8m প্রশস্ত এবং 50m ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ব্যাংকিং যুক্ত বাঁকা পথে একটি গাড়ি $25kmh{-}^1$চলে নিরাপদে বাঁক নিতে পারে। (রাস্তার ঘর্ষণ গুণাঙ্ক µ = 0.5 এবং$g = 9.8 ms{-}^2)$

বাঁকা পথে অতিদ্রুত গতিশীল গাড়ি উল্টে যাওয়ার প্রধান কারণ হলো প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল (Centripetal force) এবং এর বিপরীতে সৃষ্ট কেন্দ্রবিমুখী বলের (Centrifugal force) অসামঞ্জস্যতা। যখন একটি গাড়ি বাঁকা পথে মোড় নেয়, তখন সেটিকে একটি কেন্দ্রমুখী বলের সাহায্যে বৃত্তাকার গতিপথে থাকতে হয়, যা মূলত রাস্তা ও টায়ারের মধ্যেকার ঘর্ষণ বল অথবা রাস্তার ব্যাংকিং (Banking) থেকে আসে।

যদি গাড়ির গতি অত্যাধিক বেশি হয়, তবে প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের মানও অনেক বেড়ে যায়। এক্ষেত্রে রাস্তা এবং গাড়ির টায়ারের মধ্যেকার ঘর্ষণ বল বা রাস্তার ব্যাংকিং পর্যাপ্ত কেন্দ্রমুখী বল সরবরাহ করতে ব্যর্থ হয়। ফলস্বরূপ, গাড়ির উপর একটি শক্তিশালী কেন্দ্রবিমুখী বল বাইরের দিকে ক্রিয়া করে। এই কেন্দ্রবিমুখী বলের কারণে গাড়ির ভরকেন্দ্র (Center of mass) বাঁকের বাইরের দিকে সরে যায় এবং এক পর্যায়ে তা গাড়ির চাকার ভূমি সংলগ্ন ক্ষেত্রফলের বাইরে চলে গেলে গাড়িটি ভারসাম্য হারিয়ে বাইরের দিকে উল্টে যায়।

উদ্দীপকে প্রদত্ত মানসমূহ ব্যবহার করে, ব্যাংকিং উচ্চতা নির্ণয়ের জন্য প্রথমে আদর্শ ব্যাংকিং কোণ (\(\theta\)) নির্ণয় করতে হবে, যেখানে রাস্তার ঘর্ষণ বলের প্রয়োজন হয় না। এই ক্ষেত্রে, ব্যাংকিং কোণের সূত্রটি হলো \(\tan\theta = \frac{v^2}{Rg}\)।

এখানে, গাড়ির গতি, \(v = 25 kmh^{-1}\)। এটিকে \(ms^{-1}\) এককে রূপান্তর করলে পাই: \(v = 25 \times \frac{1000}{3600} ms^{-1} = \frac{125}{18} ms^{-1} \approx 6.944 ms^{-1}\)। বাঁকা পথের ব্যাসার্ধ, \(R = 50 m\) এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 ms^{-2}\)।

অতএব, \(\tan\theta = \frac{(\frac{125}{18})^2}{50 \times 9.8} = \frac{48.2253}{490} \approx 0.098419\)। সুতরাং, \(\theta = \arctan(0.098419) \approx 5.619^\circ\)। রাস্তার প্রশস্ততা \(w = 8 m\) হলে, ব্যাংকিং উচ্চতা \(h = w \sin\theta\) সূত্র দিয়ে নির্ণয় করা যায়। \(h = 8 \times \sin(5.619^\circ) \approx 8 \times 0.09793 \approx 0.78344 m\)। অতএব, রাস্তার ব্যাংকিং উচ্চতা প্রায় \(0.78 m\) যা গাড়ির প্রদত্ত বেগে নিরাপদে বাঁক নেওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় আদর্শ উচ্চতা।

রাস্তাটি ব্যাংকিংবিহীন হলে গাড়িটি নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে কি-না তা যাচাই করার জন্য, ঘর্ষণযুক্ত ব্যাংকিংবিহীন রাস্তার জন্য সর্বোচ্চ নিরাপদ গতিবেগ নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে কেন্দ্রমুখী বল সম্পূর্ণরূপে ঘর্ষণ বল দ্বারা সরবরাহ হবে এবং এর মাধ্যমে গাড়িটি নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে কিনা তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করা সম্ভব।

উদ্দীপকে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, গাড়ির গতিবেগ, \(v = 25 kmh^{-1}\)। এই গতিবেগকে \(ms^{-1}\) এককে রূপান্তর করতে হবে:
\(v = 25 \times \frac{1000}{3600} ms^{-1} = \frac{250}{36} ms^{-1} \approx 6.944 ms^{-1}\)
বাঁকা পথের ব্যাসার্ধ, \(r = 50 m\)
রাস্তার ঘর্ষণ গুণাঙ্ক, \(\mu = 0.5\)
অভিকর্ষজ ত্বরণ, \(g = 9.8 ms^{-2}\)

ব্যাংকিংবিহীন রাস্তায় নিরাপদে বাঁক নেওয়ার জন্য সর্বোচ্চ গতিবেগের সূত্র হলো:
\(v_{max} = \sqrt{\mu g r}\)
এই সূত্রে উদ্দীপকে প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:
\(v_{max} = \sqrt{0.5 \times 9.8 \times 50}\)
\(v_{max} = \sqrt{245}\)
\(v_{max} \approx 15.65 ms^{-1}\)

উপরের গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে যে, ঘর্ষণযুক্ত ব্যাংকিংবিহীন রাস্তায় গাড়িটির নিরাপদে বাঁক নেওয়ার জন্য সর্বোচ্চ অনুমোদিত গতিবেগ হলো \(15.65 ms^{-1}\)। উদ্দীপকে উল্লিখিত গাড়ির গতিবেগ \(6.944 ms^{-1}\) যা এই সর্বোচ্চ নিরাপদ গতিবেগ (\(15.65 ms^{-1}\)) এর চেয়ে অনেক কম। যেহেতু গাড়ির বর্তমান গতিবেগ সর্বোচ্চ অনুমোদিত গতিবেগের সীমা অতিক্রম করে না, তাই রাস্তাটি ব্যাংকিংবিহীন হলেও গাড়িটি নিরাপদে বাঁক নিতে সক্ষম হবে। সুতরাং, গাণিতিকভাবে প্রমাণিত যে রাস্তাটি ব্যাংকিংবিহীন হলেও গাড়িটি নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে।