$\left(5x^{2}y + 7x{y}^2\right) ও 5x^2{y}^2$ দুইটি বীজগণিতীয় রাশি।

প্রদত্ত রাশি দুটি হলো:

\(5x^2y + 7xy^2\)

\(5x^2y^2\)

রাশি দুটির গুণফল নির্ণয়:

\[ (5x^2y + 7xy^2) \times (5x^2y^2) \]

প্রথম রাশিটির প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় রাশিটি দ্বারা গুণ করি:

\[ = (5x^2y \times 5x^2y^2) + (7xy^2 \times 5x^2y^2) \]

সূচক বিধি \((a^m \times a^n = a^{m+n})\) প্রয়োগ করে গুণফল নির্ণয় করি:

প্রথম পদের গুণফল:

\[ 5x^2y \times 5x^2y^2 = (5 \times 5) \times (x^2 \times x^2) \times (y \times y^2) \]

\[ = 25 \times x^{(2+2)} \times y^{(1+2)} \]

\[ = 25x^4y^3 \]

দ্বিতীয় পদের গুণফল:

\[ 7xy^2 \times 5x^2y^2 = (7 \times 5) \times (x \times x^2) \times (y^2 \times y^2) \]

\[ = 35 \times x^{(1+2)} \times y^{(2+2)} \]

\[ = 35x^3y^4 \]

সুতরাং, রাশি দুটির মোট গুণফল হলো:

\[ 25x^4y^3 + 35x^3y^4 \]

সমাধান:

উদ্দীপকে প্রদত্ত দুইটি বীজগণিতীয় রাশি হলো \(5x^2y + 7xy^2\) এবং \(5x^2y^2\)।

প্রশ্নে 'খ' অংশে গুণের বণ্টন বিধি অনুসারে 'ক' এর ফলাফলকে \(x^2y^2\) দ্বারা গুণ করতে বলা হয়েছে। যেহেতু 'ক' এর ফলাফল সরাসরি উল্লেখ করা নেই, আমরা ধরে নিচ্ছি যে 'ক' এর ফলাফল হলো প্রথম বীজগণিতীয় রাশিটি, অর্থাৎ \(5x^2y + 7xy^2\)।

আমরা জানি, গুণের বণ্টন বিধি অনুসারে, \(A(B+C) = AB + AC\)।

এখানে, আমরা \( (5x^2y + 7xy^2) \) কে \( x^2y^2 \) দ্বারা গুণ করব।

ধরি, \(A = x^2y^2\), \(B = 5x^2y\) এবং \(C = 7xy^2\)।

এখন, গুণের প্রক্রিয়াটি ধাপে ধাপে সম্পন্ন করা হলো:

প্রথম রাশি: \(5x^2y + 7xy^2\)

দ্বিতীয় রাশি: \(x^2y^2\)

গুণের বণ্টন বিধি প্রয়োগ করে পাই:

\(x^2y^2 \times (5x^2y + 7xy^2)\)

\(= (x^2y^2 \times 5x^2y) + (x^2y^2 \times 7xy^2)\)

প্রথম অংশের গুণফল:

\(x^2y^2 \times 5x^2y = 5 \cdot x^{(2+2)} \cdot y^{(2+1)}\)

\(= 5x^4y^3\)

দ্বিতীয় অংশের গুণফল:

\(x^2y^2 \times 7xy^2 = 7 \cdot x^{(2+1)} \cdot y^{(2+2)}\)

\(= 7x^3y^4\)

সুতরাং, সম্পূর্ণ গুণফলটি হলো:

\(= 5x^4y^3 + 7x^3y^4\)

উদ্দীপকে প্রদত্ত বীজগণিতীয় রাশি দুইটি হলো \(5x^2y + 7xy^2\) এবং \(5x^2y^2\)। 'খ' নং প্রশ্নে সাধারণত এই রাশিগুলোর কোনো গাণিতিক সম্পর্ক নির্ণয় করা হয়ে থাকে। এখানে, যদি 'খ' তে উদ্দীপকের রাশি দুইটির গুণফল নির্ণয় করা হয়, তবে 'খ' এর প্রাপ্ত ফলাফল হবে:

      \((5x^2y + 7xy^2) \times 5x^2y^2\)
      \(= (5 \times 5)x^{2+2}y^{1+2} + (7 \times 5)x^{1+2}y^{2+2}\)
      \(= 25x^4y^3 + 35x^3y^4\)

এখন, 'গ' প্রশ্নানুসারে, 'খ' তে প্রাপ্ত এই ফলাফলকে \(x^3y^2\) দ্বারা গুণ করে পাই:

      \((25x^4y^3 + 35x^3y^4) \times x^3y^2\)
      \(= 25x^4y^3 \times x^3y^2 + 35x^3y^4 \times x^3y^2\)
      \(= 25x^{4+3}y^{3+2} + 35x^{3+3}y^{4+2}\)
      \(= 25x^7y^5 + 35x^6y^6\)

সুতরাং, নির্ণেয় গুণফলটি হলো \(25x^7y^5 + 35x^6y^6\)। এই গুণফলের রাশিটিতে দুইটি পদ বিদ্যমান। প্রথম পদ \(25x^7y^5\) এবং দ্বিতীয় পদ \(35x^6y^6\)। একটি পদের সাংখ্যিক সহগ হলো চলক অংশের সাথে গুণিতক হিসেবে থাকা ধ্রুবক সংখ্যাটি। সেই অনুযায়ী, \(25x^7y^5\) পদের সাংখ্যিক সহগ হলো 25 এবং \(35x^6y^6\) পদের সাংখ্যিক সহগ হলো 35।

বীজগণিতীয় রাশির গুণ করার সময়, একই চলকের ঘাতসমূহ (power) যোগ হয় এবং সাংখ্যিক সহগসমূহ (numerical coefficient) পরস্পর গুণ হয়। এই নিয়ম অনুসরণ করেই উদ্দীপকে প্রদত্ত রাশিগুলো থেকে 'খ' এর ফলাফল নির্ণয় করা হয়েছে এবং পরবর্তীতে তাকে \(x^3y^2\) দ্বারা গুণ করা হয়েছে। সাংখ্যিক সহগ একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা যা কোনো পদের সংখ্যাগত মানকে নির্দেশ করে এবং এর মাধ্যমে রাশির মানকে বোঝা সহজ হয়।