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখার সমীকরণ হলো:

$y - y_1 = m_2(x - x_1)$

$y - 5 = 7(x - 4)$

$y - 5 = 7x - 28$

$7x - y - 28 + 5 = 0$

$7x - y - 23 = 0$

ক্ষেত্র ২: ঋণাত্মক মান নিয়ে

$-1 = \frac{-\frac{4}{3} - m_2}{1 - \frac{4}{3}m_2}$

$-1 \left(1 - \frac{4}{3}m_2\right) = -\frac{4}{3} - m_2$

$-1 + \frac{4}{3}m_2 = -\frac{4}{3} - m_2$

$\frac{4}{3}m_2 + m_2 = - \frac{4}{3} + 1$

$\frac{4m_2 + 3m_2}{3} = \frac{-4 + 3}{3}$

$\frac{7m_2}{3} = -\frac{1}{3}$

$7m_2 = -1$

$m_2 = -\frac{1}{7}$

এই ক্ষেত্রে, $m_2 = -\frac{1}{7}$ এবং বিন্দু $(4, 5)$ দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখার সমীকরণ হলো:

$y - y_1 = m_2(x - x_1)$

$y - 5 = -\frac{1}{7}(x - 4)$

$7(y - 5) = -1(x - 4)$

$7y - 35 = -x + 4$

$x + 7y - 35 - 4 = 0$

$x + 7y - 39 = 0$

সুতরাং, নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ হলো $7x - y - 23 = 0$ এবং $x + 7y - 39 = 0$।

Satt AI

2 weeks ago

MCQ: 6.1k

Practice

Related Question

View All

(ক)

A = (1 2 3) এবং $B = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})$ হলে (AB)^t নির্ণয় কর।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

620

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, ম্যাট্রিক্স A = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $ এবং B = $ \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $। প্রথমে AB নির্ণয় করা যাক। ম্যাট্রিক্স A এর ক্রম 1x3 এবং B এর ক্রম 3x1। যেহেতু প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা (3) এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা (3) সমান, তাই তাদের গুণফল একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।

অতএব, AB = $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 3) + (2 \times 2) + (3 \times 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 4 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

এখন, (AB)^t নির্ণয় করতে হবে। যেকোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (Transposed Matrix) হলো তার সারিগুলোকে কলামে এবং কলামগুলোকে সারিতে রূপান্তর করা। যেহেতু AB একটি 1x1 ক্রমের ম্যাট্রিক্স যা শুধুমাত্র একটি উপাদান নিয়ে গঠিত, তাই এর ট্রান্সপোজ করলে ম্যাট্রিক্সটি নিজেই অপরিবর্তিত থাকে।

সুতরাং, (AB)^t = $ \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} ^t = \begin{pmatrix} 10 \end{pmatrix} $।

Satt AI

1 week ago

620

(খ)

দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান কর ।

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

611

উত্তরঃ

দেওয়া আছে, দৃশ্যকল্প-১ এ উল্লিখিত সমীকরণ জোট:

$x + y + z = 1 \quad \ldots(1)$

$x + 2y + z = 2 \quad \ldots(2)$

$x + y + 2z = 0 \quad \ldots(3)$

নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধানের জন্য, সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $D$ নির্ণয় করি:

\[ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 1) - 1(2 - 1) + 1(1 - 2)$

$= 1(3) - 1(1) + 1(-1)$

$= 3 - 1 - 1$

$= 1$

এখন, $x$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_x$ নির্ণয় করি (প্রথম কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 1) - 1(2 \times 2 - 1 \times 0) + 1(2 \times 1 - 2 \times 0)$

$= 1(4 - 1) - 1(4 - 0) + 1(2 - 0)$

$= 1(3) - 1(4) + 1(2)$

$= 3 - 4 + 2$

$= 1$

$\therefore x = \frac{D_x}{D} = \frac{1}{1} = 1$

এরপর, $y$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_y$ নির্ণয় করি (দ্বিতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 2 - 1 \times 0) - 1(1 \times 2 - 1 \times 1) + 1(1 \times 0 - 2 \times 1)$

$= 1(4 - 0) - 1(2 - 1) + 1(0 - 2)$

$= 1(4) - 1(1) + 1(-2)$

$= 4 - 1 - 2$

$= 1$

$\therefore y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{1} = 1$

সবশেষে, $z$ এর মান নির্ণয়ের জন্য $D_z$ নির্ণয় করি (তৃতীয় কলামকে ধ্রুবপদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে):

\[ D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \]

$= 1(2 \times 0 - 2 \times 1) - 1(1 \times 0 - 2 \times 1) + 1(1 \times 1 - 2 \times 1)$

$= 1(0 - 2) - 1(0 - 2) + 1(1 - 2)$

$= 1(-2) - 1(-2) + 1(-1)$

$= -2 + 2 - 1$

$= -1$

$\therefore z = \frac{D_z}{D} = \frac{-1}{1} = -1$

অতএব, নির্ণয় সমাধান: $x = 1, y = 1, z = -1$

Satt AI

1 week ago

611

(গ)

দৃশ্যকল্প-২ থেকে প্রমাণ কর যে, D = S³ যেখানে S = p+q+r.

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র ঢাকা বোর্ড - 2023

704

উত্তরঃ

দেওয়া আছে,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এবং S = p+q+r

বামপক্ষ,

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{p-q-r}{2} & p & p \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারির উপাদানগুলোকে পুনরায় সাজাই:

$p-q-r = p+q+r - 2q - 2r = S - 2(q+r)$

$q-r-p = p+q+r - 2r - 2p = S - 2(r+p)$

$r-p-q = p+q+r - 2p - 2q = S - 2(p+q)$

এখন, ম্যাট্রিক্সের প্রথম সারিতে $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ প্রয়োগ করে পাই:

$R_1 = \left( \frac{p-q-r}{2} + q + r, \ p + \frac{q-r-p}{2} + r, \ p + q + \frac{r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p-q-r+2q+2r}{2}, \ \frac{2p+q-r-p+2r}{2}, \ \frac{2p+2q+r-p-q}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2}, \ \frac{p+q+r}{2} \right)$

$R_1 = \left( \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2}, \ \frac{S}{2} \right)$

সুতরাং, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $8 \begin{vmatrix} \frac{S}{2} & \frac{S}{2} & \frac{S}{2} \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

প্রথম সারি থেকে $\frac{S}{2}$ কমন নিয়ে পাই:

D = $8 \cdot \frac{S}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ q & \frac{q-r-p}{2} & q \\ r & r & \frac{r-p-q}{2} \end{vmatrix}$

এখন, $C_2 \to C_2 - C_1$ এবং $C_3 \to C_3 - C_1$ কলাম অপারেশন প্রয়োগ করি:

$C_2' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ \frac{q-r-p}{2} - q \\ r-r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{q-r-p-2q}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{-q-r-p}{2} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{S}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$

$C_3' = \begin{pmatrix} 1-1 \\ q-q \\ \frac{r-p-q}{2} - r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{r-p-q-2r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{-p-q-r}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -\frac{S}{2} \end{pmatrix}$

অতএব, নির্ণায়কটি দাঁড়ায়:

D = $4S \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ q & -\frac{S}{2} & 0 \\ r & 0 & -\frac{S}{2} \end{vmatrix}$

এটি একটি নিম্ন ত্রিভুজাকার নির্ণায়ক, যার মান প্রধান কর্ণ বরাবর উপাদানগুলোর গুণফলের সমান:

D = $4S \left( 1 \cdot (-\frac{S}{2}) \cdot (-\frac{S}{2}) \right)$

D = $4S \left( \frac{S^2}{4} \right)$

D = $S^3$

সুতরাং, D = S³ (প্রমাণিত)।

Satt AI

1 week ago