উত্তরঃ
দেওয়া আছে, সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
\( 17x^2+18xy-7y^2-16x-32y-18=0 \)
এই সমীকরণটিকে \( Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \) এর সাথে তুলনা করে পাই:
\( A=17, B=18, C=-7, D=-16, E=-32, F=-18 \)
প্রথমত, x এবং y পদ দুটিকে অপনয়ন করার জন্য মূলবিন্দুকে (h, k) বিন্দুতে স্থানান্তরিত করতে হবে, যেখানে (h, k) হলো কনিকের কেন্দ্র। কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য নিম্নোক্ত সমীকরণদ্বয় ব্যবহার করা হয়:
\( 2Ah + Bk + D = 0 \)
\( Bh + 2Ck + E = 0 \)
মান বসিয়ে পাই:
\( 2(17)h + 18k - 16 = 0 \)
\( 34h + 18k - 16 = 0 \)
\( 17h + 9k - 8 = 0 \quad \text{(1)} \)
\( 18h + 2(-7)k - 32 = 0 \)
\( 18h - 14k - 32 = 0 \)
\( 9h - 7k - 16 = 0 \quad \text{(2)} \)
সমীকরণ (1) কে 7 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 9 দ্বারা গুণ করে যোগ করি:
\( 7(17h + 9k - 8) = 0 \Rightarrow 119h + 63k - 56 = 0 \)
\( 9(9h - 7k - 16) = 0 \Rightarrow 81h - 63k - 144 = 0 \)
যোগ করে পাই:
\( (119 + 81)h - (56 + 144) = 0 \)
\( 200h - 200 = 0 \)
\( 200h = 200 \)
\( h = 1 \)
\( h=1 \) কে সমীকরণ (1) এ বসিয়ে পাই:
\( 17(1) + 9k - 8 = 0 \)
\( 17 + 9k - 8 = 0 \)
\( 9k + 9 = 0 \)
\( 9k = -9 \)
\( k = -1 \)
সুতরাং, কেন্দ্র \((h, k) = (1, -1)\)।
মূলবিন্দুকে \((h, k)\) তে স্থানান্তরিত করার পর রূপান্তরিত সমীকরণটি হবে \( AX^2 + BXY + CY^2 + F' = 0 \), যেখানে \(F'\) এর মান নির্ণয় করা হবে:
\( F' = Ah^2 + Bhk + Ck^2 + Dh + Ek + F \)
\( F' = 17(1)^2 + 18(1)(-1) - 7(-1)^2 - 16(1) - 32(-1) - 18 \)
\( F' = 17 - 18 - 7 - 16 + 32 - 18 \)
\( F' = 49 - 59 \)
\( F' = -10 \)
সুতরাং, স্থানান্তরের পর সমীকরণটি হলো:
\( 17X^2 + 18XY - 7Y^2 - 10 = 0 \quad \text{(3)} \)
এখন, \(XY\) পদটি অপনয়ন করার জন্য অক্ষদ্বয়কে \(\theta\) কোণে আবর্তন করতে হবে। আবর্তন কোণ \(\theta\) এর জন্য সূত্রটি হলো:
\( \tan 2\theta = \frac{B}{A-C} \)
এখানে \(A=17, B=18, C=-7\)
\( \tan 2\theta = \frac{18}{17 - (-7)} = \frac{18}{17 + 7} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \)
আমরা জানি, \( \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \) অথবা একটি সমকোণী ত্রিভুজ থেকে \( \cos 2\theta \) নির্ণয় করা যায়। যদি \( \tan 2\theta = 3/4 \) হয়, তবে অতিভুজ হবে \( \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \)।
সুতরাং, \( \cos 2\theta = \frac{4}{5} \)
\( \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 \Rightarrow \frac{4}{5} = 2\cos^2\theta - 1 \Rightarrow 2\cos^2\theta = \frac{9}{5} \Rightarrow \cos^2\theta = \frac{9}{10} \Rightarrow \cos\theta = \frac{3}{\sqrt{10}} \)
\( \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta \Rightarrow \frac{4}{5} = 1 - 2\sin^2\theta \Rightarrow 2\sin^2\theta = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin^2\theta = \frac{1}{10} \Rightarrow \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{10}} \)
আবর্তনের জন্য রূপান্তরের সূত্রগুলি হলো:
\( X = X' \cos\theta - Y' \sin\theta \)
\( Y = X' \sin\theta + Y' \cos\theta \)
মান বসিয়ে পাই:
\( X = X' \frac{3}{\sqrt{10}} - Y' \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}(3X' - Y') \)
\( Y = X' \frac{1}{\sqrt{10}} + Y' \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}(X' + 3Y') \)
এই মানগুলি সমীকরণ (3) এ প্রতিস্থাপন করে পাই:
\( 17 \left( \frac{3X' - Y'}{\sqrt{10}} \right)^2 + 18 \left( \frac{3X' - Y'}{\sqrt{10}} \right) \left( \frac{X' + 3Y'}{\sqrt{10}} \right) - 7 \left( \frac{X' + 3Y'}{\sqrt{10}} \right)^2 - 10 = 0 \)
উভয়পক্ষকে 10 দ্বারা গুণ করে পাই:
\( 17 (3X' - Y')^2 + 18 (3X' - Y')(X' + 3Y') - 7 (X' + 3Y')^2 - 100 = 0 \)
\( 17 (9X'^2 - 6X'Y' + Y'^2) + 18 (3X'^2 + 9X'Y' - X'Y' - 3Y'^2) - 7 (X'^2 + 6X'Y' + 9Y'^2) - 100 = 0 \)
\( 17 (9X'^2 - 6X'Y' + Y'^2) + 18 (3X'^2 + 8X'Y' - 3Y'^2) - 7 (X'^2 + 6X'Y' + 9Y'^2) - 100 = 0 \)
গুণ করে পদগুলো একত্রিত করি:
\( (153X'^2 - 102X'Y' + 17Y'^2) + (54X'^2 + 144X'Y' - 54Y'^2) - (7X'^2 + 42X'Y' + 63Y'^2) - 100 = 0 \)
\( (153 + 54 - 7)X'^2 + (-102 + 144 - 42)X'Y' + (17 - 54 - 63)Y'^2 - 100 = 0 \)
\( 200X'^2 + 0X'Y' - 100Y'^2 - 100 = 0 \)
\( 200X'^2 - 100Y'^2 - 100 = 0 \)
উভয়পক্ষকে 100 দ্বারা ভাগ করে পাই:
\( 2X'^2 - Y'^2 - 1 = 0 \)
বা,
\( 2X'^2 - Y'^2 = 1 \)
এই সমীকরণে \(X\), \(Y\) এবং \(XY\) পদ অনুপস্থিত।
অতএব, রূপান্তরিত সমীকরণটি হলো:
\( 2X'^2 - Y'^2 = 1 \)
