$A = cos\theta + \sin \theta , B = \cos \theta - \sin \theta$ দুইটি ত্রিকোণমিতিক রাশি এবং যদি $A = \sqrt{2} \left(A-\sin \theta \right)$ হয়, তবে প্রমাণ করুন যে,$B = \sqrt{2} \left(A-\cos \theta \right)$

প্রদত্ত:

\(A = \cos\theta + \sin\theta\)

\(B = \cos\theta - \sin\theta\)

এবং \(A = \sqrt{2}(A - \sin\theta)\)

প্রমাণ করতে হবে:

\(B = \sqrt{2}(A - \cos\theta)\)

প্রমাণ:

প্রদত্ত শর্তানুযায়ী,

\(A = \sqrt{2}(A - \sin\theta)\)

আমরা জানি, \(A = \cos\theta + \sin\theta\)

এই সমীকরণ থেকে আমরা পাই:

\(A - \sin\theta = \cos\theta\)

এখন, প্রদত্ত শর্তে \(A - \sin\theta\) এর পরিবর্তে \(\cos\theta\) বসিয়ে পাই:

\(A = \sqrt{2}(\cos\theta)\)

বা, \(\cos\theta = \frac{A}{\sqrt{2}}\) .......... (১)

আবার, \(A = \cos\theta + \sin\theta\)

বা, \(\sin\theta = A - \cos\theta\)

সমীকরণ (১) থেকে \(\cos\theta\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(\sin\theta = A - \frac{A}{\sqrt{2}}\)

\(\sin\theta = A\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)

\(\sin\theta = A\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}\right)\) .......... (২)

এখন, আমরা যে সমীকরণটি প্রমাণ করতে চাই তার ডান পক্ষ (RHS) নিই:

RHS \( = \sqrt{2}(A - \cos\theta)\)

আমরা জানি, \(A - \cos\theta = \sin\theta\)

সুতরাং, RHS \( = \sqrt{2}\sin\theta\)

সমীকরণ (২) থেকে \(\sin\theta\) এর মান বসিয়ে পাই:

RHS \( = \sqrt{2} \times A\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}\right)\)

RHS \( = A(\sqrt{2} - 1)\) .......... (৩)

এখন, আমরা B এর প্রদত্ত সংজ্ঞাটি ব্যবহার করি এবং \(\cos\theta\) ও \(\sin\theta\) এর মান বসিয়ে বাম পক্ষ (LHS) বের করি:

LHS \( = B\)

\( = \cos\theta - \sin\theta\)

সমীকরণ (১) এবং (২) থেকে \(\cos\theta\) ও \(\sin\theta\) এর মান বসিয়ে পাই:

LHS \( = \frac{A}{\sqrt{2}} - A\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}\right)\)

\( = \frac{A - A(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}}\)

\( = \frac{A - A\sqrt{2} + A}{\sqrt{2}}\)

\( = \frac{2A - A\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)

\( = \frac{A(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{2}}\)

\( = A\left(\frac{2}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)\)

\( = A(\sqrt{2} - 1)\) .......... (৪)

সমীকরণ (৩) এবং (৪) থেকে আমরা দেখতে পাই যে, LHS = RHS।

অর্থাৎ, \(B = \sqrt{2}(A - \cos\theta)\)

প্রমাণিত।